周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下量子材料的非平衡物態(tài)*

王恩 董文翰 周輝 劉猛 紀(jì)洪艷 孟勝 孫家濤?

1) (中國(guó)科學(xué)院物理研究所, 北京凝聚態(tài)物理國(guó)家研究中心, 北京 100190)

2) (北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院, 低維量子結(jié)構(gòu)與器件工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100081)

3) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

量子材料的拓?fù)湮飸B(tài)的研究是當(dāng)前凝聚態(tài)物理的重要前沿.區(qū)別于局域?qū)ΨQ(chēng)性破缺對(duì)物質(zhì)狀態(tài)進(jìn)行分類(lèi)的傳統(tǒng)方式, 量子物態(tài)可以用微觀體系波函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分類(lèi).這些全新的拓?fù)湮飸B(tài)有望顛覆傳統(tǒng)的微電子學(xué)并進(jìn)而推動(dòng)拓?fù)潆娮訉W(xué)的迅猛發(fā)展.當(dāng)前大部分理論和實(shí)驗(yàn)研究集中于研究量子材料的平衡態(tài)性質(zhì).周期性光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下量子材料遠(yuǎn)離平衡態(tài)、而達(dá)到非平衡態(tài)時(shí)的拓?fù)湮飸B(tài)近年來(lái)受到人們的廣泛關(guān)注.本文首先回顧周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下非平衡態(tài)的弗洛凱(Floquet)理論方法, 分別介紹無(wú)質(zhì)量(如石墨烯)、有質(zhì)量(如MoS2)等狄拉克費(fèi)米子材料體系在遠(yuǎn)離平衡態(tài)下的拓?fù)湮飸B(tài), 利用光場(chǎng)與量子物態(tài)的相干耦合實(shí)現(xiàn)對(duì)量子材料非平衡物態(tài)的調(diào)控; 從原子制造角度出發(fā), 光場(chǎng)誘導(dǎo)的相干聲子態(tài)直接改變了量子材料中電子躍遷的大小, 進(jìn)而調(diào)控量子材料的非平衡拓?fù)湮飸B(tài).量子材料中豐富的聲子態(tài)為非平衡拓?fù)湮飸B(tài)的調(diào)控提供了更多的可能性.最后, 文章展望了量子材料非平衡拓?fù)湮飸B(tài)在超快相變以及瞬態(tài)物態(tài)調(diào)節(jié)等未來(lái)可能發(fā)展方向的應(yīng)用.

1 引 言

拓?fù)湮飸B(tài)是凝聚態(tài)物理的重要前沿領(lǐng)域.這方面研究的快速發(fā)展已經(jīng)有近二十年, 涉及到的量子材料體系有拓?fù)浣^緣體[1–7]、拓?fù)浒虢饘賉8–14]、以及拓?fù)涑瑢?dǎo)體[15–17]等等.人們對(duì)拓?fù)湎嗟难芯恳呀?jīng)幾乎有了完整細(xì)致的分類(lèi)和系統(tǒng)表征[18], 例如近年來(lái)出現(xiàn)的高階拓?fù)湮飸B(tài)等[19–21].過(guò)去的這些研究大多集中在靜態(tài)的量子系統(tǒng), 當(dāng)其受到較小絕熱微擾時(shí)體系的能隙不閉合, 體系的拓?fù)湮飸B(tài)不隨外界條件改變, 即沒(méi)有外場(chǎng)響應(yīng).近年來(lái)人們發(fā)現(xiàn)利用光與物質(zhì)的耦合, 可以驅(qū)動(dòng)量子材料遠(yuǎn)離平衡態(tài)并使其發(fā)生拓?fù)湎嘧?這些非平衡態(tài)體系的研究方法用弗洛凱理論來(lái)描述.周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)引入時(shí)間這一獨(dú)特的自由度, 不僅實(shí)現(xiàn)平衡態(tài)下無(wú)法得到的弗洛凱非平衡態(tài)[15,22–25], 甚至實(shí)現(xiàn)靜態(tài)量子材料完全不具備的新型拓?fù)湮飸B(tài), 將非拓?fù)湫缘牧孔硬牧限D(zhuǎn)變?yōu)榫哂行滦屯負(fù)湮镄訹26–30], 如弗洛凱版本的馬約拉納費(fèi)米子[31–35], 拓?fù)涑瑢?dǎo)體[32,35,36], 拓?fù)浣^緣體以及陳絕緣體等[37].此時(shí)傳統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系可能不再適用, 陳數(shù)為零的能帶之間也可能存在反常的拓?fù)溥吔鐟B(tài)[38,39].這些新奇的量子物態(tài)在超快自旋電子學(xué)[40]、谷電子學(xué)[41–43]、拓?fù)潆娮訉W(xué)[44]、拓?fù)淞孔佑?jì)算[45]等方面都具有非常重要的研究意義.

為了表征和調(diào)控量子材料的拓?fù)湮飸B(tài), 人們發(fā)展了多種實(shí)驗(yàn)技術(shù)手段[46].其中泵浦-探測(cè)實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以在時(shí)間、空間以及能量自由度上進(jìn)行高分辨率的表征.通過(guò)調(diào)節(jié)光子能量, 光場(chǎng)強(qiáng)度, 極化方向等多自由度實(shí)現(xiàn)激光與量子材料的本征電子態(tài)產(chǎn)生耦合.比如當(dāng)飛秒激光光場(chǎng)脈沖持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)小于晶格振動(dòng)模式的振動(dòng)周期, 光子的相干性將傳遞給晶格的集體振動(dòng), 并引起聲子的共振激發(fā), 這種由于光子相位相干引起的原子集體運(yùn)動(dòng), 可稱(chēng)作相干聲子[40,47,48].原子集體振動(dòng)修飾后的電子已經(jīng)不同于未被修飾的電子, 此時(shí)電子被認(rèn)為是準(zhǔn)粒子.除了平衡態(tài)的能帶結(jié)構(gòu), 電子能帶結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出多重被修飾的復(fù)制的能帶, 也稱(chēng)為弗洛凱邊帶, 由弗洛凱理論來(lái)描述.聲子修飾后的電子能帶結(jié)構(gòu)可以利用時(shí)間分辨和角度分辨光電子能譜(time-resolved and angle-resolved photoemission spectroscopy,Tr-ARPES)探測(cè).其非平衡拓?fù)湮飸B(tài)可通過(guò)類(lèi)似平衡態(tài)的基本概念來(lái)描述.相干聲子的產(chǎn)生和探測(cè)不僅為研究量子材料中光與物質(zhì)耦合的基本物理提供了機(jī)遇, 同時(shí)為超快時(shí)間尺度下操控量子材料的動(dòng)力學(xué)特性, 如鐵電結(jié)構(gòu)相變[49]、瞬態(tài)增強(qiáng)的超導(dǎo)特性[50,51]、光致磁性耦合[52,53]等提供了新的機(jī)制, 為原子制造提供了新的可能.

費(fèi)米子和玻色子體系中均可實(shí)現(xiàn)弗洛凱系統(tǒng).近年來(lái)冷原子光晶格技術(shù)的發(fā)展, 促使人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和構(gòu)造全新的拓?fù)湎郲54,55]以及諸如時(shí)間晶體[22,23]等特殊系統(tǒng).人們可以利用激光控制冷原子相互作用實(shí)現(xiàn)周期性驅(qū)動(dòng)光晶格模型[56].通過(guò)對(duì)勢(shì)場(chǎng)或者相互作用強(qiáng)度進(jìn)行調(diào)控, 能夠?qū)崿F(xiàn)物理上等效的弗洛凱模型[57–60].在玻色子體系如光子晶體中, 一方面通過(guò)微波等調(diào)控手段, 可以直接實(shí)現(xiàn)弗洛凱系統(tǒng)[61].另一方面, 對(duì)于由螺旋狀波導(dǎo)構(gòu)成的光子晶體, 其沿螺旋軸方向光場(chǎng)傳輸行為與隨時(shí)間演化效果等同, 亦能在靜態(tài)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)等效周期性外場(chǎng)調(diào)制[26,38,62,63], 見(jiàn)圖1深藍(lán)色區(qū)域.

