在“做數(shù)學(xué)”中促進(jìn)深度理解①

摘要：對數(shù)學(xué)知識的深度理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的永恒追求。在“做數(shù)學(xué)”中獲得豐富的表征方式，可以幫助學(xué)生深度理解數(shù)及計(jì)數(shù)法;在“做數(shù)學(xué)”中經(jīng)歷圖形的構(gòu)造過程，可以幫助學(xué)生深度理解圖形性質(zhì);在“做數(shù)學(xué)”中明晰運(yùn)算的原理，可以幫助學(xué)生深度理解運(yùn)算法則;在“做數(shù)學(xué)” 中直觀感知數(shù)學(xué)概念的要義，可以幫助學(xué)生深度理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;計(jì)數(shù)法;圖形性質(zhì);運(yùn)算法則;數(shù)學(xué)概念

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，是否理解數(shù)學(xué)知識以及理解到何種程度，無疑是至關(guān)重要的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生所運(yùn)用的學(xué)習(xí)素材，所采用的學(xué)習(xí)方式，所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考，都在一定程度上決定了其對數(shù)學(xué)知識的理解深度?！白鰯?shù)學(xué)”是學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在動手動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動，理解數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式②?！白鰯?shù)學(xué)”的過程， 豐富了知識的表征方式，還原了知識的產(chǎn)生過程， 觸及了知識的基本原理，為抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、可視化創(chuàng)造了條件，成為促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識的一條重要路徑。

一、在“做數(shù)學(xué)”中豐富表征方式，深度理解數(shù)及計(jì)數(shù)法

對數(shù)學(xué)知識的理解，需要避免簡單記憶和機(jī)械運(yùn)用，重要的是通過多樣而準(zhǔn)確的表征方式，豐富知識的外延，指向知識的內(nèi)涵?！白鰯?shù)學(xué)”的過程必然伴隨著對數(shù)學(xué)材料或數(shù)學(xué)工具的操作，數(shù)學(xué)材料、工具的豐富性與典型性，以及操作過程中學(xué)生多樣化和個(gè)性化的操作結(jié)果，為豐富知識的表征方式提供了可能。

以認(rèn)識自然數(shù)為例，基于小學(xué)生以動作和表象為主要特征的表征方式，緊扣抽象出數(shù)和掌握十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法這兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)及計(jì)數(shù)法的深度理解。

認(rèn)識自然數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)知識體系基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)：不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，其中抽象出數(shù)的過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法以及由此所獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，同樣構(gòu)成了后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

史寧中教授認(rèn)為，數(shù)量是對現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象，數(shù)是對數(shù)量的抽象，對應(yīng)是實(shí)現(xiàn)這種抽象的方法之一，也是適合小學(xué)生認(rèn)知水平的方法①。怎樣引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對應(yīng)的方法逐步抽象出數(shù)？ 可以設(shè)計(jì)如下“做數(shù)學(xué)”的過程：第一步，從實(shí)際場景中分離出計(jì)數(shù)對象;第二步，用小棒一一對應(yīng)地表達(dá)數(shù)數(shù)的過程;第三步，觀察擺出的小棒， 將同樣的情況歸類;第四步，判斷生活場景中還會有哪些物體也可以用同樣的小棒表示;第五步，對照小棒的多少，嘗試用同一數(shù)字符號表示。上述過程大致如圖1所示。

上述活動的關(guān)鍵在于，在符號化之前，通過“做”的過程對“對應(yīng)”形成了真切而具體的體驗(yàn)， 同時(shí)感知了數(shù)的豐富表征。這樣，學(xué)生對數(shù)概念的理解就不會停留在機(jī)械地?cái)?shù)數(shù)，更不會只是抽象地讀數(shù)和寫數(shù)，而是賦予了數(shù)現(xiàn)實(shí)的意義，體會到數(shù)與現(xiàn)實(shí)之間的緊密聯(lián)系。進(jìn)一步地，為了豐富學(xué)生對10 以內(nèi)數(shù)的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，我們還可以讓學(xué)生運(yùn)用如圖2所示的特定計(jì)數(shù)工具來表示數(shù)， 讓學(xué)生體會同一個(gè)數(shù)的不同表征方式，進(jìn)而幫助學(xué)生形成良好的數(shù)感。

