李霞

[摘? 要] 某位數(shù)學(xué)大師語，“不善于歸納總結(jié)的課堂是‘形散且神散的課堂，善于歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)課堂是‘雖形散，但神不散的課堂”. 由此可見，一堂好的數(shù)學(xué)課缺少不了在老師的引導(dǎo)下，由學(xué)生進行知識和思想方法的總結(jié). 只有這樣的數(shù)學(xué)課堂才是有深度、有潛力的課堂.

[關(guān)鍵詞] 歸納總結(jié);落實雙基;坐標求法

“在平面直角坐標系中，探求符合一定條件點的坐標”這一知識方法既是初中階段研究函數(shù)的基礎(chǔ)，也是高中階段研究解析幾何的必備知識，更是“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想運用的典范. 然而，眾多學(xué)生面對那些立意新、既重“雙基”又重能力的求點的坐標問題，卻往往力不從心. 這是因為，他們疏于對基本知識和基本方法的總結(jié)與反思. 筆者試結(jié)合典型題目，歸納總結(jié)出求符合一定條件點的坐標的具體方法，以期達到“既見樹木，也見森林”的目的，更希冀于初三專題復(fù)習時，對師生有所啟發(fā)和幫助. 若有不當，敬請批評指正.

一、 借助網(wǎng)格，直觀求解

例題1：如圖1，A點坐標為（3，2），將線段OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到對應(yīng)線段OA′，則點A′的坐標為_______.

分析：線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，相當于“3×2的矩形OBAC”繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到“2×3的矩形OB′A′C′”. 因此，點A的對應(yīng)點A′坐標易得為A′（-2，3）.

二、回歸定義——距離+符號

1. 從坐標的定義可推出：求一點P的坐標就是先求出點P到y(tǒng)軸、x軸的距離，這兩個距離分別作為點P橫坐標和縱坐標的絕對值，最后再根據(jù)點所在象限的符號規(guī)律求出點P的坐標.

2. 反過來，若點P的坐標為（x，y），則點P到x軸、y軸的距離分別為y，x.

例題2：若例題1隱去網(wǎng)格背景，那如何求點A′的坐標呢？

分析：如圖2，分別過A、A′作AB⊥x軸，A′C⊥x軸. 因為A（3，2），所以AB=2，OB=3. 易證△ABO≌△OCA′. 所以O(shè)C=AB=2，A′C=OB=3. 又因為點A′在第二象限，所以A′（-2，3）.

例題3：如圖3，矩形OABC的一個頂點在坐標原點，另兩個頂點A、C分別在y軸與x軸上，OB是矩形的一條對角線，已知OA=5 cm，OB=13 cm，動點M從點A開始，以1 cm/s的速度向終點O運動，點N從點O開始，以2 cm/s的速度向終點C運動. 當其中一點到達終點時，另一點便停止運動. 設(shè)運動時間為t（s），過N作OC的垂線，交OB于P，連結(jié)MP.

（1）用含t的代數(shù)式表示P點的坐標;

（2）略;

（3）略.

分析：因為ON=2t，所以P點的橫坐標為2t. 欲求P點的縱坐標，只需求PN的長度. 易知△ONP∽△OCB且OC=12 cm. 所以 = ，所以PN= ，所以P2t， .

【反思】 定義法（距離+符號）是最為基本也最為靈活的方法. 它涉及求線段、求角度等一些重要知識和方法，幾乎涵蓋了初中階段所有有關(guān)度量計算的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，因此，掌握定義法求點的坐標是何等的重要. 另外，運用此法常需過“已知點”和“所求點”向坐標軸引垂線，以便構(gòu)建點坐標定義的基本幾何圖形.

三、運用函數(shù)解析式

1. 若點P（a，b）在函數(shù)y=f（x）圖像上，則P點坐標滿足函數(shù)解析式，即有f（a）=b.

2. 若點P是函數(shù)y=f（x），y=g（x）兩圖像的交點，則點P的坐標是方程組y=f（x），y=g（x）的一組解.

