例析集合內(nèi)容的典型錯(cuò)誤

余鐵青

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

同學(xué)們進(jìn)入高中之后，接觸到的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念就是集合.人們常說(shuō)好的開(kāi)頭是成功的一半，所以學(xué)好集合對(duì)于剛進(jìn)入高中的同學(xué)們是重中之重，因?yàn)檫@部分內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之中的基礎(chǔ)！經(jīng)歷幾屆學(xué)生之后，筆者基于實(shí)踐總結(jié)出作為初學(xué)者所容易犯的錯(cuò)誤，以期幫助大家準(zhǔn)確理解集合的內(nèi)涵.

云浮山很少會(huì)有外族人造訪，實(shí)際上，這也是青辰第一次真正見(jiàn)識(shí)到中州人。不過(guò)，有曾經(jīng)去過(guò)中州的族人，他們回來(lái)后，曾繪聲繪色地向族人們炫耀自己在中州遇到的奇聞逸事，并不可避免地提到了中州人的長(zhǎng)相。

一、實(shí)例剖析

1.注意厘清誰(shuí)是元素

4.自動(dòng)駕駛功能駕駛員有不當(dāng)適用，但駕駛員駕駛或操作沒(méi)有過(guò)錯(cuò)，也沒(méi)有違反道路交通安全法律法規(guī)，此種情況下交通肇事的法律責(zé)任由自動(dòng)駕駛功能的制造商或供應(yīng)商承擔(dān)責(zé)任；

常見(jiàn)錯(cuò)解由題意知A=(-1,+∞)，B=(0,+∞)，所以A∩B=(0,+∞)，故選B.

下一步，安墾農(nóng)場(chǎng)要利用好低緯度、高海拔、寡日照兼具的原生態(tài)環(huán)境，利用好甲級(jí)旅游城市和最佳避暑旅游城市的生態(tài)優(yōu)勢(shì)，打造“香氣濃郁、滋味醇厚、鮮爽”的茶葉好品質(zhì)。

C.[0,+∞) D.(0,2)

A.(-∞,0] B.(0,+∞)

剖析此處容易忽略兩個(gè)問(wèn)題，第一是集合A中表示的是元素y的集合，并不是x的集合；第二，此處集合B中的x∈A，對(duì)整體題目解答影響很大，但是很多人容易忽視，很多時(shí)候是會(huì)對(duì)集合B的實(shí)際取值范圍造成影響的.正解應(yīng)該是集合A中的元素y，可以理解成值域，即A=(-∞,+∞)，注意到集合B，它實(shí)際是指數(shù)函數(shù)的局部函數(shù)圖象，結(jié)合圖象知B=(0,2)，所以A∩B=(0,2)，正確答案應(yīng)該是D.此類題需特別厘清誰(shuí)是元素，并注意定義域的變化和限制條件.

剖析準(zhǔn)確區(qū)分元素的特點(diǎn)，集合A是數(shù)集，而集合B是點(diǎn)集，本質(zhì)上不是同一類，所以不存在交集或者包含關(guān)系一說(shuō).最終將答案固定在D.特別要注意集合{(2,3)}與集合{(3,2)}還有集合{2,3}是兩兩不相同的，所以集合的書寫一定要注意準(zhǔn)確規(guī)范，切不可粗心大意.

2.注意厘清數(shù)集與點(diǎn)集

例2已知集合A={y|y=x2+1}，B={(x,y)|y=x2+1}，則集合A與集合B的關(guān)系為( ).

A.A=BB.A?BC.A?BD.A∩B=?