對于十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的理解，可以借助計(jì)數(shù)器的操作來實(shí)現(xiàn)。計(jì)數(shù)器作為半抽象的表征工具，可以很好地幫助學(xué)生由具體過渡到抽象，或解釋抽象的數(shù)所表示的具體含義。利用計(jì)數(shù)器實(shí)現(xiàn)對計(jì)數(shù)法的深度理解，其中具有典型意義的是以下兩個(gè)操作過程：

一是從方塊（小棒）的具體表征，過渡到計(jì)數(shù)器的半抽象表征。其價(jià)值在于，從方塊（小棒）計(jì)數(shù)過渡到計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)時(shí)，引入數(shù)位概念，并在對應(yīng)數(shù)位上用幾粒算珠表示幾個(gè)十（百、千……）， 這就為學(xué)生搭建了一個(gè)半抽象的橋梁，從而在“做數(shù)學(xué)”的過程中直觀地感知位值計(jì)數(shù)。其過程如圖3所示。

二是利用計(jì)數(shù)器體會“滿十進(jìn)一”。對于“滿十進(jìn)一”的理解，較為典型的操作過程是：在計(jì)數(shù)器上表示出999 后，如果繼續(xù)添上1，如何從個(gè)位撥起，逐步向前一位進(jìn)一，最后拓展出千位，并表示出1000 。其操作過程如圖4所示。

上述過程，一方面豐富了數(shù)的表征方式，另一方面通過計(jì)數(shù)器等具有半抽象特性的工具操作，?在“做數(shù)學(xué)”的過程中，讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識得到動態(tài)的呈現(xiàn)。這樣的過程，有助于學(xué)生對數(shù)及計(jì)數(shù)法的深度理解。

二、在“做數(shù)學(xué)”中經(jīng)歷構(gòu)造過程，深度理解圖形性質(zhì)

理解并掌握圖形的性質(zhì)是認(rèn)識圖形的核心內(nèi)容。對圖形性質(zhì)的認(rèn)識并不是僅基于圖形的定義進(jìn)行推理的結(jié)果，更重要的是從圖形本身出發(fā)所獲得的發(fā)現(xiàn)。這種發(fā)現(xiàn)的過程可以設(shè)計(jì)成“做數(shù)學(xué)”的過程，讓學(xué)生通過構(gòu)造圖形發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形的特征。這種發(fā)現(xiàn)有助于學(xué)生對圖形性質(zhì)的深度理解。例如，對于三角形而言，任“意兩邊之和大于第三邊”是其重要的特性。為了幫助學(xué)生在自主探索中獲得相關(guān)的發(fā)現(xiàn)，可以設(shè)計(jì)如下的“做數(shù)學(xué)”過程：

（1）提出數(shù)學(xué)問題：任意選取三根小棒，能圍成一個(gè)三角形嗎？

（2）通過對具體材料的操作， ?確定研究對象：嘗試從長度分別為8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的四根小棒中，任選三根圍三角形。

（3）對操作產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行初步的觀察并分成兩類：不能圍成三角形的與能圍成三角形的。

（4）對比、歸納并獲得初步的發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生猜想： 從小棒長度的關(guān)系出發(fā)，分析研究不能圍成三角形的原因以及能圍成三角形的規(guī)律。

（5）重復(fù)實(shí)驗(yàn)， 驗(yàn)證猜想： 測畫任意的三角形， 量驗(yàn)證其三條邊之間的關(guān)系。

（6）探究原理： 為什么三角形任意兩邊長度的和大于第三邊？

（7）得出結(jié)論。

顯然，上述過程是一個(gè)在“做”中發(fā)現(xiàn)的過程， “做”中產(chǎn)生的現(xiàn)象構(gòu)成了直觀的分析對象，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有所依托，也為后續(xù)數(shù)學(xué)原理的探究奠定了基礎(chǔ)。有了上述過程，學(xué)生對三角形的抽象特性就有了具體而深刻的理解。