例題4：對于例題3除了利用定義法，還有其他方法嗎？

分析：已知點P橫坐標為2t，只需求出直線OB的解析式即可. 易求直線OB解析式為y= x，將x=2t代入，得y= ，所以P2t， .

例題5：如圖4，直線y=x-2與雙曲線y= 交于兩點A、B，求△AOB的面積.

分析：易求直線與x軸的交點坐標為C（2，0）. 根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△BOC可知，只需求出A、B兩點坐標即可. 因為A、B點是兩個函數(shù)圖象的交點，所以y=x-2，y= ，解得A（3，1），B（-1，-3）. 所以S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4.

【反思】運用此法需以點在函數(shù)圖像上為前提，求出函數(shù)解析式為關(guān)鍵.

四、運用圖形變換下對應(yīng)點的坐標變換規(guī)律

1. 點P（x，y）? Q（x±a，y±b） P點沿x軸方向向右（左）平移a個單位，沿y軸方向向上（下）平移b個單位.

2. 點P（x，y）與點Q（x，-y） 點P、Q關(guān)于x軸對稱;

點P（x，y）與點Q（-x，y） 點P、Q關(guān)于y軸對稱;

點P（x，y）與點Q（-x，-y） 點P、Q關(guān)于原點對稱.

例題6：（2008年威海）如圖5，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y= 的圖像上.

（1）求m，k的值;

（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式.

分析：易求A（3，4），B（6，2）. 欲求符合條件的解析式，關(guān)鍵是確定點M、N的坐標. 據(jù)題意應(yīng)分兩種情況進行討論.

①如圖5，當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設(shè)M1點的坐標為（x1，0），N1點的坐標為（0，y ）. 因為四邊形AN1M1B為平行四邊形，所以AB∥N1M1且AB=N1M1.

所以點A到點B的平移方式和點N1到點M1的平移方式一樣. 由A（3，4） B（6，2）知：點A沿x軸方向向右平移了3個單位，沿y軸方向向下平移了2個單位. 所以0+3=x1;y1-2=0，所以x1=3，y1=2，從而M1（3，0），N1（0，2）.

②如圖5，當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設(shè)M2點坐標為（x2，0），N2點坐標為（0，y2）. 因為AB∥N1M ，AB∥M N ，AB=N M ，AB=M2N2，所以N1M1∥M2N2，N1M1=M2N2，所以易證△N1OM1≌△N2OM2. 所以N1O=N2O，OM1=OM2. 所以點M1與點M2，點N1與點N2均關(guān)于原點成中心對稱，所以M2（-3，0），N2（0，-2）.

【反思】運用此法需要十分熟悉圖形在特定變換下對稱點的坐標變換規(guī)律，而且更需要善于將新的問題進行化歸處理，例如“在平面直角坐標系中，任意給定不在一直線上的三點，探求第四個點的坐標，使它們構(gòu)成平行四邊形”問題，就可轉(zhuǎn)化為“點的平移”問題來處理.

以上所列，是初中階段求點的坐標的常見方法. 對于方法的靈活選擇問題，還需教者立足“雙基”，對學(xué)生進行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的鑒別能力，思維的靈活性、深刻性，從而真正達到數(shù)學(xué)育人的目的.

數(shù)學(xué)家華羅庚說得好：“怎樣把書讀?。科鋵?，就是要把書中的知識徹底消化，變?yōu)榉浅Ｖ庇^的、非常概括的材料，最后只留下最精髓的那一點，當然書就變薄了. ”在現(xiàn)今“減負增效”的學(xué)校教育中，教師讓學(xué)生學(xué)會：①按數(shù)學(xué)的某一重要知識形成過程、所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法、與其他知識的聯(lián)系等方面進行“知識系統(tǒng)型”總結(jié);②按為解決某個特定的數(shù)學(xué)問題而經(jīng)常采用的思想方法進行“思想方法型”總結(jié);③或其他方面總結(jié). 作為數(shù)學(xué)教育工作者的我們，如果能采用這種教學(xué)策略，也應(yīng)該是有意義的！