“做數(shù)學”:中小學生適合教育的實踐構建①

【編者按】數(shù)學學習究竟應該以怎樣的方式進行？ 數(shù)學學科的獨特育人價值能夠在怎樣的學習過程中更好地實現(xiàn)？ 基于中國傳統(tǒng)文化“知行結合”的哲學淵源，借鑒近代以來杜威等人提出的“從做中學”理念，董林偉主任領銜的團隊在對數(shù)學實驗教學進行了多年研究和實踐的基礎上，進一步提出“做數(shù)學”的主張。本期《關注》欄目的8篇文章，分別對“做數(shù)學”的概念建構、實踐模型、理論基礎、育人價值進行了深入研究，并結合具體的教學案例，對如何通過“做數(shù)學”幫助學生實現(xiàn)對數(shù)學的深度理解，歷經(jīng)對數(shù)學的自主探究，體驗對數(shù)學的實踐創(chuàng)新，給出了具體的方法和路徑;還通過教學實驗，研究了“做數(shù)學”對學生提出問題能力以及邏輯推理、直觀想象能力的影響。

摘要：“做數(shù)學”是以“做”為支架， 通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，獲得數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和應用數(shù)學知識的一種學習方式。它改變了數(shù)學知識的形態(tài)，改進了學生學習的方式， 促進了學生認知和情感的和諧發(fā)展，是構建中小學生適合教育的學科實踐。通過將“做數(shù)學”寫進國標教材，研制“做數(shù)學” 系列手冊，開發(fā)課程內(nèi)容配套的系統(tǒng)學具等資源建設，助力“做數(shù)學”真正成為課堂教學的常態(tài)。

關鍵詞：“做數(shù)學”;適合教育;實踐模型;資源建設

數(shù)學是一門系統(tǒng)且嚴謹?shù)难堇[科學，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。在發(fā)展和完善的過程中，數(shù)學逐漸脫離了現(xiàn)實對象， 僅保留了數(shù)量關系和空間形式，許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)和結論很難找到具有直觀意義的現(xiàn)實原型。這給學習者的理解帶來了困難，同時也影響了學習者對數(shù)學廣泛應用性的感悟。這些特點都使得學習者對數(shù)學產(chǎn)生了一種神秘感，進而疏遠了與數(shù)學的距離。在世界各國，“數(shù)學難學”已是一個不爭的事實。

義務教育階段的學生，尤其是小學生，其認知發(fā)展處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段;即便是初中生，也尚未形成比較成熟的抽象邏輯思維，且生活和實踐經(jīng)驗有限。因此，在學習數(shù)學的過程中，他們往往需要利用已有的知識與經(jīng)驗，通過對研究對象的觀察、實驗、概括、推理， 發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，揭示研究對象的本質(zhì)特征。但現(xiàn)狀卻是學生多通過聽教師講、反復記憶、重復做題來學習數(shù)學，練得多、悟得少，對數(shù)學知識的本源缺乏理解，對數(shù)學內(nèi)在的思想方法缺少感悟，對數(shù)學學習也普遍缺乏熱情。

21 世紀初，中國啟動了基礎教育新課程改革?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準（實驗稿）》）提出，“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動…… 動手實踐、自主探索與合作交流是學習數(shù)學的重要方式。”《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》也強調(diào)，要為每個學生提供適合的教育，促進每個學生主動地、生動活潑地發(fā)展。因此，針對學生認知水平、活動經(jīng)驗、學習方式等與數(shù)學學科特點及要求之間的落差，需要我們尋求有效的“橋梁”，為學生提供一種適合的教育。

一、“做數(shù)學”的概念建構

早在20 世紀90 年代，我們就開始嘗試：借助“工具”，設計操作活動，為學生搭建適合的數(shù)學學習“支架”。

例如，借助“多米諾骨牌游戲”（如圖1所示）， 讓學生經(jīng)歷數(shù)學歸納法的直觀、動態(tài)的抽象過程， 讓抽象的遞推“可視化”。再如，借助“轉圈游戲”， 讓學生親身經(jīng)歷多邊形外角和定理的發(fā)現(xiàn)過程， 在將生活情境轉化成數(shù)學問題的過程中形成證明的思路與方法，即：在多邊形內(nèi)取一點，作各邊的平行射線，構成一個周角（如圖2所示）; 或者利用電腦軟件的動態(tài)功能，將多邊形逐漸縮小，直到退成一個點，這時，各外角和直觀地形成一個周角。