再如，對于四邊形與其對角線的關(guān)系，同樣可以通過構(gòu)造圖形的過程，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)：第一步，通過實(shí)際操作，分析作為四邊形對角線的兩條線段相交的各種情況（如圖5）; 第二步，對是否平分、是否垂直、是否相等進(jìn)行分類研究，提出初步的猜想;第三步，通過對材料的具體操作初步驗(yàn)證猜想;第四步，嘗試給出嚴(yán)格的證明。

上述“做數(shù)學(xué)”的過程，實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生在“做” 中發(fā)現(xiàn)，“做”的素材與“做”的過程，成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)。正是經(jīng)歷了“做”后的猜想、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對圖形性質(zhì)的深度理解。

三、在“做數(shù)學(xué)”中明晰運(yùn)算原理，深度理解運(yùn)算法則

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：?在“基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理?！雹贁?shù)學(xué)運(yùn)算雖然最終表現(xiàn)為一個(gè)程序化的操作過程，但程序的形成及其選擇需要建立在對運(yùn)算的理解基礎(chǔ)上。這種理解，不僅有助于學(xué)生在進(jìn)一步運(yùn)用算法的過程中進(jìn)行自我監(jiān)控，從而提高算法形成的質(zhì)量，也有助于學(xué)生在追問原理的過程中形成初步的理性精神。

以多位數(shù)除法的筆算為例。學(xué)生在列豎式計(jì)算時(shí)，從高位算起的運(yùn)算順序，與先前學(xué)習(xí)整數(shù)加法、減法、乘法時(shí)從個(gè)位算起完全不同。是告知學(xué)生按規(guī)定必須如此去做，還是讓學(xué)生在理解除法運(yùn)算基本原理的基礎(chǔ)上，自主作出從高位算起的選擇？ 顯然，無論是著眼于數(shù)學(xué)知識教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)，還是著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，都應(yīng)該選擇后者。通過操作表征具體數(shù)量的小棒（方塊）學(xué)具，探索平均分的具體方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)” 的過程，幫助學(xué)生建立運(yùn)算過程的表象，從而為進(jìn)一步理解并掌握較為抽象的算法奠定基礎(chǔ)。

比如，對于非表內(nèi)除法的兩位數(shù)除以一位數(shù)， 可以讓學(xué)生用分小棒（方塊）的方法分別探索"46÷2"“52÷2”“52÷4”的算法，逐步理解除法筆算算法的基本原理以及運(yùn)算程序的合理性。探索“46÷2”的算法是第一層次。主要是讓學(xué)生體會將46 平均分成2份，要有步驟地將組成數(shù)的每一部分平均分：可以先分4個(gè)十，再分6個(gè)一;也可以先分6個(gè)一，再分4個(gè)十。探索“52÷2”的算法則構(gòu)成了第二層次。在繼續(xù)嘗試應(yīng)用前述兩種分法時(shí)，重點(diǎn)探索十位上平均分成2份后余下的1 個(gè)十如何處理：先分5個(gè)十，再將余下的1個(gè)十與2個(gè)一合并后再分;先分2個(gè)一，再分5個(gè)十，其中1個(gè)十需要打散再分。由此，學(xué)生初步體會到兩種分法的優(yōu)劣。探索“52÷4的”算法則進(jìn)入第三層次。學(xué)生在操作時(shí)體會到，從個(gè)位上分起有時(shí)無法進(jìn)行，從十位上分起適合各種類型的除法，從而在比較中自主得出：兩位數(shù)除以一位數(shù)一般從十位上除起。最后，讓學(xué)生用除法豎式表示每一步分的過程，除法筆算的程序由此自然產(chǎn)生。

上述過程的實(shí)質(zhì)是讓抽象的思維過程變得清晰可見，歷經(jīng)從實(shí)物操作到表象操作再到符號操作的過程，契合了學(xué)生的年齡心理特征，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對運(yùn)算法則的深度理解。

