在“做數(shù)學(xué)”中推動自主探究①

張愛平 王磊 陳美華

摘要：“做數(shù)學(xué)”是一種以“做”為支架的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，具有運用材料和工具、動手和動腦有機結(jié)合、以感官促思維等特征?！白鰯?shù)學(xué)”突出了數(shù)學(xué)探究的重要方面，符合學(xué)生（尤其是低年級學(xué)生）的認知特征（從具體、直觀、感受出發(fā)）， 能夠推動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)”活動，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和方法以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（與思維）。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;數(shù)學(xué)探究;數(shù)學(xué)結(jié)論;數(shù)學(xué)方法;數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論認為，自主探究通常是最好的學(xué)習(xí)方式，能幫助學(xué)生充分理解所學(xué)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。弗賴登塔爾認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該經(jīng)歷內(nèi)容的“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”過程，即所謂的“數(shù)學(xué)化”。而“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”離不開自主探究。

G. 波利亞認為，數(shù)學(xué)探究通常是一個發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，一般可分為發(fā)現(xiàn)（猜想）與證明（或反駁）這兩個基本階段。這個過程不僅包括抽象思考、演繹推理、嚴(yán)密計算，而且包括通常被認為屬于科學(xué)探究的觀察、實驗、驗證、歸納、類比、想象、直覺等，由此能夠發(fā)現(xiàn)并證明數(shù)學(xué)結(jié)論和方法，發(fā)現(xiàn)并體會數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（與思維）。

“做數(shù)學(xué)”是一種以“做”為支架的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，具有運用材料和工具、動手和動腦有機結(jié)合、以感官促思維等特征。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生常要通過觀察、實驗、驗證等實踐活動，展開類比、歸納、想象、直覺等思維活動，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和方法以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（與思維）。可見，“做數(shù)學(xué)”突出了數(shù)學(xué)探究的重要方面，符合學(xué)生（尤其是低年級學(xué)生） 的認知特征（從具體、直觀、感受出發(fā)）， 能夠推動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)”活動來推動學(xué)生的自主探究。下面通過具體案例進行闡述。

一、在“做數(shù)學(xué)”中探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論

很多數(shù)學(xué)結(jié)論（如定理、公式、性質(zhì)、法則等） 具有直觀或?qū)嶋H意義。學(xué)生可以通過“做數(shù)學(xué)”再現(xiàn)這種“直觀”與“實際”，探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，再通過證明加以確定（或否定）。

例如，在初中，為了發(fā)展學(xué)生的空間觀念，可以引導(dǎo)學(xué)生探究正方體截面的形狀：用一個平面截正方體，截面的形狀可能是什么？ 對此，學(xué)生很難通過想象、畫圖以及切割實物發(fā)現(xiàn)結(jié)論。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在可密閉的全透明的正方體盒子中注入不同量的有顏色的水，并且不斷調(diào)整正方體盒子的擺放位置，觀察水面的形狀，從而歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

首先，在正方體盒子中注入少量的水，將盒子水平放置在桌面上，觀察發(fā)現(xiàn)水面是正方形（如圖1所示）; 再不斷調(diào)整盒子的擺放位置，觀察發(fā)現(xiàn)水面可能是三角形、四邊形和五邊形（如圖2所）。

其次，在正方體盒子中注入較多的水，將盒子水平放置在桌面上，觀察發(fā)現(xiàn)水面是正方形（如圖3所示）; 再不斷調(diào)整盒子的擺放位置，觀察發(fā)現(xiàn)水面可能是四邊形、五邊形和六邊形（如圖4所）。

進一步觀察還能夠發(fā)現(xiàn)：截面三角形是銳角三角形;截面四邊形至少有一組對邊平行，即可以是矩形、正方形、平行四邊形、梯形;截面五邊形有兩組對邊平行;截面六邊形三組對邊都平行。

由此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：截面為什么不可能是七邊形、八邊形乃至更多邊形？ 截面多邊形為什么具有上述特征？ 并讓學(xué)生嘗試說明理由。

在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生再探究其他幾何體截面的形狀，繼續(xù)通過“做數(shù)學(xué)”探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論，促進經(jīng)驗與方法的內(nèi)化。

再如，教學(xué)“分式的性質(zhì)”時，為了提升學(xué)生對分式（分數(shù)）大小的感悟（屬于數(shù)感）， 可以引導(dǎo)學(xué)生探究分子單獨、分母單獨或分子和分母同時加或減一些數(shù)后分數(shù)大小的變化。對此，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系糖水甜度變化的生活經(jīng)驗，類比發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)論。