利用周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子材料達(dá)到非平衡態(tài)的調(diào)控被稱(chēng)為弗洛凱工程.由于增加了時(shí)間維度, 系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)性變得更為豐富, 弗洛凱系統(tǒng)中拓?fù)湎喾诸?lèi)亦變得更為豐富[24,25,55,64–66], 有可能調(diào)控得到高階拓?fù)涮匦訹36,67].對(duì)于拓?fù)浒虢饘袤w系而言, 無(wú)能隙線性色散能帶決定了其低能激發(fā)行為.利用外加光場(chǎng), 人們既可以實(shí)現(xiàn)量子材料能隙的打開(kāi)和關(guān)閉,也可以調(diào)控狄拉克錐或外爾錐的傾斜度[68,69].圓偏光打破了系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性, 而線偏光則破缺了體系的空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性, 由此可能導(dǎo)致體系序參量發(fā)生變化, 出現(xiàn)光誘導(dǎo)超導(dǎo)現(xiàn)象以及馬約拉納態(tài)[32].可以預(yù)期, 弗洛凱系統(tǒng)能夠與超快自旋電子學(xué)[70,71]、谷電子學(xué)、光電子學(xué)等相結(jié)合, 進(jìn)一步拓展弗洛凱工程的應(yīng)用范圍, 見(jiàn)圖1綠色區(qū)域.

圖1 弗洛凱工程研究框架示意圖.深藍(lán)區(qū)域代表被驅(qū)動(dòng)體系, 如玻色子系統(tǒng)、費(fèi)米子系統(tǒng)等; 紅色區(qū)域代表狄拉克以及外爾半金屬、馬約拉納費(fèi)米子、拓?fù)浣缑鎽B(tài)等非平衡拓?fù)湮飸B(tài); 綠色區(qū)域代表弗洛凱工程在超快自旋電子學(xué)、谷電子學(xué)、瞬態(tài)超導(dǎo)特性、斯格明子等方面存在潛在應(yīng)用.圖片素材來(lái)自文獻(xiàn)[31, 39, 62, 68, 70, 71]Fig.1.The schematic of the research framework of Floquet Engineering.The deep blue region denotes driven system including bosonic and fermionic system.The red region denotes the nonequilibrium states such as Dirac and Weyl semimetals, Majorana Fermions, topologically nontrivial interface states etc.And the green regions denotes the potential applications of Floquet engineering in ultrafast spintronics, valleytronics, transient superconductivity, Skyrmions etc.The pictures are adapted from Refs.[31, 39, 62, 68,70, 71].

本文將在量子材料的非平衡拓?fù)湮飸B(tài)及其調(diào)控方面進(jìn)行概述.首先介紹弗洛凱工程包含的基本內(nèi)容, 簡(jiǎn)要介紹弗洛凱定理的基本內(nèi)容及其拓?fù)湮飸B(tài)計(jì)算方法; 其次分別介紹周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下無(wú)質(zhì)量和有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子以及狄拉克節(jié)線半金屬的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)的演化; 然后從原子制造的角度出發(fā)介紹利用弗洛凱定理研究相干聲子對(duì)量子材料非平衡拓?fù)湮飸B(tài)的影響; 最后對(duì)未來(lái)可能的研究方向給出展望.本文對(duì)從事量子材料的動(dòng)力學(xué)理論和超快光譜實(shí)驗(yàn)的研究人員均具有一定的參考價(jià)值.

2 弗洛凱定理及其非平衡態(tài)的計(jì)算方法

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹如何描述周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的弗洛凱系統(tǒng).在數(shù)學(xué)上, Floquet[72]在1883年證明了對(duì)于一階線性常微分方程如果A(t) 是周期為T(mén)的連續(xù)周期函數(shù), 那么其基本解的形式為x(t)=Q(t)exp(tK),Q(t+2T)=Q(t).這 被 稱(chēng)為弗洛凱定理.對(duì)于含時(shí)量子系統(tǒng), 其波函數(shù)演化遵循薛定諤方程

其中|Φ(t)〉 為系統(tǒng)波函數(shù),為體系哈密頓量, 驅(qū)動(dòng)周期T=2π/?.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文約定 ? =1.根據(jù)上述弗洛凱定理, 方程(1)的解可以寫(xiě)為一個(gè)隨時(shí)間變化的相因子和周期性函數(shù)的乘積[73]:

這里|Φα(t)〉 稱(chēng)為弗洛凱本征態(tài), 周期性函數(shù)部分|uα(t+T)〉=|uα(t)〉 ,?α稱(chēng)為準(zhǔn)能量.由于弗洛凱本征態(tài)是周期函數(shù), 具有和系統(tǒng)哈密頓量相同的周期.假如系統(tǒng)具有空間平移對(duì)稱(chēng)性, 由布洛赫定理可以將薛定諤方程的解進(jìn)一步寫(xiě)為布洛赫-弗洛凱態(tài)的形式:

在弗洛凱系統(tǒng)中弗洛凱本征態(tài)之間的內(nèi)積可以定義為一個(gè)驅(qū)動(dòng)時(shí)間周期內(nèi)對(duì)本征態(tài)波函數(shù)內(nèi)積的平均[75–77]:

在上述內(nèi)積定義下, 任意不相同的弗洛凱本征態(tài)之間兩兩正交,{|Φα(t)〉}構(gòu)成一組正交歸一完備基.通過(guò)本征態(tài)和內(nèi)積定義, 所考察的隨時(shí)間周期變化的電子波函數(shù)所張成的空間不再是原有的希爾伯特空間R, 而是廣義希爾伯特空間R?T, 其中T代表時(shí)間周期函數(shù)構(gòu)成的空間.

對(duì)應(yīng)的矩陣形式為

定義 (HF)mn=Hm?n?m?·Ⅱ , 其中 Ⅱ 為單位矩陣,HF被稱(chēng)為弗洛凱哈密頓量.通過(guò)將含時(shí)的映射到時(shí)間無(wú)關(guān)的弗洛凱哈密頓量HF, 在周期性外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化行為可以從準(zhǔn)靜態(tài)系統(tǒng)出發(fā)描述.在光場(chǎng)頻率較高、強(qiáng)度較小的情況下, 截?cái)嗪蟮母ヂ鍎P哈密頓量矩陣[68]僅選取m= 0, ±1, ±2, 就可以較好地描述系統(tǒng)布洛赫-弗洛凱態(tài)的能帶結(jié)構(gòu)和波函數(shù).如果從系統(tǒng)的時(shí)間演化算符U(t,t0) 出發(fā), 在周期性外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下, 系統(tǒng)波函數(shù)按照如下演化|Φ(t)〉=U(t,t0)|Φ(t0)〉.弗洛凱哈密頓量HF可以借由時(shí)間演化算符構(gòu)造得到,eiHFT=U(T+t0,t0).從定義中可以看出,HF描述了弗洛凱系統(tǒng)在周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)演化行為.

除了矩陣截?cái)喾椒ㄍ? 系統(tǒng)的有效弗洛凱哈密頓量可以通過(guò)微擾展開(kāi)方法構(gòu)建.在形式上, (6)式中的弗洛凱哈密頓量HF對(duì)系統(tǒng)周期T進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)[78]:

利用Magnus展開(kāi)[78–80], 可以得到在外場(chǎng)較弱、驅(qū)動(dòng)頻率較高的情況下的近似公式為[71,81–83]

反之在驅(qū)動(dòng)頻率較低的情況下, 同樣可以使用微擾理論處理.回顧弗洛凱本征方程(5), 定義(H′)mn=Hm?n為非微擾意義下的哈密頓量, 這等價(jià)于直接將希爾伯特空間R中的電子波函數(shù)映射至廣義希爾伯特空間R?T.

