電子束尾波對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度影響的理論和數(shù)值模擬研究*

華津宇 盛政明2)?

1) (上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院, 激光等離子體教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

2) (上海交通大學(xué)李政道研究所, 上海 200240)

高能質(zhì)子束在等離子體中通過(guò)自調(diào)制不穩(wěn)定激發(fā)尾波的研究在過(guò)去的十年里有了長(zhǎng)足的發(fā)展, 在歐洲核子研究中心(CERN)人們已經(jīng)在相關(guān)AWAKE實(shí)驗(yàn)中利用這種尾波加速電子, 并獲得了最高能量約2 GeV的電子束.針對(duì)高能粒子加速應(yīng)用需求, 近幾年人們又進(jìn)一步提出了利用電子束種子尾波控制質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程的方案, 用于提升尾波的強(qiáng)度與穩(wěn)定性.本文研究了電子束種子尾波對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度的影響,著重討論了導(dǎo)致尾波相速度改變的多種物理機(jī)理及電子束所起到的作用.通過(guò)理論分析和二維粒子模擬研究發(fā)現(xiàn), 電子束的引入可以提升質(zhì)子束自調(diào)制尾波的增長(zhǎng)率和尾波的相速度, 且電子束的電荷密度越高其效果愈明顯.本文還探討了電子束能量和質(zhì)子束的縱向密度分布對(duì)相速度變化的影響.

1 引 言

等離子體尾波加速概念[1,2]自從上世紀(jì)70年代末被提出以來(lái)已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展, 它通過(guò)高強(qiáng)度的激光脈沖或者高能帶電粒子束在等離子體中激發(fā)出一個(gè)大振幅且具有相對(duì)論相速度的電子等離子體波來(lái)加速電子[3?5].等離子體尾波的場(chǎng)強(qiáng)接近于所謂的等離子體波破裂幅度E0=meωpc/e,其中為等離子體振蕩頻率,n0為等離子體電子密度,e為電子電荷,me為電子質(zhì)量,c為光速.該場(chǎng)強(qiáng)比傳統(tǒng)加速器產(chǎn)生的加速電場(chǎng)高出好幾個(gè)數(shù)量級(jí)[6], 使得等離子體尾波加速已經(jīng)成為未來(lái)最有前景的新型加速方式之一, 吸引了眾多國(guó)內(nèi)外研究者的目光[7?9].

在眾多等離子體尾波加速的方案中, 質(zhì)子束尾波加速最早由Caldwell等[10]在2009年提出, 它的機(jī)制與電子束驅(qū)動(dòng)尾波加速極為相似, 都是通過(guò)一束很短的帶電粒子束在等離子體中激發(fā)尾波.由于質(zhì)子的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電子, 作為尾波驅(qū)動(dòng)源的質(zhì)子束所攜帶的能量也遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)了激光和電子束的能量, 這使得質(zhì)子束驅(qū)動(dòng)的尾波加速成為目前最有可能通過(guò)單級(jí)加速把輕子能量加速到TeV量級(jí)的加速方式[11].然而只有長(zhǎng)度接近于等離子體的波長(zhǎng)λp=c/ωp的質(zhì)子束才能在等離子體中產(chǎn)生接近于波破的電場(chǎng)強(qiáng)度, 并且現(xiàn)有的技術(shù)手段卻沒(méi)有辦法獲得如此之短的高能質(zhì)子束.在2010年Kumar等[12]提出了通過(guò)長(zhǎng)質(zhì)子束在等離子體中通過(guò)自調(diào)制不穩(wěn)定 (self-modulation instability) 來(lái)激發(fā)等離子體尾波的概念.當(dāng)一束長(zhǎng)質(zhì)子束在等離子體中傳播時(shí), 質(zhì)子束本身產(chǎn)生的周期性橫向調(diào)制會(huì)使得長(zhǎng)質(zhì)子束縱向結(jié)構(gòu)發(fā)生演化, 從而產(chǎn)生等離子體波的截?cái)嘈?yīng), 使得質(zhì)子束演變成一長(zhǎng)串與等離子體波長(zhǎng)相匹配的短質(zhì)子束串.由此可以激發(fā)出一個(gè)非常強(qiáng)的電場(chǎng), 用來(lái)加速外部注入的電子束.

