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    合理運用放縮法 有效破解證明不等式難題

    2021-08-05 09:23:12
    數(shù)理化解題研究 2021年19期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式常數(shù)本題

    趙 林

    (山東省滕州市第二中學(xué) 277512)

    證明不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點,對學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性有較高要求.在證明不等式時,需要學(xué)生創(chuàng)新解題思路,靈活選用解題方法,才能快速、準(zhǔn)確地解答.其中,放縮法的運用可使證明不等式問題化難為易,起到事半功倍的效果.放縮法是利用不等式的傳遞性,對照所證目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)放縮的過程.在解題過程中,要掌握好“放”和“縮”的度,方能體現(xiàn)其優(yōu)越性.

    一、放縮法利于不等式中的求和

    在證明不等式類題型中常會遇到不等式其中一邊的代數(shù)式需要求和的情況,但是直接求和又比較困難,此時可通過對其進(jìn)行合理的“放”“縮”轉(zhuǎn)化為一個容易求和的代數(shù)式,再將其與不等式另一邊相比較,從而快速得出結(jié)果.

    歸納本例是一道關(guān)于自然數(shù)的證明不等式問題,按常規(guī)思路通常會采用歸納法,但這將是一個紛繁冗長的過程.而用放縮法則可以化無限為有限,化難為簡.本題通過將每一項適當(dāng)放大,把一項折成兩項之差,再求解,使解題過程更加簡潔,清晰.

    二、放縮法用于不等式中的求積

    在上例中,難點在于證明不等式一邊數(shù)列的前n項求和,同理,其求積也是解題的難點,采用放縮法同樣起到事半功倍的效果.

    歸納在本題的證明過程中,巧妙地引用了A的對偶式B,化復(fù)雜為簡單,有效簡化了解題過程,突顯了放縮法的魔力.當(dāng)然,采用歸納法也是一種解題思路,但其繁復(fù)的過程足以使人崩潰!

    三、放縮法利于減少不等式一邊的變量

    證明不等式題型中,如果不等式一邊是常數(shù),另一邊為含多個變量的代數(shù)式,則可將此代數(shù)式看作關(guān)于這些變量的多元函數(shù),然后對函數(shù)恰當(dāng)放縮以減少函數(shù)中變量,直到求出常數(shù).

    分析不等式的左邊可看作關(guān)于α,β的二元函數(shù),所以只要能求出這個函數(shù)的最小值為9即可,由于函數(shù)中包含兩個變量,我們可以借助放縮法消去一個變量化簡,得以求證.

    歸納在本例題中,我們可將α當(dāng)作一個常數(shù),將不等式左邊看作是關(guān)于β的函數(shù),求出函數(shù)的最小值,然后再求關(guān)于α的函數(shù)的最小值.

    四、放縮法利于不等式取到等號

    運用放縮法證明不等式時,最重要的是把握好放和縮的度.特別是不等式可取到等號時,每一步的放縮都不可與等號成立的條件相矛盾,否則,會適得其反.

    歸納在本題的證明過程中,既要注意放縮的大小要適度,以確保等號成立,又要明確放縮變形的根本目標(biāo)是減少變量,以求出不等式左邊的多元函數(shù)的最大值.所以,放縮法的運用要靈活適度,必須有利于簡化解題過程,以便快速得出結(jié)果.

    總之,高中數(shù)學(xué)中的證明不等式問題是教學(xué)難點,也是高考命題的重點.但是,我們只要堅持科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想,充分利用好證明不等式的解題利器——放縮法,把握好放和縮的度,一定會讓我們耳目一新,有效擊破證明不等式的各種題型,提高解題效率.

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