利用廣義希爾伯特空間中的內(nèi)積定義(4)式, 以及對(duì)薛定諤方程中弗洛凱態(tài)的周期性要求, 最終可以得到微擾展開(kāi)至最近幾階的哈密頓量及其準(zhǔn)能級(jí)和系統(tǒng)波函數(shù).

為了直觀展示弗洛凱哈密頓量與系統(tǒng)靜態(tài)哈密頓量之間的相互關(guān)系, 以周期性光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的具有線性色散關(guān)系的體系為例(圖2(a)), 求解弗洛凱本征值方程得到的弗洛凱-布洛赫能帶如圖2(b)所示.通過(guò)對(duì)弗洛凱系統(tǒng)進(jìn)行傅里葉變換, 弗洛凱哈密頓量的對(duì)角元的形式和平衡態(tài)下哈密頓量相同.由于光場(chǎng)的引入, 使得體系本征態(tài)之間通過(guò)吸收和釋放虛光子過(guò)程耦合在一起, 也對(duì)應(yīng)矩陣表達(dá)式(6)式中的非對(duì)角元項(xiàng), 并在多重能帶的交叉點(diǎn)打開(kāi)能隙, 如圖2(c)所示.Mahmood等[84]利用泵浦-探測(cè)技術(shù)在Bi2Se3表面探測(cè)到了弗洛凱能帶的線性色散特征, 如圖2(d)所示.圓偏光打破了時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性, 在線性能帶的交叉點(diǎn)處打開(kāi)了能隙[85].

圖2 (a) 在具有線性狄拉克錐的體系中施加圓偏光, 實(shí)現(xiàn)周期性外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的弗洛凱系統(tǒng)[71].(b) 弗洛凱系統(tǒng)中的能帶結(jié)構(gòu)和邊帶[71].(c) 弗洛凱系統(tǒng)能帶結(jié)構(gòu)起源示意圖.每一個(gè)方框分別代表靜態(tài)系統(tǒng)哈密頓量子空間, 由于光場(chǎng)的引入, 使得相鄰子空間的本征態(tài)之間通過(guò)吸收和發(fā)射虛光子過(guò)程發(fā)生耦合, 對(duì)應(yīng)矩陣表達(dá)式中的非對(duì)角元項(xiàng) H ±1 , 更高階非對(duì)角元?jiǎng)t對(duì)應(yīng)多光子過(guò)程.(d) 利用Tr-ARPES技術(shù)在Bi2Se3表面觀察到的弗洛凱-布洛赫能帶結(jié)構(gòu)[84].其中顏色深淺代表對(duì)應(yīng)光電子信號(hào)強(qiáng)度, 圖中紅色箭頭表示能隙所在位置Fig.2.(a) Floquet system driven by a periodic external field can be created by imposing circularly polarized laser on a linear Dirac cone[71].(b) Energy band structure and energy band replica in Floquet systems[71].(c) Schematic diagram of the origin of the energy side band of the Floquet system.Each framework represents one subspace from the Hamiltonian of the static system.The light field make the original eigenstates of different subspace coupled together through the process of absorbing and emitting virtual photons,corresponding to the off-diagonal element like H ±n , n = 1.Other higher-order off-diagonal elements (n > 1) correspond to multiphoton processes.(d) Floquet-Bloch band structures of topologically nontrivial surface states on Bi2Se3 measured by Tr-ARPES[84].The magnitude of color bar denotes the intensity of photoemission signals.The red arrows denote the gap-opening regions.

除了弗洛凱系統(tǒng)中復(fù)制能帶的基本特征以外,對(duì)諸如弗洛凱光電子能譜[86]、光學(xué)響應(yīng)[87,88]、非線性位移電流[89]以及高次諧波[90,91]等可觀測(cè)量的討論也尤為重要; 而借助弗洛凱理論框架, 人們也討論了多個(gè)頻率外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[92].受限于篇幅, 本文不對(duì)上述內(nèi)容展開(kāi)討論.

3 無(wú)質(zhì)量狄拉克錐體系中的弗洛凱系統(tǒng)

單層石墨烯是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域中一個(gè)重要的模型體系.若僅考慮石墨烯中最近鄰相互作用, 其能帶在布里淵區(qū)K點(diǎn)和K'點(diǎn)具有線性色散的狄拉克錐[95].考察石墨烯在光場(chǎng)的作用下石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)以及輸運(yùn)性質(zhì)的變化.在單粒子近似下的緊束縛模型中, 只考慮蜂窩狀格點(diǎn)之間pz軌道形成的π鍵之間的相互作用, 忽略電子-電子、電子-聲子等其他相互作用的影響.石墨烯的靜態(tài)哈密頓量為

其中t0為最近鄰躍遷矩陣.(10)式引入矢勢(shì)為A(t)=A(±sin(?t),cos(?t)) 的圓偏光, 其中?為光場(chǎng)頻率.光場(chǎng)的強(qiáng)度可以用無(wú)量綱數(shù)A=Aa表示,a為石墨烯蜂窩狀格子的晶格常數(shù).為了簡(jiǎn)單起見(jiàn), 約定光場(chǎng)的引入使得電子在躍遷時(shí)積累額外相位, 躍遷矩陣元從t0變?yōu)閠0eiAij(t),其中Aij(t)=(rj?ri)·A(t) ,ri為第i個(gè)格點(diǎn)的位矢.從動(dòng)量空間出發(fā), 上述效應(yīng)等價(jià)于將動(dòng)量進(jìn)行皮爾斯替換H(k)→H(k?A(t)).

當(dāng)光場(chǎng)頻率和躍遷能量不一致時(shí), 光場(chǎng)并不直接激發(fā)電子躍遷, 而是通過(guò)吸收和釋放虛光子的過(guò)程對(duì)能帶進(jìn)行修飾.如圖3(a)所示, 在圓偏光作用下, 狄拉克錐對(duì)應(yīng)打開(kāi)能隙.Oka和Aoki[27]通過(guò)計(jì)算弗洛凱哈密頓量HF得到體系能隙大小為當(dāng)外加光場(chǎng)較小時(shí), 系統(tǒng)在狄拉克錐附近的有效哈密頓量為

圖3 (a) 蜂窩狀晶格中的次近鄰躍遷在施加圓偏光后對(duì)應(yīng)虛光子的吸收和發(fā)射過(guò)程, 產(chǎn)生與Haldane模型類(lèi)似的次近鄰躍遷矩陣元[71]; (b) 施加圓偏光后石墨烯納米帶能帶中的手性邊緣態(tài)(紅線)[93], 其在實(shí)空間對(duì)應(yīng)兩個(gè)邊界上反向運(yùn)動(dòng)的手性邊緣態(tài)(左下角插圖); (c) 光子晶體中實(shí)現(xiàn)周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的弗洛凱系統(tǒng)[62]; (d) 利用泵浦-探測(cè)技術(shù)探測(cè)出現(xiàn)在石墨烯中的反?；魻栯妼?dǎo)[94];(e) 在不同光場(chǎng)強(qiáng)度下弗洛凱-布洛赫能帶圖及能隙內(nèi)的手性邊緣態(tài)電導(dǎo)平臺(tái)[94].圖中紅色、藍(lán)色、黑色能帶分別對(duì)應(yīng)光場(chǎng)強(qiáng)度逐漸加大, 弗洛凱能隙亦逐漸增大.最后一張圖對(duì)應(yīng)光場(chǎng)大小為0.23 mJ/cm2時(shí)不同費(fèi)米面位置對(duì)應(yīng)接近量子化的電導(dǎo)平臺(tái), 反應(yīng)了費(fèi)米面附近的系統(tǒng)能隙為拓?fù)淠芟禙ig.3.(a) Laser irradiated honeycomb lattice have virtual photon absorption and emission processes.These effects lead to nextnearest-neighbor hoppings similar as that in Haldane model[71].(b) Band structures of laser irradiated graphene nanoribbon[93].The red lines in this panel denote the chiral edge states, which move along opposite directions of graphene nanoribbon edges (inset).(c) Photonic analog of laser irradiated honeycomb lattice[62].(d) The anomalous Hall conductance in laser irradiated graphene measured by pump-probe method[94].The sub-linear relationship between nearly quantized conductance and laser fluence has been observed.(e) Floquet band structure with different laser fluence[94].If increasing the laser fluence, the anticrossing gap in Floquet system is also enlarged.The last panel shows the calculated conductance at different Fermi levels with laser fluence 0.23 mJ/cm2.These results indicate that the gap in Floquet system is topological nontrivial.