這個(gè)理論已于2018年在歐洲核子中心(CERN)被AWAKE實(shí)驗(yàn)合作組證實(shí)[13,14].他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中使用了一束長(zhǎng)6 cm、中心能量400 GeV的質(zhì)子束.在質(zhì)子束通過(guò)長(zhǎng)度10 m的等離子體管道之后, 高速攝像機(jī)拍攝下了質(zhì)子束自調(diào)制之后分裂成一長(zhǎng)串短質(zhì)子束的圖像.在該實(shí)驗(yàn)中, 質(zhì)子束串激發(fā)的等離子體尾波將外注入的能量約18 MeV的電子束加速至近2 GeV的最高能量[15].但是, 美中不足的是, 質(zhì)子束自調(diào)制的過(guò)程會(huì)持續(xù)不斷地發(fā)展, 特別是由于質(zhì)子束頭部的持續(xù)擴(kuò)散和后退, 最終導(dǎo)致了整個(gè)尾波相位的倒退, 從而破壞了質(zhì)子束串的協(xié)同性, 造成了后期尾波電場(chǎng)強(qiáng)度的下降, 同時(shí)也使得尾波的相速度下降, 不利于加速帶電粒子.這一現(xiàn)象已經(jīng)被理論和實(shí)驗(yàn)所證明[13?16].相關(guān)質(zhì)子束自調(diào)制的理論已經(jīng)被很多文章所闡述[17?21], 這些文章揭示了自調(diào)制這一不穩(wěn)定性過(guò)程的增長(zhǎng)率、相速度的變化等, 可以說(shuō)在線性化階段, 該理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟.

近年來(lái), 隨著人們對(duì)自調(diào)制這一過(guò)程研究的深入, 利用種子等離子體尾波控制自調(diào)制(seedingself-modulation)的想法逐漸出現(xiàn)在了人們的視線之中.它通過(guò)在質(zhì)子束的前方添加一個(gè)激光束或者短電子束, 依靠激光束[18]或者短電子束[22]產(chǎn)生的尾波作為種子來(lái)調(diào)制質(zhì)子束, 從而使得整個(gè)自調(diào)制的過(guò)程變得可控.2020年Lotov和Minakov[23]通過(guò)理論研究與數(shù)值模擬, 發(fā)現(xiàn)通過(guò)把短電子束種子尾波自調(diào)制與等離子體密度梯度相結(jié)合, 可以獲得一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定、電場(chǎng)強(qiáng)度又保持在較高水準(zhǔn)的尾波.

綜上所述, 利用種子等離子體波來(lái)控制質(zhì)子束調(diào)制過(guò)程具有巨大的潛力, 也是目前AWAKE項(xiàng)目的主要研究方向之一.這方面的研究才進(jìn)入人們的視線, 對(duì)于其機(jī)制以及電子束對(duì)質(zhì)子束驅(qū)動(dòng)的尾波相速度的影響目前尚沒(méi)有被完全認(rèn)知.由于電子在尾波中加速能量最終取決于尾波的相速度, 因此如何控制尾波相速度、并盡可能提高這個(gè)相速度至非常接近真空中光速是個(gè)重要研究課題.

本文主要研究以電子束驅(qū)動(dòng)等離子體尾波作為種子的質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程, 及其產(chǎn)生等離子體尾波的相速度變化, 并根據(jù)模擬結(jié)果探討質(zhì)子束尾波相速度與電子束的關(guān)聯(lián).通過(guò)二維柱坐標(biāo)模擬軟件LCODE[24], 研究不同電荷密度、能量的短電子束對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程的影響, 特別是質(zhì)子束尾波相速度的變化, 同時(shí)還闡述了短電子束在等離子體中自身的演化對(duì)該相速度的影響, 為質(zhì)子束驅(qū)動(dòng)尾波加速的相關(guān)研究提供參考.