合唱教學(xué)活動(dòng)是藝術(shù)教育實(shí)施的重要構(gòu)成要素，也是小學(xué)音樂(lè)教學(xué)的主要內(nèi)容之一。在音樂(lè)課程教學(xué)中，對(duì)合唱教學(xué)的規(guī)定是要求在歌曲演唱中能掌握基本演唱技能，并結(jié)合實(shí)際的演唱實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)展豐富的教學(xué)活動(dòng)。通過(guò)重視和強(qiáng)化合唱教學(xué)，能讓學(xué)生感受到多聲部音樂(lè)的表現(xiàn)力，并提高與他人合作表演的能力。開(kāi)展有效的音樂(lè)教學(xué)活動(dòng)，不但能提升學(xué)生的音樂(lè)綜合素養(yǎng)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

6.注意含字母集合做完之后要檢驗(yàn)

孫山連續(xù)兩天沒(méi)跟沈敏聯(lián)系。到了三月十六日，沈敏將閱讀中的小說(shuō)扔在一邊，陷入了沉思——她對(duì)小說(shuō)的抽絲剝繭交織著對(duì)孫山的牽腸掛肚——連日來(lái)頭腦在高速運(yùn)轉(zhuǎn)，對(duì)他的想念仍時(shí)刻浮現(xiàn)。她的心有點(diǎn)亂，他的電話就來(lái)了：

3.注意集合的互異性

舊模式，故風(fēng)險(xiǎn)較少，但銷售量和固定成本敏感系數(shù)較高。新模式比較依賴于單價(jià)和銷售量。新模式下，對(duì)固定成本和銷量的敏感程度分別提高了2.16倍和1.18倍。相比新模式，舊模式則比較依賴于單價(jià)和單位成本，固定成本的敏感性最弱，故新模式下要注意銷量的增長(zhǎng)和固定成本增加的協(xié)調(diào)關(guān)系。對(duì)于新、舊經(jīng)營(yíng)模式的差異，可通過(guò)單因素分析其臨界值，而多因素分析則反映了市場(chǎng)條件下，多種因素共同作用對(duì)目標(biāo)利潤(rùn)的影響和風(fēng)險(xiǎn)程度(表6)。

對(duì)于高速航行狀態(tài)下的氣液兩相沖壓發(fā)動(dòng)機(jī), 其表面也會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的氣蝕現(xiàn)象并對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)性能產(chǎn)生一定影響, 本文采用Schnerr等[28]在2001 年提出的氣蝕模型對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行建模, 其主要控制方程如下:

例3已知集合A={1,3,a}，集合B={1,a2-a+1}，若B?A，求a的值.

常見(jiàn)錯(cuò)解當(dāng)a2-a+1=3時(shí)，a=-1或者a=2；當(dāng)a2-a+1=a時(shí)，a=1；綜上，a的值為±1和2.

剖析將此題第二種情況下解得的a=1代入集合A中，會(huì)發(fā)現(xiàn)集合A里面的兩個(gè)元素都是1，這與集合的互異性產(chǎn)生矛盾.在集合的三要素中，考查互異性的概率最大，題型也相對(duì)多變，一定要牢記里面的字母或者參數(shù)求出來(lái)之后要代入進(jìn)行重新檢驗(yàn).

4.注意不要忽略空集

強(qiáng)烈的團(tuán)隊(duì)榮譽(yù)感是一種無(wú)形的力量，有了團(tuán)隊(duì)榮譽(yù)感，隊(duì)員就會(huì)熱愛(ài)團(tuán)隊(duì)并發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造精神，做到心往一處想、勁往一處使，形成一種合力，從而使團(tuán)隊(duì)更具凝聚力和競(jìng)爭(zhēng)力。年輕教師要善于利用每天的例會(huì)，每周總結(jié)會(huì)，賽前、賽中、賽后的總結(jié)會(huì)引導(dǎo)隊(duì)員樹(shù)立“隊(duì)強(qiáng)我榮，隊(duì)衰我恥”榮辱觀，針對(duì)性、有目的地加強(qiáng)集體主義精神和團(tuán)隊(duì)意識(shí)的培養(yǎng)和教育。巧妙地通過(guò)榮譽(yù)證書、破?？h市紀(jì)錄、體育院校錄取通知書、賽前賽后的合影、平時(shí)訓(xùn)練的剪影、比賽錄像等記錄團(tuán)隊(duì)發(fā)展壯大的足跡，提升隊(duì)員的榮辱感、自豪感，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)凝聚力。