上述弗洛凱系統(tǒng)及其拓?fù)湮飸B(tài)已經(jīng)在若干實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證.2012年Fang等[61]提出在光子晶體體系使用動(dòng)態(tài)調(diào)制其內(nèi)部耦合大小的方式, 在棋盤(pán)狀光子晶體中實(shí)現(xiàn)了等效磁場(chǎng)和不受缺陷干擾的邊緣態(tài).2013年, Rechtsman等[62]利用光子晶體沿軸傳輸特性等價(jià)于隨時(shí)間演化的特點(diǎn), 在靜態(tài)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了等效的弗洛凱系統(tǒng), 在實(shí)驗(yàn)上觀察到了沿邊界傳輸?shù)倪吘墤B(tài), 如圖3(c)所示.在石墨烯納米帶上施加圓偏光, 同樣出現(xiàn)類(lèi)似的邊緣傳輸行為.Gu等[93]計(jì)算在施加圓偏光情形下不同寬度的石墨烯納米帶的電導(dǎo), 隨著納米帶的寬度逐漸增加, 展現(xiàn)出由邊緣貢獻(xiàn)的量子化電導(dǎo)平臺(tái).2019年,McIver等[94]利用泵浦-探測(cè)技術(shù)測(cè)量了激光照射石墨烯的反?；魻栯妼?dǎo).改變激光強(qiáng)度測(cè)量電導(dǎo)變化, 得到兩者之間為接近線性關(guān)系, 如圖3(d)所示.當(dāng)逐漸增強(qiáng)光場(chǎng)強(qiáng)度, 石墨烯的弗洛凱-布洛赫能隙越來(lái)越大, 電導(dǎo)平臺(tái)出現(xiàn)在與光場(chǎng)打開(kāi)的拓?fù)淠芟吨?然而電導(dǎo)平臺(tái)并沒(méi)有符合理論預(yù)言的完全量子化, 這表明電導(dǎo)除了弗洛凱準(zhǔn)粒子的能帶貢獻(xiàn)以外, 還有來(lái)自非平衡態(tài)下載流子占據(jù)分布帶來(lái)的部分貢獻(xiàn).

4 弗洛凱系統(tǒng)中的外爾費(fèi)米子與拓?fù)湎嘧?/h2>

1929年, Hermann[98]根據(jù)狄拉克方程給出一類(lèi)新的無(wú)質(zhì)量費(fèi)米子, 隨后這類(lèi)粒子被稱(chēng)為外爾費(fèi)米子.在固體物理中, 在外爾半金屬費(fèi)米面附近的低能激發(fā)表現(xiàn)出外爾費(fèi)米子的行為, 在費(fèi)米面附近三維倒空間中呈現(xiàn)線性色散關(guān)系的能帶.貝利曲率等效于在倒空間中的贗磁場(chǎng), 而倒空間中的外爾點(diǎn)處貝利曲率發(fā)散, 不同手性的外爾點(diǎn)對(duì)應(yīng)貝利曲率的源和漏, 在費(fèi)米面出現(xiàn)連接兩個(gè)外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧, TaAs, WTe2等材料均被證實(shí)為外爾半金屬[9,99,100].人們?cè)谥T如光子晶體等人造晶格中也發(fā)現(xiàn)了外爾半金屬的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)[101,102].外爾半金屬具有多樣的奇特物性, 如手性異常[9,103]、量子霍爾電導(dǎo)信號(hào)[104]、非線性光電流[105]等, 與其外爾點(diǎn)的位置、手性及其拓?fù)湮镄韵嚓P(guān), 因此如何利用外界光場(chǎng)等方式調(diào)控材料能帶發(fā)生Lifshitz相變從而改變體系的拓?fù)湫再|(zhì), 進(jìn)而改變體系的輸運(yùn)性質(zhì)和拓?fù)涔怆婍憫?yīng)是當(dāng)前凝聚態(tài)物理的重要前沿.

與具有四重簡(jiǎn)并度的狄拉克點(diǎn)不同, 外爾點(diǎn)具有兩重簡(jiǎn)并.實(shí)現(xiàn)狄拉克點(diǎn)到外爾點(diǎn)的相變需要破缺體系的中心反演對(duì)稱(chēng)性或時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性抑或同時(shí)破缺前兩者.為了不顯性地破缺體系的對(duì)稱(chēng)性, Hübener等[97]提出利用周期性光場(chǎng)手段實(shí)現(xiàn)調(diào)控三維狄拉克半金屬材料的拓?fù)湎嘧?Na3Bi是一種典型的狄拉克半金屬材料[13], 倒空間Γ點(diǎn)附近的kz方向上存在兩個(gè)三維狄拉克點(diǎn), 如圖4(a)和圖4(b)所示.Collins等[44]將Na3Bi制備成單層和雙層薄膜, 借助外部電場(chǎng), 實(shí)現(xiàn)了室溫的拓?fù)浣^緣體至普通絕緣體的轉(zhuǎn)變.在沒(méi)有外場(chǎng)作用下, 無(wú)質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子的哈密頓量可以寫(xiě)為兩個(gè)具有相反手性的外爾費(fèi)米子的哈密頓量的直和.

圖4 光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下三維狄拉克半金屬Na3Bi的原子結(jié)構(gòu)和電子結(jié)構(gòu) (a) Na3Bi原子結(jié)構(gòu)示意圖[13]; (b) 利用角分辨光電子能譜測(cè)量得到Na3Bi能帶, 展現(xiàn)了其狄拉克點(diǎn)位置和線性能帶色散關(guān)系[13]; (c) 沿著Na3Bi的x軸方向施加圓偏光, 三維狄拉克錐沿kx方向劈裂為兩個(gè)手性相反的外爾錐[97]; (d) 沿著Na3Bi的x軸方向施加泵浦圓偏振光, 沿著y軸方向施加探測(cè)圓偏振光[97];(e) TDDFT得到的弗洛凱-外爾點(diǎn)在倒空間中移動(dòng)軌跡[97]Fig.4.Light field driven electronic phase transition of three-dimensional Dirac semimetal Na3Bi: (a) atomic structures of Na3Bi[13];(b) band structures of Na3Bi near Dirac points measured by ARPES, The location of Dirac points and its linear dispersion are presented as well[13].(c) when the circularly polarized light is applied along to the x axis of Na3Bi, the Dirac cone will inherently split into two Weyl cones with opposite chiralities along kx direction[97]; (d) schematics of the circularly polarized pump and probe laser irradiated along the x axis and y axis of Na3Bi[97]; (e) varying delay time during the laser pulses leads to dancing Floquet-Weyl points calculated by TDDFT[97].

其中vF為費(fèi)米速度,σ=(σx,σy,σz) 為泡利矩陣,k為相對(duì)于狄拉克點(diǎn)的動(dòng)量.通過(guò)在x方向施加在y-z平面內(nèi)振動(dòng)的圓偏振光A(t)=A0(0,cos(?t),sin(?t)), 利用(13)式可以得到光場(chǎng)作用下無(wú)光子的過(guò)程和單光子虛過(guò)程修飾的有效哈密頓量為[97]

圓偏振光的引入使得不同手性的外爾有效哈密頓量在kx方向上發(fā)生了偏移, 且大小相等(均為方向相反, 如圖4(c)所示.結(jié)合第一性原理弗洛凱-含時(shí)密度泛函理論(time-dependent density-functional theory, TDDFT)計(jì)算, 分別沿著Na3Bi的x軸方向和y軸方向施加泵浦和探測(cè)圓偏光, 兩束光的時(shí)間差為 ?t, 如圖4(d)所示.弗洛凱調(diào)控的外爾點(diǎn)將在kx-ky平面內(nèi)移動(dòng).隨著?t的變化, 外爾點(diǎn)在倒空間的移動(dòng)軌跡如圖4(e)所示.結(jié)合光場(chǎng)對(duì)晶格畸變的調(diào)節(jié), 在Na3Bi中還可以實(shí)現(xiàn)金屬相到拓?fù)浣^緣體相的轉(zhuǎn)變.