這類數(shù)學活動，具有這樣一些顯著特點：

一是將數(shù)學的知識置于一定的現(xiàn)實情境中。這種真實的、可親近的學習環(huán)境，容易讓學生產(chǎn)生學習的訴求。

二是現(xiàn)實情境中有明確的學習目標指向。通過一定的指向性問題（任務）， 引發(fā)學生的思考，讓學習自然發(fā)生。

三是學生必須使用一定的工具（實物模型或電腦軟件）。這些工具實質(zhì)上是實驗對象物化了的載體，讓操作者更容易“數(shù)學化”地觀察、歸納、類比和猜想，讓思維可視化。

四是學生借助工具，通過操作、觀察、實驗、歸納、類比、交流等，調(diào)動多種感官參與學習過程，體悟數(shù)學知識、原理和方法，讓學習真正發(fā)生。

這是一種動手動腦相結合的數(shù)學學習活動， 是教師引導學生在特定的問題（任務）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，獲得數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和應用數(shù)學知識的一種學習方式。我們稱之為“做數(shù)學”。

通過“做數(shù)學”，抽象的數(shù)學知識可以轉化為具象的數(shù)學知識，結果性知識可以轉化為過程性知識，靜態(tài)的知識可以轉化為動態(tài)的知識，從而使數(shù)學知識呈現(xiàn)的形態(tài)更加符合中小學生的認知特點。

通過“做數(shù)學”，學生學習數(shù)學的方式也在發(fā)生變化：變被動接受為主動探究;變統(tǒng)一化學習為個性化學習;變離身思辨為具身體驗，變“半腦”學習為“全腦”學習。

通過“做數(shù)學”，學生不僅獲得了抽象數(shù)學概念、歸納數(shù)學原理的直接體驗，而且從數(shù)學法則、性質(zhì)、定理、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)過程中獲得了如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法論感悟。

另外，“做數(shù)學”還極大地激發(fā)了學生的學習興趣，調(diào)動了學生的學習熱情，引起了學生的好奇心，使學生以一種積極的態(tài)度投入實驗探究的活動中。積極的情感體驗是激發(fā)靈感的強大動力，?可以促使創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生。

實踐證明，對于義務教育階段的學生來說， “做數(shù)學”無疑是他們喜歡的、適合他們的一種數(shù)學學習方式。

二、“做數(shù)學”的實踐模型

根據(jù)學段、內(nèi)容以及目標的不同，“做數(shù)學”可以分成操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等三種不同的實踐模型。

（一）操作體驗：讓學生在體悟的過程中獲得感知、學會抽象

中小學生數(shù)學學習的內(nèi)容包含大量抽象的數(shù)學概念、原理和法則，但“傳統(tǒng)教學的特點，就在于往往是口頭講解，而不是從實際操作開始數(shù)學教學”（皮亞杰語）。教學過程的功利化、形式化，不能有效調(diào)動學生的各種感官參與學習活動。學生“悟”的過程太短甚至沒有，很難對知識產(chǎn)生興趣， 也難以主動學習，更難以養(yǎng)成專注于數(shù)學問題的習慣。

改變這種現(xiàn)狀，需要在教學中增加操作體驗類的“做數(shù)學”活動，讓學生經(jīng)歷“感知—感悟—知識”的過程。也就是說，通過提供豐富的、真實的問題，安排動眼觀察、動手操作、動腦思考的任務， 引導學生自主活動，獲得理解概念、規(guī)律所需的“事實”，形成對概念、規(guī)律本質(zhì)的深刻體悟;通過延長知識的獲得過程，給學生提供感悟知識精髓的時間和空間，讓學生在具身體會的過程中獲得“如何思考”的體驗，使知識真正變成智慧，進一步激發(fā)學習的興趣。

（二）數(shù)學實驗：讓學生在探究的過程中習得方法、發(fā)展思維

促進學生的思維發(fā)展，是數(shù)學教育的重要任務之一。傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，教師注重知識的系統(tǒng)性和邏輯的嚴謹性，學生主要是記住數(shù)學結論， 然后進行題海式的訓練。這樣的教學，并不利于學生的思維發(fā)展。