5.注意等價(jià)轉(zhuǎn)化的合理性

從式(2)可知，直線的斜率為0.59，此時(shí)直線與水平面的角度大約為31°。由于上部土層受到鄰近斜拱樁基產(chǎn)生的巨大水平推力的被動(dòng)擠壓，土體處于被動(dòng)土壓力狀態(tài)，根據(jù)朗肯被動(dòng)土壓力理論，此時(shí)土體的剪切破壞面與水平的夾角為為影響深度范內(nèi)土層的平均內(nèi)摩擦角，大約為20°)，這與擬合直線與水平面所成的角度相差4°左右。

常見(jiàn)錯(cuò)解分不清一個(gè)是數(shù)集另一個(gè)是點(diǎn)集，直接都看成了數(shù)集，把集合A化簡(jiǎn)為A=[1，+∞)，集合B化簡(jiǎn)為B=[1,+∞)，從而錯(cuò)選答案A.

例6若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0}，若A∩B≠?，A∩C=?，求實(shí)數(shù)a的值.

常見(jiàn)錯(cuò)解由題意知：B={2,3}，C={2,-4}.因?yàn)锳∩B≠?，所以2和3至少有一個(gè)是集合A的元素.又因?yàn)锳∩C=?，所以2?A,-4?A，從而3∈A，于是代入集合A，得9-3a+a2-19=0，解得a=-2或者a=5.

例4已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)a的值是.

剖析此題顯然是忽略了檢驗(yàn)，當(dāng)a=-2時(shí)，A={3,5}，A∩B={3}≠?且滿足A∩C=?，符合題意；當(dāng)a=5時(shí)，A={3,2}，此時(shí)A∩C={2}與題設(shè)所給條件A∩C=?矛盾，故舍去a=5.綜上，a=-2.這類試題就是利用了大家做題時(shí)急于求成馬虎大意的缺點(diǎn)，在解答之后不注重檢驗(yàn)造成非智力因素的失分.

7.注意逆向思維運(yùn)用

例7已知A={x|x2-(a2+a+1)x+a(a2+1)>0}，B={x|x2-6x+8≤0}，若A∩B=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（3）水體總懸浮物濃度垂直剖面變化受水位變化、水體流速和流態(tài)的改變、采砂活動(dòng)等湖區(qū)自然條件和人類活動(dòng)影響，也受到五河來(lái)水的渾濁程度影響，使得沿程縱向變化明顯，存在顯著的層化現(xiàn)象。高渾濁水體懸浮物濃度隨深度變化的斜率比中低濃度的小，主要原因可能是高渾濁水體的粒徑較大，沉降速度較快，導(dǎo)致其沿深度方向的懸浮物濃度迅速增大。

常見(jiàn)解題思路有部分同學(xué)會(huì)被直接卡在集合A的化簡(jiǎn)處，還有一部分同學(xué)覺(jué)得要分類討論，給整體題目的解析增加了不少計(jì)算量.

再如求多個(gè)含相同參數(shù)的一元二次方程至少一個(gè)方程有根，求里面參數(shù)的范圍.若直接進(jìn)行分類討論勢(shì)必造成情況特別多，僅以三個(gè)方程為例，都要討論7次，隨著方程個(gè)數(shù)的增多會(huì)直接導(dǎo)致分類情況增多.假設(shè)我們直接考慮若干個(gè)方程都不存在根，只要取一下交集，然后取剩下的補(bǔ)集即可，大大減少計(jì)算量，有效提高效率，所以轉(zhuǎn)變思路逆向思考，有時(shí)會(huì)有出其不意的效果.

8.注意端點(diǎn)的取舍

采用黃希庭等編制的《大學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)問(wèn)卷》，問(wèn)卷分為26個(gè)項(xiàng)目，分6個(gè)維度：求知進(jìn)度、社會(huì)取向、物質(zhì)追求、害怕失敗、個(gè)人成就、小群體取向，采用6點(diǎn)計(jì)分。

A.(-∞,-1) B.[-1,2]

C.(-1,2) D.[2,+∞)

三、寫在最后

我們要學(xué)好集合知識(shí)，就要梳理出集合的知識(shí)體系.基于筆者水平有限，目前僅能粗略地歸納總結(jié)出以上一些容易忽略或者犯錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn).只要大家適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行訓(xùn)練，避免不必要的錯(cuò)誤，切實(shí)增強(qiáng)理解，就能提高成績(jī).