然后，可以引導(dǎo)學(xué)生通過嚴(yán)謹?shù)拇鷶?shù)推理來證明這些不等關(guān)系和相等關(guān)系。

此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生思考：上面所得的式子中，各個字母表示的都是正數(shù)，那么如果它們是負數(shù)，相應(yīng)的式子還成立嗎？ 從而進一步促進學(xué)生思考與探究的完善。

二、在“做數(shù)學(xué)”中探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法

有時，尤其是學(xué)習(xí)一些幾何知識時，通過“做數(shù)學(xué)”，不僅能夠探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而且能夠探究發(fā)現(xiàn)證明（確定）數(shù)學(xué)結(jié)論的方法。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和定理”時，學(xué)生不難通過多次畫圖、測量、計算，歸納猜想：所有三角形的內(nèi)角和都是180 度。那么，怎么證明這個結(jié)論呢？ 可以引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，探究發(fā)現(xiàn)證明方法。

可以引導(dǎo)學(xué)生用紙片把三角形的三個內(nèi)角撕拼成一個平角，從而發(fā)現(xiàn)作一條邊的平行線，利用內(nèi)錯角相等來移角，并結(jié)合平角為180 度來證明的方法（如圖5所示）。

可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)軟件（如“網(wǎng)絡(luò)畫板”） 中，畫出△ABC，沿CB或BC延長線方向拖動頂點B或C，發(fā)現(xiàn)∠B或∠C在變小，∠A在增大，但∠B或∠C與∠A的和不變，而AB或AC越來越接近與BC平行的位置，從而發(fā)現(xiàn)作一條邊的平行線，利用內(nèi)錯角相等來移角，并結(jié)合同旁內(nèi)角之和為180 度來證明的方法（如圖6所示）。

還可以引導(dǎo)學(xué)生玩“轉(zhuǎn)筆游戲”：將鉛筆依次繞三角形的三個頂點按同樣的方向（如順時針）轉(zhuǎn)過三個內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)筆尖開始的朝向與最終的朝向正好相反（如圖7所示）， 從而考慮將三次旋轉(zhuǎn)集中到一點，發(fā)現(xiàn)作一條邊的平行線，利用內(nèi)錯角相等和同位角相等來移角，并結(jié)合平角為180 度來證明的方法（如圖8所示）。

再如，教學(xué)“圓周角定理”時，學(xué)生不難通過多次畫圖、測量、計算，歸納猜想：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧度所對的圓周角相等。那么，怎么證明這個結(jié)論呢？ 可以引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，探究發(fā)現(xiàn)證明方法。

為此，可以制作“圓周角探究儀”：如下頁圖9， 由圓軌道、直軌道、2個定點與2個動點構(gòu)成。通過直軌道上動點的移動，可以發(fā)現(xiàn)同弧度所對的圓內(nèi)角、圓周角和圓外角的大小關(guān)系。而通過圓軌道上動點的移動，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓心在圓周角的一條邊上時（如下頁圖10 所示）， 很容易證明圓周角是圓心角的一半;當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部時（如下頁圖11 所示）， 圓周角可以轉(zhuǎn)化為兩個一邊經(jīng)過圓心的圓周角的和;當(dāng)圓心在圓周角外部時（如下頁圖12 所示）， 圓周角可以轉(zhuǎn)化為兩個一邊經(jīng)過圓心的圓周角的差。由此，不難得到圓周角定理的分類討論證明方法。

又如，教學(xué)“圓的面積計算公式”時，可以引導(dǎo)學(xué)生類比遷移將平行四邊形、三角形、梯形割補轉(zhuǎn)化為長方形或平行四邊形，從而得到相應(yīng)面積計算公式的方法，思考如何將圓割補轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過面積計算公式的圖形來得到圓的面積計算公式。然后，可以引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，探究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法：抓住圓的本質(zhì)特征（半徑相等）， 基于對稱美的直覺，從便于操作的角度，通過對折將圓形紙板等分成4個、8個、16 個、32 個…… 扇形紙板，再將得到的扇形紙板密合拼接，看能得到什么圖形。

學(xué)生不難得到多個近似（曲邊）平行四邊形（如圖13 所示）， 進而發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分割的等份數(shù)越來越大時，拼接得到的曲邊平行四邊形越來越接近長方形。由此，引導(dǎo)學(xué)生分析得到：曲邊平行四邊形不斷接近的長方形長和寬分別是πr和r，所以面積是πr²，從而得到圓的面積計算公式S=πr²。學(xué)生可以從中體會到化曲為直和極限的思想。