數(shù)學實驗是“做數(shù)學”的另一種實施形態(tài)，是教師引導學生經(jīng)歷探索過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和尋找證明方法的一種學習方式。數(shù)學實驗將動手操作和動腦思考有機地結合在一起，實踐性和操作性是它的外部特征，通過實驗活動促進思維發(fā)展則是它的內(nèi)在核心和最終歸屬。在一個數(shù)學實驗中，觀察與分析交織，具象與抽象并存;從實驗前的猜想、實驗中的思考到實驗后的總結，都是發(fā)展學生思維的優(yōu)良環(huán)境，同時為學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)提供了空間。

借助數(shù)學實驗，可以讓學生獲得如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法論感悟，實現(xiàn)接受式、思辨式學習向探究式、體驗式學習的轉變;借助數(shù)學實驗，可以讓學生經(jīng)歷動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結論等環(huán)節(jié)，充分體驗“知識從何而來”知“識是什么”“知識向何而去”的完整數(shù)學學習過程。

（三）綜合實踐：讓學生在應用的過程中積累經(jīng)驗、學會創(chuàng)新

一方面，學生只有認識到數(shù)學存在于現(xiàn)實生活中并被廣泛應用于現(xiàn)實世界，才能切實體會到數(shù)學的應用價值;另一方面，學生正處在人生觀、價值觀形成的關鍵階段，他們不滿足于單純的書本知識的學習，具有參與社會生活的愿望和一定的社會實踐能力。拓展數(shù)學學習的空間，在生活中學習，在實踐中學習，在應用中學習，主動地參與并服務于社會生活，成為學生身心發(fā)展的客觀要求。

“綜合實踐”是《標準（實驗稿）》提出的課程內(nèi)容，要求學生能綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題的能力。綜合實踐”需要學生親自實踐，并在實踐中多角度地思考;需要學生相互合作，并在合作中準確表達各自的想法;需要學生不斷嘗試，并在嘗試中尋找策略或提出新的問題;需要學生運用各種工具，并且對這些工具進行合理的選擇;需要學生互相鼓舞，共同完成任務。因此，它也是“做數(shù)學”的一種實施形態(tài)。

“綜合實踐”強調(diào)學生通過實踐，增強問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，學習科學研究的方法， 發(fā)展綜合運用知識解決實際問題的能力，增進與社會的聯(lián)系，培養(yǎng)社會責任感。因此，在“綜合實踐”教學中，可以結合實際情境，引導學生獨立思考、合作研究，設計解決具體問題的方案，并加以實施，體驗建立模型、解決問題的過程，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題;可以通過對有關問題的探討，引導學生了解所學數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加深對有關知識的理解，進一步發(fā)展應用意識和能力;可以通過反思、總結、交流，引導學生進一步積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體悟“數(shù)學地思考”的思想，有效促進創(chuàng)新意識的形成。

三、做數(shù)學”的資源建設

在推進“做數(shù)學”的實踐過程中，需要幫助教師轉變教育觀念，提高教學水平，還需要給師生提供更多適合的教學方案，以及更多適用、好用、有用的教與學的材料和工具，才能使“做數(shù)學”真正進入常態(tài)的數(shù)學課堂，真正實現(xiàn)為學生提供適合教育的目標。

（一）將“做數(shù)學”寫進國標教材，引導教師轉變教育觀念、改進教學方式

2003年，我們第一次將“做數(shù)學”寫進了國家審定通過的蘇科版初中數(shù)學教材，提出要注重“做數(shù)學”，引導學生自主探索、積累活動經(jīng)驗。由此形成了蘇科版初中數(shù)學教材的一個鮮明特色：設置豐富多彩的欄目和內(nèi)容，吸引學生“做數(shù)學”。

除了《做一做》《操作》等欄目外，教材還設置了《數(shù)學活動》《課題學習》等欄目及章首活動，讓學生“會做數(shù)學”;運用現(xiàn)代信息技術，如Excel、幾何畫板等，讓學生“巧做數(shù)學”;設計基礎性、趣味性、挑戰(zhàn)性的活動，讓學生“愛做數(shù)學”。