針對(duì)弗洛凱系統(tǒng)中外爾費(fèi)米子的調(diào)控, Bucciantini等[106]則更進(jìn)一步地討論了在低頻狀態(tài)下圓偏光對(duì)狄拉克點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)情況.逐漸增大A/?的大小,不僅可以實(shí)現(xiàn)上述狄拉克錐的劈裂, 還可以使得系統(tǒng)由子空間n= 0和n= ± 1產(chǎn)生的外爾點(diǎn)接觸并湮滅.

5 有質(zhì)量二維體系中的光場(chǎng)修飾態(tài)

硅烯[108,109]是一種有原子褶皺的二維蜂窩狀材料.與石墨烯類(lèi)似, 具有狄拉克錐型能帶色散關(guān)系, 高的載流子遷移率等優(yōu)異特性.與單層石墨烯不同的是, 硅烯的原子褶皺打破了垂直硅烯平面方向的鏡面對(duì)稱(chēng)性, 其AB子晶格沿z方向的垂直間距可由 2l刻畫(huà), 其中l(wèi)= 0.23 ?.硅烯的本征自旋軌道耦合(spin orbit coupling, SOC) 強(qiáng)度為λso=3.9 meV, 遠(yuǎn)大于石墨烯, 原子褶皺則進(jìn)一步加大了SOC能隙的大小, 因此硅烯也可被視作有質(zhì)量的狄拉克材料.通過(guò)施加垂直硅烯平面的電場(chǎng), 硅烯K點(diǎn)的能隙大小與電場(chǎng)呈現(xiàn)線性依賴(lài)關(guān)系[110,111],且2012年Ezawa[112]研究了硅烯在直流電場(chǎng)和交換電場(chǎng)下的拓?fù)鋺B(tài).當(dāng)考慮直流電場(chǎng)響應(yīng)時(shí), 硅烯存在一個(gè)臨界電場(chǎng)Ecr=λso/l= 17 meV/?, 此時(shí)硅烯的能隙剛好被關(guān)閉; 繼續(xù)增加電場(chǎng), 硅烯的能隙重新打開(kāi), 實(shí)現(xiàn)從拓?fù)浞瞧接箲B(tài)到拓?fù)淦接箲B(tài)的相變, 在此相變過(guò)程中,K和K'能谷的能隙大小依舊相等.

而將前述交換電場(chǎng)替換為手性周期性光場(chǎng)[29]并保留電場(chǎng)自由度, 則空間和時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)同時(shí)被打破,K和K'谷的能隙大小不相等, 有望在硅烯中獲得谷極化的拓?fù)鋺B(tài).采用近似到一階的弗洛凱有效哈密頓量處理圓偏光對(duì)硅烯電子結(jié)構(gòu)的影響,硅烯的狄拉克質(zhì)量項(xiàng)為

其中η=±1 分別對(duì)應(yīng)于K和K'谷,sz=±1 對(duì)應(yīng)于上下自旋, 產(chǎn)生的能隙為 2|mD|.不同能谷和自旋下的拓?fù)浜捎纱说玫阶孕悢?shù)Ezawa[29]進(jìn)一步研究了包含光誘導(dǎo)自旋極化情形的拓?fù)湎鄨D, 如圖5(a)所示, 圖中前綴P和S分別代表光誘導(dǎo)和自旋極化, 紅色和藍(lán)色的分割線代表谷極化的單自旋狄拉克錐過(guò)渡態(tài), 如圖5(b)所示.參照(15)式, 這些拓?fù)鋺B(tài)的相變臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單自旋通道的單能谷能隙恰好關(guān)閉, 此時(shí)陳數(shù)和自旋陳數(shù)分別發(fā)生1和1/2的躍變, 從而將相圖劃分為多個(gè)拓?fù)浜刹幌嗤慕^緣區(qū)域.當(dāng)直流電場(chǎng)大于臨界電場(chǎng)時(shí), 即滿(mǎn)足Ez>Ecr時(shí), 硅烯產(chǎn)生光誘導(dǎo)自旋極化的量子霍爾絕緣態(tài), 其陳數(shù)和自旋陳數(shù)分別為1和1/2.這樣的結(jié)果表明手性周期性光場(chǎng)可以擴(kuò)展材料體系的拓?fù)渫瑐惪臻g, 從而實(shí)現(xiàn)一些平衡態(tài)下無(wú)法實(shí)現(xiàn)的新奇物態(tài).

圖5 有質(zhì)量二維體系的光場(chǎng)修飾態(tài) (a)同時(shí)考慮電場(chǎng)和光場(chǎng)硅烯的有效哈密頓量對(duì)應(yīng)的相圖[29].橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度 E z 和 A 2/?(A2 為光強(qiáng), ? 為光場(chǎng)頻率).拓?fù)浜捎?( C,Cs) 描述, C 為陳數(shù), Cs 為自旋陳數(shù).(b) 硅烯中的單自旋狄拉克錐能帶示意圖[29].K' 能谷為能隙關(guān)閉的單自旋線性色散, K能谷則保持拋物線型能帶色散.(c) WS2谷選擇的光學(xué)斯塔克效應(yīng)能級(jí)示意圖[43].(d) WS2谷選擇的布洛赫-西格特位移能級(jí)示意圖.(e), (f) 不同能谷的手性弗洛凱拓?fù)鋺B(tài)[107].控制失諧量Δ誘導(dǎo)能級(jí)反轉(zhuǎn)并改變導(dǎo)帶與弗洛凱邊帶的雜化, 由于排斥作用K能谷的能帶交叉被禁止而K' 能谷發(fā)生能帶交叉, 形成手性邊界態(tài)Fig.5.Photon dressed states in two-dimensional systems with massive Dirac fermions: (a) Phase diagram of silicene by using effective Hamiltonian considering both electrical field and light field[29].(b) Sketch of silicene in the single Dirac cone state[29].The K valley exhibits a parabolic dispersion while the K' valley remains the linear dispersion.(c) Schematics of the valley-selective OSE in WS2[43].(d) Schematics of the Bloch-Siegert shift in WS2.(e), (f) Valley-specific Floquet topological phase in WS2[107].The band inversion and hybridization of Floquet sidebands is tuned by Δ and the chiral edge state is formed due to OSE.

作為一類(lèi)典型的二維半導(dǎo)體材料, 過(guò)渡金屬二硫化物(transition metal dichalcogenides, TMDs)如MoS2, WS2, MoSe2等具有優(yōu)異的光學(xué)性質(zhì)[113,114],其獨(dú)特的能谷贗自旋自由度在谷電子學(xué)信息器件中有潛在應(yīng)用[42].單層2H相TMDs六角蜂窩狀的晶格結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)邊界擁有兩個(gè)由時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性相關(guān)聯(lián)的能谷K和K'[115], 在能谷處具有較大的直接帶隙, 如單層MoS2能隙為1.89 eV[116].當(dāng)被一束左旋σ?(或右旋σ+)的圓偏振光激發(fā)后,圓偏光打破了體系時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)保護(hù)的簡(jiǎn)并能谷,K和K'能谷選擇性地與σ?和σ+圓偏光耦合, 形成谷選擇圓偏二色性, 從而產(chǎn)生谷極化, 本質(zhì)上這是一種滿(mǎn)足磁量子數(shù)守恒的手性選擇定則[117].由于貝利曲率扮演著倒空間磁場(chǎng)的作用, 在面內(nèi)電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下, 具有相反符號(hào)的谷極化載流子將發(fā)生類(lèi)似于洛倫茲力的偏轉(zhuǎn), 在橫向方向形成反常的谷極化電流, 因而無(wú)中心反演的TMDs材料表現(xiàn)出新奇的谷電子學(xué)特性.由于強(qiáng)自旋軌道耦合和中心反演對(duì)稱(chēng)性破缺, TMDs材料的價(jià)帶頂劈裂成兩條自旋不簡(jiǎn)并的能帶, 且在K和K'處自旋極化相反, 形成獨(dú)特的自旋-能谷耦合效應(yīng)[116].由于雙層TMDs材料具有空間反演對(duì)稱(chēng)性, 能谷特性與層自由度進(jìn)一步耦合, 形成更加獨(dú)特的能谷-自旋-層的新奇光電特性[118].