再以隔位退位減為例。退位減法是整數(shù)、小數(shù)減法計(jì)算的難點(diǎn)之一，而隔位退位減又是難點(diǎn)中的難點(diǎn)。所謂“隔位退位減”，是指形如204-108 這樣的減法，列豎式筆算時(shí)，個(gè)位上不夠減，需從十位上借“1當(dāng)”十，而十位上是0，則需從百位上借“1”至十位當(dāng)十，再在其中借“1”至個(gè)位。這一過程對于學(xué)生而言，不僅理解有困難，實(shí)際計(jì)算時(shí)033也比較容易出錯(cuò)。借助計(jì)數(shù)器，通過撥珠的過程， 可以幫助學(xué)生理解算理，也有利于學(xué)生從中提煉出具體的計(jì)算方法。

比如，對于204-108，具體相減時(shí)，從高位上借“”的過程如圖6所示。隨后豎式計(jì)算的過程，則可以視作這一過程的符號化操作。

正是有了前述直觀的操作過程，抽象的符號化過程就有了依托，學(xué)生在書寫豎式時(shí)，頭腦中如動畫般逐步閃過上述過程，實(shí)現(xiàn)了對算理的深度理解，有效化解了計(jì)算難點(diǎn)。

此外，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過程相對比較簡單， 但其算理理解卻并不容易。借助折紙表示相應(yīng)分?jǐn)?shù)乘法意義的過程，是幫助學(xué)生理解算理的有效辦法。可以從分?jǐn)?shù)單位相乘開始，逐步過渡到任意分?jǐn)?shù)相乘。具體過程如圖7所示。這樣的過程，讓學(xué)生借助分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算過程的清晰表征，逐步理解分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘為什么可以用分母相乘做分母、分子相乘做分子。

可見，“做數(shù)學(xué)”過程中的操作體驗(yàn)，以及對操作材料的具體感知，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供了豐富的素材支撐：一方面，學(xué)生通過形象直觀的素材和具體清晰的操作過程，理解了運(yùn)算的算理;另一方面，理解算理時(shí)所經(jīng)歷的“做數(shù)學(xué)”過程，也為后續(xù)怎樣具體計(jì)算，即運(yùn)算法則的形成提供了有效的支撐。這樣的過程，給原本枯燥的、按部就班的計(jì)算過程賦予了意義，讓學(xué)生既實(shí)現(xiàn)了對運(yùn)算法則的深度理解，也體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與理性。

四、在“做數(shù)學(xué)”中直觀感知要義，深度理解數(shù)學(xué)概念

早在20 世紀(jì)90 年代，陳重穆先生就提出“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的主張，并得到了數(shù)學(xué)教育界的廣泛響應(yīng)。他指出：“概念要靠直觀演示、具體操作，使學(xué)生領(lǐng)悟。要通過學(xué)生實(shí)際去‘做，具體去‘用，形成實(shí)惠，加深領(lǐng)悟，才能逐步掌握?！雹?“做數(shù)學(xué)”的過程，往往就是這種“做”和“用”的過程，通過精心設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)工具，幫助學(xué)生在操作活動中，直觀地感知數(shù)學(xué)概念的要義，從而觸及數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

以函數(shù)概念為例。學(xué)生從初中到高中學(xué)習(xí)了很多函數(shù)知識，高中教材也相應(yīng)給出了由“非空集合、對應(yīng)法則、定義域、值域”等要素組成的函數(shù)定義，但學(xué)生從中卻未必能深刻理解“對應(yīng)”與“變化”的思想內(nèi)涵。對此，可以專門設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)工具“函數(shù)發(fā)生器”，讓學(xué)生在操作活動中直觀感知“對應(yīng)”與“變化”的要義。