另外，教材還設置了《數(shù)學實驗室》專欄，分別放在一節(jié)內(nèi)容的開頭、中間、結束處，體現(xiàn)數(shù)學實驗的三種不同的價值取向：開頭位置，利用數(shù)學實驗感受數(shù)學（抽象數(shù)學）;中間位置，利用數(shù)學實驗探究知識和方法（發(fā)現(xiàn)原理、規(guī)律等）;最后位置， 運用所學知識和方法解決問題。

2004年9月，教材開始在江蘇、廣東、廣西等地的近百萬初一新生中使用，對引導教師理解新課程理念，實施“做數(shù)學”起到了促進作用。

之后，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《（2011年版）標準》也采用了蘇科版教材的“做數(shù)學”的有效做法，明確提出了“有條件的學?？梢越?shù)學實驗室”，使數(shù)學實驗的實踐從江蘇等地走向了全國。

從《標準（2011年版）》頒布開始，蘇教版小學數(shù)學教材系統(tǒng)規(guī)劃、增設了引導學生動手“做數(shù)學”的《動手做》欄目。該教材在全國多個地區(qū)已有近千萬小學生使用，反響較好。

（二）研制“做數(shù)學”系列手冊，為師生提供系統(tǒng)的教學方案

根據(jù)《標準（實驗稿）》的要求，2008年，我們就組織力量編寫了《數(shù)學綜合與實踐活動》（初中，共5 冊），供廣大教師指導學生的動手操作實踐活動使用。2010年，我們又編制了國內(nèi)首套《數(shù)學實驗手冊》（初中，共5冊），與蘇科版教材同步。經(jīng)過3年的試點實踐后，分別于2014年、2015年由江蘇省中小學教材審定委員會審查通過，供全省初中學生免費使用?！稊?shù)學實驗手冊》設計了系列實驗方案10?多個，每個實驗方案都包括實驗目的、實驗準備、實驗內(nèi)容與步驟、實驗指南等環(huán)節(jié)，并提出了相應的學與教建議?！稊?shù)學實驗手冊》還配套設計了部分可供實驗使用的硬紙片和透明紙等，方便師生在課堂中使用。同時，我們還組織專家編寫了與蘇教版教材同步的《小學數(shù)學實驗手冊》共12冊），2017 年開始在江蘇全省20多萬小學生中試用。2020 年，研究小組還以“數(shù)學體驗”為主題，編寫了《數(shù)學體驗活動手冊》（初中，共5冊）。

這些系列手冊的研制首先關注以下要素：一是操作性。學生在實驗過程中，要利用有關工具進行各種操作活動;在動手操作的活動過程中，將數(shù)學知識內(nèi)化為認知結果，達到意義建構。二是實證性。在實驗過程中，學生能夠?qū)ο?、過程、結果進行數(shù)學化的描述，使物化的“做數(shù)學”形象地反映數(shù)學原理和觀念。三是探究性。做數(shù)學” 本質(zhì)上是一種解決問題的活動，需要學生面對適度的困難開展嘗試和探索，通過觀察、分析、歸納、猜想等，獲得數(shù)學知識，找到解決問題的方法，并發(fā)展創(chuàng)新思維。四是發(fā)展性。著眼于學生的發(fā)展，通過學生的參與，展示數(shù)學的探索發(fā)現(xiàn)過程， 幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學、體驗數(shù)學、理解數(shù)學、運用數(shù)學，既獲得數(shù)學知識，又積累數(shù)學活動經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學認識和經(jīng)驗的同步增長。

“做數(shù)學”中的素材選取，需要契合教學內(nèi)容、知識點或活動環(huán)節(jié)。我們按照“做數(shù)學”形式的不同，選取以下素材：一是手工操作素材。包括折紙、拼圖、裁剪、切割等。學生通過實物操作，觀察數(shù)學現(xiàn)象，再加以分析概括、推理演繹等，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念、公式、法則、定理等，或驗證數(shù)學結論，獲得數(shù)學理解。二是游戲活動素材。有很多傳統(tǒng)經(jīng)典游戲與“做數(shù)學”有關，選取游戲素材，結合數(shù)學教學內(nèi)容，注入新鮮元素進行改造，可以設計出一些既似曾相識又有新創(chuàng)意的活動，能激發(fā)學生學習興趣，促進學生數(shù)學思考，加深學生數(shù)學理解。三是測量建模素材。學生借助測量工具， 如皮尺、測角儀、天平等，測量數(shù)據(jù)，然后記錄、分析數(shù)據(jù)，并利用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學模型解決實際問題。測量活動往往要走出課堂、走向社會，能夠幫助學生強化數(shù)學知識的運用，感受數(shù)學的應用價值。四是探究發(fā)現(xiàn)素材。這種素材又分為兩類，一類是以實物為載體的探究素材，主要是借助直觀模型，模擬、再現(xiàn)問題情境，需要學生利用已有的經(jīng)驗，選擇適當方法，自主探究數(shù)學知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論，有效解決現(xiàn)實生活問題;另一類是以電腦軟件為載體的探究素材，主要是利用信息技術，呈現(xiàn)教學中難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，如圖形的運動和變換等，將復雜內(nèi)容層次化，把靜態(tài)圖形動態(tài)化，從而幫助學生揭示數(shù)學內(nèi)涵，挖掘問題本質(zhì)。利用電腦軟件輔助問題探究是“做數(shù)學”的一條有效途徑。