光場(chǎng)輻照下TMDs的新奇特性來(lái)源于光學(xué)斯塔克效應(yīng)(optical Stark effect, OSE), 由于該效應(yīng)較弱, 只在少數(shù)的半導(dǎo)體量子點(diǎn)/量子阱中被觀測(cè)到[119–121].這里將借助光場(chǎng)修飾后的弗洛凱態(tài)來(lái)理解光學(xué)斯塔克效應(yīng)以及布洛赫-西格特位移[122].為簡(jiǎn)化討論, 本文以半經(jīng)典的兩能級(jí)系統(tǒng)為例描述,弱場(chǎng)條件下, 外加電磁場(chǎng)視為對(duì)哈密頓量的微擾(此時(shí)半經(jīng)典描述與二次量子化表述[123]的結(jié)果等價(jià)).若非相互作用體系的平衡態(tài)由哈密頓量H0描述, 本征態(tài)為|a〉和|b〉, 對(duì)應(yīng)能級(jí)Ea

其中Mab=〈b|p?|a〉為極化矩陣元, 態(tài)間排斥產(chǎn)生的總能級(jí)位移為

如果電場(chǎng)由靜態(tài)變?yōu)橹芷谡鹗? 假定ε(t)=ε0cos(2πνt),ν為頻率, 滿(mǎn)足非共振條件?=Eb?Ea?hν>0,?為激光的失諧量,h為普朗克常數(shù).通過(guò)對(duì)一個(gè)時(shí)間周期求平均, 所得能級(jí)移動(dòng)為

從光場(chǎng)修飾的準(zhǔn)靜態(tài)能級(jí)角度出發(fā), 周期光場(chǎng)激發(fā)使得在平衡態(tài)|a〉和|b〉的基礎(chǔ)上產(chǎn)生光場(chǎng)修飾的弗洛凱態(tài), 近似到一階, 這四個(gè)虛光子態(tài)分別為|a±hν〉和|b±hν〉.若只考慮其中的兩個(gè)|a+hν〉和|b?hν〉, 接近共振條件下, 體系主要的耦合來(lái)源于|a+hν〉和|b〉以 及|b?hν〉和|a〉兩對(duì)態(tài)之間的雜化, 參考(16式)可知在|a〉和|b〉間貢獻(xiàn)了額外的光學(xué)斯塔克位移項(xiàng).以K谷的態(tài)為例, 光場(chǎng)輻照后的弗洛凱態(tài)為由于與導(dǎo)帶的磁量子數(shù)一致, 故發(fā)生耦合雜化, 能級(jí)發(fā)生位移為 ?E, 而K'谷則不發(fā)生光學(xué)斯塔克效應(yīng).如圖5(c)所示, 使用σ?泵浦光激發(fā)后, 探測(cè)到的能級(jí)位移僅發(fā)生在K能谷.與之相反, 如圖5(d)所示, 使用反旋轉(zhuǎn)泵浦光源, 探測(cè)到WS2的能級(jí)位移僅僅發(fā)生在K'能谷.|a?hν〉和|b〉以及|b+hν〉和|a〉兩對(duì)態(tài)的雜化產(chǎn)生布洛赫-西格特位移, 只不過(guò)在接近共振時(shí)可以忽略不計(jì).谷選擇的光學(xué)斯塔克效應(yīng)和布洛赫-西格特效應(yīng)對(duì)于理解輻照下TMDs材料的新奇效應(yīng)具有重要意義.

基于上述原理, Sie等[107]借助泵浦-探測(cè)瞬態(tài)吸收光譜技術(shù)研究了單層WS2谷選擇的OSE.考慮到WS2最低的激子態(tài)為2.0 eV, 所采用的泵浦脈沖能量略低于激子能量(1.68—1.88 eV).實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了吸收光譜前后的變化量 ?α, 時(shí)間分辨的 ?α軌跡說(shuō)明OSE僅在泵浦和探測(cè)光無(wú)延遲( ?t=0 )時(shí)發(fā)生, 谷間極化的吸收譜則說(shuō)明WS2中的OSE確實(shí)具有谷選擇性.若假定吸收譜α(ω)關(guān)于吸收峰呈正態(tài)分布, 借助光譜權(quán)重轉(zhuǎn)移公式可確定能級(jí)位移 ?E為

其中A為樣品最大的吸光度, 積分范圍為2.00<ω<2.18 eV.通過(guò) ?E與光強(qiáng)及失諧量的關(guān)系論定該位移項(xiàng)由OSE貢獻(xiàn)且其最高能量尺度為18 meV.考慮到控制激光的失諧量可以實(shí)現(xiàn)兩能級(jí)系統(tǒng)能隙的關(guān)閉, 以及虛光子弗洛凱邊帶的能級(jí)排斥, 作者提出當(dāng)?<0 時(shí)有機(jī)會(huì)在特定能谷實(shí)現(xiàn)周期場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的手性邊緣態(tài), 如圖5(e)和圖5(f)所示.在后續(xù)的工作中, Sie等[43]使用遠(yuǎn)離共振條件的紅外泵浦脈沖(0.59—0.98 eV), 進(jìn)一步在WS2中觀測(cè)到了特定能谷的布洛赫-西格特位移, 最大可以達(dá)到10 meV.同時(shí)作者在另一個(gè)能谷中也觀測(cè)到了光學(xué)斯塔克位移.基于弗洛凱準(zhǔn)靜態(tài)的圖像我們可以十分直觀地理解周期光場(chǎng)對(duì)WS2平衡態(tài)谷電子學(xué)的影響, 然而當(dāng)體系幾乎共振時(shí), 弗洛凱光修飾態(tài)的模型將不再適用.Cunningham等[124]指出這時(shí)需要考慮包含庫(kù)侖多體相互作用的激子模型.

6 節(jié)點(diǎn)環(huán)能帶中的弗洛凱狄拉克費(fèi)米子

第Ⅴ主族元素晶體材料黑磷是近年來(lái)較為熱門(mén)的一類(lèi)層狀材料.本征的體相黑磷是拓?fù)淦接沟陌雽?dǎo)體, 其能隙約為0.3 eV, 具有各向異性的載流子特性[126,127]和優(yōu)異的光電特性[128].表面摻雜的黑磷中可以出現(xiàn)時(shí)空反演對(duì)稱(chēng)性保護(hù)的第二類(lèi)狄拉克費(fèi)米子[129], 在壓應(yīng)力的條件下(不考慮自旋軌道耦合)黑磷則可以轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)涔?jié)線半金屬[130], 節(jié)線環(huán)平面平行于層狀堆垛方向, 因此壓應(yīng)力下黑磷的拓?fù)涔?jié)線半金屬表現(xiàn)了極強(qiáng)的各向異性.