“函數(shù)發(fā)生器”，可以是借助計(jì)算機(jī)技術(shù)設(shè)計(jì)的簡單程序，也可以是利用相關(guān)材料制作的有模擬輸入、輸出端口的實(shí)物工具。具體操作時(shí)，從輸入端口具體輸入一個(gè)數(shù)（數(shù)字卡片）， 在輸出端口就會產(chǎn)生一個(gè)對應(yīng)的數(shù)（數(shù)字卡片）。如此反復(fù)， 學(xué)生進(jìn)一步體會到輸入和輸出之間存在著對應(yīng)關(guān)系，并且這種對應(yīng)關(guān)系符合某一法則。與此同時(shí)， 隨著輸入的變化，輸出也在相應(yīng)變化。具體如圖8 所示。

這樣，抽象的“對應(yīng)”與“變化”便以直觀的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前。這種直觀，給學(xué)生留下的印象正是函數(shù)的實(shí)質(zhì)。運(yùn)用這樣的工具，即便是小學(xué)生，也可以通過“做數(shù)學(xué)”的過程，體驗(yàn)到“對應(yīng)” 與“變化”的思想，只不過暫時(shí)不必給出函數(shù)的概念。

與此相類似的是數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)?？梢越柚岸嗝字Z骨牌”來理解其要義：通過“第一張骨牌倒下”和“任意一張骨牌倒下都會導(dǎo)致其后續(xù)一張倒下”這兩個(gè)事件發(fā)生會導(dǎo)致“所有骨牌倒下”事件的發(fā)生，直觀理解由“n=1時(shí)命題成立”和“假設(shè)n=m時(shí)命題成立，可以推導(dǎo)出n=m+1 時(shí)命題成立”，獲得“命題對于所有正整數(shù)都成立”的結(jié)論。

抽象如函數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法，可以通過“做數(shù)學(xué)”實(shí)現(xiàn)對概念要義的直觀感知。而小學(xué)數(shù)學(xué)中某些貌似簡單的概念，也可以借助“做數(shù)學(xué)”直觀理解其形式背后的實(shí)質(zhì)。

例如，對于公倍數(shù)和公因數(shù)，雖說用“兩個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)（因數(shù)）是它們的公倍數(shù)（公因數(shù)）即”可準(zhǔn)確描述概念，但其實(shí)這并沒有反映出概念的實(shí)際意義及其背后的實(shí)質(zhì)。

對此，可以設(shè)計(jì)一個(gè)用小長方形去鋪正方形的活動（過程如圖9所示）， 讓學(xué)生在操作活動中體會長方形的長和寬與能否正好鋪滿的正方形的邊長的關(guān)系，從而通過幾何直觀感知公倍數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。

與此類似，可以設(shè)計(jì)一個(gè)用小正方形去鋪長方形的活動（過程如圖10所示），讓學(xué)生在操作活動中體會正方形的邊長與能否正好鋪滿的長方形的長和寬的關(guān)系，從而通過幾何直觀感知公因數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。

用文字或符號來描述一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見做法。但如果僅就此描述，只從字面上作出解釋，則難免停留于形式而不能觸及本質(zhì)。通過“做數(shù)學(xué)”的方式展開學(xué)習(xí)過程，借助典型的數(shù)學(xué)材料以及對材料的有序操作，讓抽象的概念直觀化、隱形的思維可視化，可有效幫助學(xué)生直觀感知概念的要義，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深度理解。

五、結(jié)語

數(shù)及計(jì)數(shù)法、圖形的性質(zhì)、運(yùn)算法則以及一些重要的數(shù)學(xué)概念，雖非數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，但毫無疑問都是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。正是經(jīng)由“做數(shù)學(xué)”的過程，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對這些數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的深度理解。由此，我們可以看到“做數(shù)學(xué)”的一般路徑及其在促進(jìn)數(shù)學(xué)理解方面的獨(dú)特價(jià)值。我們還可以看到，無論是從指向數(shù)學(xué)知識實(shí)質(zhì)的角度，還是從符合兒童認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)的角度，乃至從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的角度，“做數(shù)學(xué)”對數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐而言都具有重要的意義。

（郭慶松，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室。江蘇省教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會秘書長。研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)、評價(jià)等。）