高考試題“充分與必要條件”歸類賞析

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

判斷充分條件與必要條件，本質(zhì)上就是判斷命題的真假，常用的方法有：

1.定義法：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件.口訣：箭尾充分，箭頭必要.

2.集合法：設(shè)A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.口訣：小充分，大必要，等充要.

3.等價法：應(yīng)用等價的傳遞性，即“若p?q且q?r，則p?r”.

充分條件與必要條件涉及的知識面較廣，常與函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式和立體幾何等知識相結(jié)合.

一、以函數(shù)知識為載體

例1 (2020·上海卷)命題p：存在a∈R且a≠0，對于任意的x∈R，使得f(x+a)

命題q1：f(x)單調(diào)遞減且f(x)>0恒成立；

命題q2：f(x)單調(diào)遞增，存在x0<0使得f(x0)=0，則下列說法正確的是( ).

A.只有q1是p的充分條件

B.只有q2是p的充分條件

C.q1，q2都是p的充分條件

D.q1，q2都不是p的充分條件

分析用定義法，只要判斷命題“若q1，則p”和命題“若q2，則p”的真假即可.

解析若q1成立，當(dāng)a>0時，x+a>x，因為f(x)單調(diào)遞減且f(x)>0恒成立，所以f(a)>0，所以f(x+a)

綜上可知，q1，q2都是p的充分條件，故選C.

點評本題以函數(shù)知識為背景，主要考查充分條件的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理和運(yùn)算能力等，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為判斷兩個命題的真假，屬于中檔題.

變式1 (2016·上海卷)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R，則“f(0)=0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的( ).

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

變式2 (2016·浙江卷)已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

答案:1.B 2.A

二、以三角函數(shù)知識為載體

例2(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析用定義法，并對k的奇偶性進(jìn)行討論.

解答當(dāng)k=2n(n∈Z)時，α=2nπ+β，此時sinα=sin(2nπ+β)=sinβ；當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時，α=2nπ+π-β，此時sinα=sin(π-β)=sinβ，即充分性成立.

若sinα=sinβ，則α=2nπ+β或α=2nπ+π-β(n∈Z)，即α=kπ+(-1)kβ，即必要性成立.

所以，“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要條件，故選C.

點評本題以三角函數(shù)知識為背景，主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想等，解題關(guān)鍵是對k的奇偶性進(jìn)行討論，屬于基礎(chǔ)題.

變式1 (2020·上海卷)“α=β”是“sin2α+cos2β=1”的( ).

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件

變式2 (2019·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

答案:1.A 2.C

三、以平面向量知識為載體

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析用等價法，結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則即可作出判斷.

點評本題以向量知識為背景，主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查平面向量的模、夾角與數(shù)量積,考查推理和運(yùn)算能力等，解題關(guān)鍵是對題設(shè)條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.

變式1 (2018·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

變式2 (2017·北京卷)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m=λn”是“m·n<0”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

答案:1.C 2.A

四、以數(shù)列知識為載體

例4 (2016·天津卷)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0”的( ).

A.充要條件 B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件

分析用集合法，先求出“q<0”和“對任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0”對應(yīng)的集合，再根據(jù)兩個集合之間的包含關(guān)系作出判斷.

解答a2n-1+a2n=a1q2n-2(1+q),a1q2n-2>0.若對任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0，則1+q<0，解得q<-1.

因為“q<0”對應(yīng)集合{q|q<0}，“對任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0”對應(yīng)集合{q|q<-1}，且{q|q<0}{q|q<-1}，所以“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n<0”的必要而不充分條件，故選C.

點評本題以數(shù)列知識為背景，主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為研究兩個集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

變式1 (2018·北京卷)設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

變式2 (2018·上海卷)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，“{an}是遞增數(shù)列”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的( ).

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件

變式3 (2017·上海卷)已知a，b，c為實常數(shù)，數(shù)列{xn}的通項xn=an2+bn+c，n∈N*，則“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列”的一個必要條件是( ).

A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0

答案:1.B 2.D 3.A

五、以不等式知識為載體

例5 (2019·浙江卷)若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析若用定義法，只要判斷命題“若a>0，b>0，a+b≤4，則ab≤4”和“若a>0，b>0，ab≤4，則a+b≤4”的真假即可；若用集合法，則應(yīng)先求出“a>0，b>0，a+b≤4”和“a>0，b>0，ab≤4”對應(yīng)的集合，再確定它們之間的包含關(guān)系，最后得出結(jié)論.

所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件，故選A.

解法2集合M={(a,b)|a>0，b>0，a+b≤4}表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分，集合M={(a,b)|a>0，b>0，ab≤4}表示的平面區(qū)域為圖2中的陰影部分.

圖1 圖2

由此可見MN，所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件，故選A.

點評本題以不等式知識為背景，主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查基本不等式的應(yīng)用，考查推理與計算能力等，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為判斷兩個命題的真假或判斷兩個集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

變式1 (2020·天津卷)設(shè)a∈R，則“a>1”是“a2>a”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

變式2 (2019·天津卷)設(shè)x∈R，則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( ).

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件

A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

答案:1.A 2.B 3.A 4.A

六、以立體幾何知識為載體

例6 (2019·全國Ⅱ卷)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是( ).

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

分析用定義法，結(jié)合面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)論.

解析對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，α∩β或α∥β；對于B，α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，α∥β；對于C，α，β平行于同一條直線，α∩β或α∥β；對于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β.故選B.

點評本題以立體幾何知識為背景，主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查面面平行的判定和性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

變式1 (2020·浙江)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.則“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

變式2 (2018·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

變式3 (2016·山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

答案:1.B 2.A 3.A