教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將得到的扇形紙板近似密合拼接，得到多個近似（曲邊）三角形和多個近似（曲邊）梯形（ 16 等份時圖形如圖14 所示），進而發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分割的等份數(shù)越來越大時，拼接得到的曲邊三角形和曲邊梯形越來越接近三角形和梯形。由此，學(xué)生同樣可以得到圓的面積計算公式，還可以提高思維的靈活性。

此外，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用生活中由一圈圈布條圍成的圓形杯墊（如圖15 所示）進行操作： 把杯墊沿半徑剪開，將布條盡量拉直并有序排列， 發(fā)現(xiàn)可以拼接成一個近似三角形，其底就是圓的周長，其高就是圓的半徑（如圖16 所示）， 從而很容易得到圓的面積計算公式。

三、在“做數(shù)學(xué)”中探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

G. 波利亞有過一個比喻：“好問題與某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個。“其實， 這是因為數(shù)學(xué)結(jié)論之間是存在聯(lián)系的，即數(shù)學(xué)結(jié)論是具有結(jié)構(gòu)性的。因此，通過“做數(shù)學(xué)”，不僅可以探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而且應(yīng)該努力在變化和遷移中探究發(fā)現(xiàn)更多結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，完善認知結(jié)構(gòu)，進而充分感悟數(shù)學(xué)思維，真正學(xué)會數(shù)學(xué)探究。

例如，教學(xué)“等腰三角形的軸對稱性”后，可引導(dǎo)學(xué)生從“等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等”這一簡單（特殊）性質(zhì)出發(fā)，通過“做數(shù)學(xué)”的方式進行拓展探究：先后將底邊的中點變成對稱軸上的任意一點、底邊及其延長線上的任意一點、三角形內(nèi)的任意一點，將等腰三角形變成等邊三角形、一般三角形，遷移運用有關(guān)經(jīng)驗與方法。學(xué)生于探究中能夠發(fā)現(xiàn)并證明關(guān)于三角形內(nèi)部或邊上的點到各邊的距離的更多（一般）性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)思維。

“等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等” 這一性質(zhì)利用符號語言和圖形語言表示就是：如圖17，在△ABC中，AB=AC，P是BC邊的中點， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足為E、F，求證：PE=PF。其證明較簡單：可以證明△PBE≌△PCF;可以連接AP，利用AP平分∠BAC證明△PAE≌△PAF。

然后，可以利用數(shù)學(xué)軟件（如“網(wǎng)絡(luò)畫板”）在中線AP所在直線上移動點P（如圖18 所示）， 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)始終有PE=PF，即：等腰三角形底邊上的中線所在直線上的任意一點到兩腰的距離相等。

也可以在底邊BC上移動點P，同時度量PE、PF的長度（如圖19 所示）， 引導(dǎo)學(xué)生基于點P與端點B或C重合的極端情況，發(fā)現(xiàn)始終有PE+ PF=BG（=CH）， 即：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于腰上的高。這一結(jié)論的證明稍有難度?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生過點P作PD⊥BG于D，先證明四邊形PDGF是矩形，再證明△BPE≌△PBD;也可以引導(dǎo)學(xué)生連接AP，通過S△ABC= S△APB+S△APC來證明。

還可以在底邊BC的延長線上移動點P，類似地引導(dǎo)學(xué)生得到：等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離差等于腰上的高。

接著，可以把底邊BC上的點P移動到△ABC內(nèi)，并增加PD⊥BC于D的條件，引導(dǎo)學(xué)生探究等腰三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離滿足的關(guān)系。

對此，首先可以引導(dǎo)學(xué)生注意到三角形三邊地位的平等性（對稱性）， 假設(shè)三角形是等邊三角形，即從最特殊的情況開始探究。學(xué)生基于點P與頂點A或B或C重合的極端情況，發(fā)現(xiàn)并證明等邊三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離和等于任一邊上的高。

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（張愛平，江蘇省南京市教育科學(xué)研究所副所長。特級教師，正高級教師。第四批“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，南京市陶行知教育思想研究會副會長，南京師范大學(xué)教育碩士兼職導(dǎo)師，南京曉莊學(xué)院客座教授。主持研究江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗室建設(shè)與利用的研究”、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗校本課程的開發(fā)研究”等課題10項。研究成果《初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實踐探索》獲江蘇省第五屆教育科研成果一等獎。王磊，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校。中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家一級教練員。江蘇省基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中心命題組成員。曾獲全國數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課競賽一等獎，江蘇省數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課競賽第一名。陳美華，江蘇省常州市實驗小學(xué)。特級教師。常州市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科兼職教研員，常州市小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究項目負責(zé)人。中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會先進工作者， 常州市教育領(lǐng)軍人才。多篇論文發(fā)表于核心期刊或被人大復(fù)印報刊資料《小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載。）