（三）開發(fā)課程內(nèi)容配套的系統(tǒng)學具，讓“做數(shù)學”成為課堂教學的常態(tài)

“做數(shù)學”一般以動手實踐為基點，需要借助一定的實物或智能學具。

實物學具，是指利用物質(zhì)材料及其所包含的數(shù)學元素、特點開發(fā)的學具，如網(wǎng)格紙、火柴棒、七巧板等，具有直觀、易操作、貼近學生生活等特點。這類學具的使用有兩方面的作用：一是通過實物學具的操作，具象化地驗證所學的數(shù)學知識和方法，獲得相應的數(shù)學理解;二是借助實物學具的“數(shù)學化”操作，自主探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識和方法。

智能學具，是指利用各種軟件的計算、演示、動畫、變換等功能開發(fā)的學具，如計算器、圖形計算器、幾何畫板軟件等，具有計算功能強大、演示形象生動、便于揭示數(shù)學本質(zhì)、可以實現(xiàn)傳統(tǒng)手段難以實現(xiàn)的效果等優(yōu)點。這類學具的使用也有兩方面的作用：一是具象化地驗證所學的數(shù)學知識和所獲得的數(shù)學結論，幫助學生理解較為抽象的數(shù)學知識和結論，強化體驗的過程;二是借助計算功能、構圖功能，探索、發(fā)現(xiàn)所要學習的數(shù)學概念和原理。有時可以作為實物學具的輔助手段。

基于常態(tài)化的數(shù)學課堂教學需求，依據(jù)《標準（2011年版）》根據(jù)發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的需要，我們系統(tǒng)研發(fā)了初中數(shù)學實物學具42 組（件）， 并編寫了教程，涉及初中數(shù)學課程標準內(nèi)容的144 個點，涵蓋初中數(shù)學的所有核心內(nèi)容;系統(tǒng)研發(fā)了小學數(shù)學實物學具128 組（件）， 并編寫了使用案例272 個，涉及小學數(shù)學的80 個關鍵知識點，涵蓋小學數(shù)學的所有核心內(nèi)容。同時，對圖形計算器以及幾何畫板、GGB 等軟件在數(shù)學學習中的應用，我們也開發(fā)了相應的教程。

這些配套國家中小學數(shù)學課程內(nèi)容的系統(tǒng)學具的開發(fā)，切實解決了“完善課程內(nèi)容，加強實踐環(huán)節(jié)”所需要的，與完整的數(shù)學學習過程相配套的材料問題，方便師生在教與學中使用，讓“做數(shù)學”真正進入常態(tài)化的數(shù)學課堂。

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（董林偉，江蘇省教育科學規(guī)劃領導小組辦公室主任。特級教師，正高級教師。中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會副理事長，江蘇省教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會理事長，南京師范大學碩士生導師。蘇科版初中數(shù)學教材主編。獲得全國首屆高中數(shù)學優(yōu)秀課觀摩與評比一等獎， “蘇步青數(shù)學教育獎”一等獎。教學研究成果分別獲得第一、第二、第三屆江蘇省基礎教育教學成果獎特等獎，教育部第一、第二屆國家級教學成果獎二等獎。在《教育發(fā)展研究》《課程·教材·教法》《全球教育展望》《數(shù)學教育學報》《數(shù)學通報》等刊物發(fā)表論文60 余篇。研究方向：中學數(shù)學課程、教學、評價等。）