鑒于平衡態(tài)下的黑磷具有極強(qiáng)的各項(xiàng)異性, 其非平衡態(tài)下的拓?fù)鋺B(tài)同樣值得關(guān)注.本文作者之一與合作者[69]通過(guò)基于第一性原理計(jì)算的瓦尼爾哈密頓量首先研究了壓應(yīng)變下黑磷在圓偏光下的非平衡態(tài)電子結(jié)構(gòu).當(dāng)沿扶手椅方向(圖6(a)中x方向)施加2%的壓縮應(yīng)力后, 黑磷的能隙會(huì)被關(guān)閉,為方便討論, 可以選取壓應(yīng)變?yōu)?.72%的黑磷, 此時(shí)在布里淵區(qū)(100)投影面(圖6(b))出現(xiàn)以Z點(diǎn)為中心的節(jié)線環(huán).考慮入射的圓偏光為

圖6 壓縮應(yīng)變黑磷中的弗洛凱狄拉克費(fèi)米子和拓?fù)湎嘧?(a) 沿x方向壓縮3.72%的黑磷原子結(jié)構(gòu).(b) 平衡態(tài)壓縮黑磷的體相布里淵區(qū)以及(100)投影面[69].拓?fù)涔?jié)點(diǎn)環(huán)出現(xiàn)在Γ-Z-W平面.(c) 光子能量0.5 eV下的黑磷的弗洛凱態(tài)的相圖[69].變量為激光振幅 A 0 在y-z平面內(nèi)的入射角 θ , 如圖(a)所示.(d)—(f) 光子能量0.5 eV下由激光驅(qū)動(dòng)的弗洛凱狄拉克費(fèi)米子發(fā)生拓?fù)湎嘧僛69](d) A 0=50V/c ; (e) A 0=263V/c ; (f) A 0=300V/c.c 為光速, 施加的圓偏光為 A (t)=A0(cos(ωt),sin(ωt),0).(g) 通過(guò)在節(jié)點(diǎn)環(huán)能帶結(jié)構(gòu)中施加激光照射, 可以實(shí)現(xiàn)高陳數(shù)外爾點(diǎn)[125]Fig.6.Floquet-Dirac fermions and topological phase transition in compressed black phosphorus.(a) Atomic structure with 3.72%compressive strain along x direction.(b) Bulk first Brillouin zone and projected (100) surface.Here, the topological nodal ring appears in the Γ-Z-W plane.(c) Topological phase transition driven by laser with varying laser amplitude and incident angle of y-z plane θ under a fixed photon energy 0.5 eV[69].(d)–(f) Floquet-Dirac band structure under different laser parameter[69]:(d) A 0=50V/c ; (e) A 0=263V/c ; (f) A 0=300V/c.c is the speed of light.(g) Construction of high Chern number Weyl points in nodal ring under incident light[125].

結(jié)果表明在較寬的激光光譜范圍內(nèi)壓縮應(yīng)力黑磷都將存在多種弗洛凱態(tài), 弗洛凱-狄拉克錐與光場(chǎng)參數(shù)的依賴(lài)關(guān)系如圖6(c)所示.

當(dāng)壓縮黑磷被沿z方向傳播的周期圓偏光驅(qū)動(dòng)時(shí), 首先出現(xiàn)的是節(jié)線環(huán)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚?duì)第一類(lèi)弗洛凱-狄拉克點(diǎn), 如圖6(d)所示, 此時(shí)狄拉克點(diǎn)的連線方向出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)環(huán)的短軸Γ-Z方向, 且與入射光場(chǎng)方向平行; 而與入射光場(chǎng)垂直方向上節(jié)線環(huán)的其他動(dòng)量點(diǎn)均打開(kāi)能隙.若只考慮價(jià)帶頂, 平衡態(tài)能帶(n=0 )和弗洛凱邊帶(n=?1 )會(huì)產(chǎn)生OSE帶間排斥, 且?guī)чg排斥在n=0 和n=?1 兩條能帶原先有交點(diǎn)時(shí)正比于激光的振幅A0[131].隨著激光振幅的增強(qiáng), 不僅弗洛凱-狄拉克錐的間距沿ΓZ方向逐漸變小, 而且非平衡態(tài)價(jià)帶頂在該點(diǎn)附近的傾斜程度隨著OSE排斥而增大, 逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榈谌?lèi)[132]和第二類(lèi)[9]弗洛凱狄拉克錐(分別如圖6(e)和圖6(f)所示, 這里只給出了節(jié)線環(huán)上其中一個(gè)弗洛凱-狄拉克錐附近的能帶).

光場(chǎng)操控不僅可以得到弗洛凱拓?fù)浣^緣體相,且其所對(duì)應(yīng)的拓?fù)浔砻鎽B(tài)也與圓偏光的手性相鎖定, 而且有希望實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)調(diào)控下的非平衡態(tài)的手性電子輸運(yùn).這些結(jié)果不但加深了人們對(duì)弗洛凱驅(qū)動(dòng)拓?fù)湎嘧兊睦斫? 也為非平衡態(tài)黑磷在光電子學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

對(duì)于一般的節(jié)點(diǎn)環(huán)能帶結(jié)構(gòu)的弗洛凱工程來(lái)說(shuō), Yan和Wang[125]以及Ezawa[133]討論了節(jié)點(diǎn)環(huán)能帶結(jié)構(gòu)中加圓偏光后, 使得節(jié)點(diǎn)線能帶變?yōu)槌蓪?duì)的弗洛凱-外爾點(diǎn), 而且圓偏光的手性決定了產(chǎn)生的弗洛凱-外爾點(diǎn)的手性.而在具有共同節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)環(huán)能帶結(jié)構(gòu)中, 利用光場(chǎng)調(diào)控外爾點(diǎn)的位置,則可以產(chǎn)生具有高陳數(shù)的外爾點(diǎn), 如圖6(g)所示.

7 相干聲子驅(qū)動(dòng)的弗洛凱修飾態(tài)

在固體材料中, 周期性的晶格振動(dòng)通過(guò)與電子的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)耦合會(huì)使材料進(jìn)入非平衡電子態(tài), 相干聲子通過(guò)與電子的耦合來(lái)修飾原先的電子態(tài), 使其形成準(zhǔn)粒子, 產(chǎn)生一系列復(fù)制的弗洛凱邊帶并相互雜化.相干聲子可以通過(guò)光學(xué)激發(fā)的方式獲得, 由于聲子是有質(zhì)量的玻色子且其振動(dòng)周期的時(shí)間尺度遠(yuǎn)大于光子, 電子對(duì)晶格振動(dòng)的響應(yīng)幾乎瞬時(shí),導(dǎo)致相干聲子驅(qū)動(dòng)下的非平衡態(tài)性質(zhì)會(huì)區(qū)別于前文的周期光場(chǎng)修飾態(tài).

由于電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于離子, 通常電子-聲子相互作用可以近似成冷凍聲子, 然而近年來(lái)人們發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多背離絕熱近似的情況, 如石墨烯等[31].為驗(yàn)證光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下相干聲子對(duì)量子材料電子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)修飾效應(yīng)而使得冷凍聲子近似失效,Hübener等[48]通過(guò)基于TDDFT的埃倫菲斯特分子動(dòng)力學(xué)研究了石墨烯在光場(chǎng)產(chǎn)生的E2g相干聲子驅(qū)動(dòng)下的弗洛凱能帶, 并與計(jì)算得到的時(shí)間-角度分辨光電子能譜相比較.不同于周期平均的冷凍聲子近似下的結(jié)果, 相干聲子驅(qū)動(dòng)確實(shí)會(huì)出現(xiàn)大量復(fù)制的弗洛凱邊帶.當(dāng)觀測(cè)的時(shí)間超過(guò)聲子的振動(dòng)周期時(shí)間尺度時(shí), Tr-ARPES與弗洛凱能帶符合得很好.與周期光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的石墨烯一致[37], 手性相干聲子將在石墨烯的K點(diǎn)引入質(zhì)量從而打開(kāi)拓?fù)淠芟?圖7(a)和圖7(b)), 而線性相干聲子則保持能谷附近的能帶交叉點(diǎn).

由于光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的相干聲子可以修飾電子結(jié)構(gòu)調(diào)控能隙的閉合, 因此該方法可以誘導(dǎo)量子材料發(fā)生拓?fù)湎嘧?ZrTe5的單層結(jié)構(gòu)是大能隙的拓?fù)浣^緣體[135], 塊狀結(jié)構(gòu)則隨著層間距變化呈現(xiàn)出強(qiáng)拓?fù)浣^緣體到狄拉克半金屬態(tài)再到弱拓?fù)浣^緣體的轉(zhuǎn)變.雖然溫度[136]以及應(yīng)力[47]可產(chǎn)生類(lèi)似效應(yīng)并誘導(dǎo)相應(yīng)的拓?fù)湎嘧? 但都是平衡態(tài)下的物性調(diào)控.最近, Vaswani等[134]提出通過(guò)超快激光產(chǎn)生相干聲子, 可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非平衡態(tài)的晶格及其對(duì)稱(chēng)性的操控.他們發(fā)現(xiàn)利用短周期太赫茲強(qiáng)脈沖激光可以激發(fā)ZrTe5中特定A1g光學(xué)支聲子模(圖7(c)),從而實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)調(diào)控量子材料的拓?fù)湎嘧?這種非熱驅(qū)動(dòng)的模式選擇激發(fā)借助拉曼相干聲子注入的方式實(shí)現(xiàn)ZrTe5層間原子的位移, 在臨界位移時(shí)產(chǎn)生狄拉克點(diǎn)和拓?fù)銵ifshitz相變.

前文討論了二維材料TMDs中的光場(chǎng)修飾態(tài).改為聲子驅(qū)動(dòng)時(shí), 自旋軌道耦合效應(yīng)將晶格振動(dòng)與自旋相互耦合, 形成新的自旋動(dòng)力學(xué).Shin等[40]通過(guò)TDDFT結(jié)合弗洛凱理論探討了MoS2中聲子修飾的自旋-能谷態(tài), 發(fā)現(xiàn)在MoS2的K能谷導(dǎo)帶底附近(圖7(d)), 所有的振動(dòng)模式中只有同時(shí)打破鏡面和三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的E''振動(dòng)模式可以與自旋自由度運(yùn)動(dòng)相耦合, 從而動(dòng)態(tài)改變自旋的方向(圖7(e)).從簡(jiǎn)化哈密頓量角度分析,E''聲子可以產(chǎn)生沿該方向的等效周期磁場(chǎng).若考慮由兩個(gè)相位相差 π /2 的E''線性聲子構(gòu)成的右旋聲子, 在該聲子的驅(qū)動(dòng)下對(duì)應(yīng)的自旋-弗洛凱態(tài)如圖7(f)所示, 每一個(gè)聲子量子產(chǎn)生 0.024μB的凈面外磁矩.

圖7 光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下相干聲子驅(qū)動(dòng)的弗洛凱態(tài) (a) 由石墨烯E2g振動(dòng)模中簡(jiǎn)并的橫向和縱向聲子模(相位差 π /2 )產(chǎn)生的手性圓偏聲子[48]; (b) 手性相干聲子驅(qū)動(dòng)下計(jì)算得到的石墨烯Tr-ARPES以及TDDFT結(jié)果與弗洛凱能帶相符合[48]; (c) ZrTe5的原子結(jié)構(gòu)和層間振動(dòng)模式A1g示意圖[134]; (d) 平衡態(tài)下單層MoS2的能帶結(jié)構(gòu), 藍(lán)框標(biāo)注的是K能谷附近的導(dǎo)帶底[40]; (e) MoS2自旋傾向角與上下自旋能隙 ? ε 關(guān)于沿聲子振動(dòng)模E'' 方向位移Δds的關(guān)系圖, 插圖為E'' 的振動(dòng)模式[40]; (f) MoS2在K和K' 能谷由右旋聲子定義的兩個(gè)自旋-弗洛凱本征態(tài)[40]Fig.7.Floquet states induced by coherent phonons driven by periodic light field: (a) Circularly chiral phonons generated from the degenerate LO and TO phonons (with phase difference π/2) of E2g vibration mode of graphene[48]; (b) calculated Tr-ARPES of phonon-driven graphene fits well with TDDFT simulations[48]; (c) atomic structures and interlayer vibration mode A1g of ZrTe5[134];(d) band structure of monolayer MoS2 under equilibrium[40], the blue box marks the lowest conduction band near K valley; (e) relationship between the spin inclination angle and the up/down spin splitting Δε with respect to the displacement Δds along the phonon mode E'', the inset shows the E'' vibrational mode[40]; (f) spin-Floquet eigenstates of MoS2 at K and K' valleys induced by the right circularly polarized phonon[40].

8 結(jié)論與展望

在經(jīng)典物理中周期性驅(qū)動(dòng)的體系能夠?qū)崿F(xiàn)平衡態(tài)下無(wú)法實(shí)現(xiàn)的非平衡現(xiàn)象, 如穩(wěn)定倒立的卡皮察擺, 大密度液體懸浮于小密度液體之上[137]等.針對(duì)周期性驅(qū)動(dòng)的量子系統(tǒng), 人們從弗洛凱定理出發(fā), 通過(guò)將其映射至靜態(tài)弗洛凱哈密頓量, 用準(zhǔn)靜態(tài)方法描述系統(tǒng)的非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)行為.由于非平衡態(tài)弗洛凱系統(tǒng)引入了時(shí)間自由度, 弗洛凱系統(tǒng)本征態(tài)擴(kuò)展成的廣義希爾伯特空間, 因而時(shí)間-空間對(duì)稱(chēng)性的聯(lián)合操作為體系提供了更加豐富的拓?fù)浞诸?lèi)[54].本文介紹了周期性外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的弗洛凱系統(tǒng)的奇特性質(zhì), 加深了人們對(duì)周期性外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子系統(tǒng)的認(rèn)識(shí), 為幫助人們理解凝聚態(tài)系統(tǒng)的基本性質(zhì)提供了重要參考.其次, 弗洛凱工程也為理解凝聚態(tài)系統(tǒng)行為提供新視角.人們發(fā)現(xiàn)量子材料的非線性光學(xué)過(guò)程產(chǎn)生的位移電流具有拓?fù)鋬?nèi)涵, 利用弗洛凱工程能夠調(diào)控該奇特物性[89].在多體系統(tǒng)中, 如時(shí)間晶體與多體系統(tǒng)局域化密切相關(guān), 弗洛凱工程在調(diào)控諸如量子液體, 電荷密度波等系統(tǒng)中也有工作報(bào)道[138,139].

回顧前述內(nèi)容, 利用光場(chǎng)調(diào)節(jié)弗洛凱系統(tǒng)中電子能帶結(jié)構(gòu)或拓?fù)湫再|(zhì), 或者是光場(chǎng)激發(fā)相干聲子的晶格振動(dòng)誘導(dǎo)體系相變, 弗洛凱工程拓寬了材料屬性的邊界.然而量子材料的超快相變等動(dòng)力學(xué)行為, 仍有待進(jìn)一步探索.在物性調(diào)控上, 光場(chǎng)誘導(dǎo)瞬態(tài)超導(dǎo)內(nèi)部機(jī)制研究, 亦或光場(chǎng)誘導(dǎo)磁結(jié)構(gòu)變化, 外界光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)弗洛凱系統(tǒng)中電子-聲子相互作用同樣擴(kuò)展了材料可調(diào)狀態(tài)的邊界.

關(guān)于弗洛凱系統(tǒng)以及弗洛凱工程的研究剛剛開(kāi)始, 相關(guān)理論和應(yīng)用需要進(jìn)一步的深入研究, 比如弗洛凱系統(tǒng)中的非平衡輸運(yùn)性質(zhì)的調(diào)控, 量子材料內(nèi)元激發(fā)如何修飾弗洛凱態(tài)及其對(duì)物性的影響,弗洛凱工程如何調(diào)控多體系統(tǒng)或者無(wú)序系統(tǒng)等問(wèn)題.弗洛凱系統(tǒng)和弗洛凱工程的研究將會(huì)進(jìn)一步推動(dòng)凝聚態(tài)物理的發(fā)展.