2 理論模型與數(shù)值模擬

首先介紹關(guān)于種子自調(diào)制的理論模型.相關(guān)的模型前人已經(jīng)有所研究[19?21], 但是和相應(yīng)的模擬結(jié)果并不一致, 可見(jiàn)相關(guān)的理論并不完善.而關(guān)于無(wú)種子情況下的質(zhì)子束自調(diào)制的理論模型則已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完備.在無(wú)種子自調(diào)制的二維理論模型中, 一束非常長(zhǎng)的均勻質(zhì)子束沿著z方向以vb的速度在均勻等離子體中傳輸.由于質(zhì)子束的能量非常大, 可以直接忽略質(zhì)子在縱向的位移.那么, 可以寫(xiě)出它的包絡(luò)方程[21]:

方程中?n為質(zhì)子束的歸一化發(fā)射度,rb為質(zhì)子束半徑,f(ξ) 為質(zhì)子束的縱向分布√,t為時(shí)間,γ為質(zhì)子的洛倫茲因子,

為等離子體波數(shù),n0為等離子體電子密度, 其中kb=為質(zhì)子束密度,mp為質(zhì)子質(zhì)量, 傳播坐標(biāo)變量ξ=vbt?z≈ct?z,K1和I2則是貝塞爾函數(shù).方程的左邊第二項(xiàng)來(lái)自于質(zhì)子束發(fā)射度導(dǎo)致的橫向膨脹, 而右邊第一項(xiàng)則來(lái)自于等離子體橫向尾波帶來(lái)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).

通過(guò)假設(shè)kprb?1 , 同時(shí)假定具有一定長(zhǎng)度的均勻質(zhì)子束f(ξ)=1 , 方程(1)可以轉(zhuǎn)變?yōu)閇21]

其中方程的右邊是kprb?1 情況下的二維粒子束產(chǎn)生的橫向尾波分布.可以通過(guò)它來(lái)引入電子束的橫向尾波.這里假設(shè)電子束的長(zhǎng)度為ξ1, 半徑等于質(zhì)子束的半徑(同樣符合kprb?1 ), 密度為Nnb,均勻分布在0—ξ1之間, 這意味著在模型中, 質(zhì)子束緊跟在電子束的后方, 兩者之間的距離為0.另外在該方程中, 假定電子束的分布不隨時(shí)間演化.把電子束的分布代入方程之后, 就得到了一個(gè)新的包絡(luò)方程:

該方程包含了質(zhì)子束前方電子束的縱向尾波分布.從該方程就可以看出, 電子束產(chǎn)生的橫向尾波就是電子束種子自調(diào)制與質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程之間最大的不同之處.接著對(duì)方程(3)做線性化處理[19], 假設(shè) rb≈r0+r1,r0為質(zhì)子束最終平衡態(tài),r1為質(zhì)子束自調(diào)制期間產(chǎn)生的半徑擾動(dòng), 并且r1?r0, 另外假設(shè)包絡(luò)膨脹的速度比較緩慢r1=r?exp(iξ)+C.C ,及|?ξr?|?r?.這樣就得到了簡(jiǎn)化后關(guān)于r? 的方程:

由此可知, 當(dāng)電子束密度非常小時(shí), 種子自調(diào)制的整個(gè)過(guò)程將接近于質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程.

通過(guò)把質(zhì)子束半徑分布代入等離子體尾波計(jì)算公式, 就可以計(jì)算出等離子體尾波的強(qiáng)度.再引入文獻(xiàn)[19]中的相速度公式

其中為電場(chǎng)的虛部,為電場(chǎng)的實(shí)部.通過(guò)(6)式, 求解尾波的相速度, 就可以得到存在種子尾波時(shí)質(zhì)子束調(diào)制尾波的相速度隨時(shí)間及空間的分布.

圖1為通過(guò)上述公式進(jìn)行數(shù)值求解得到的相速度分布.圖1中所使用的等離子體密度為n0=7×1014/cm3, 質(zhì)子束密度為nb=0.0056n0, 均勻分布, 而電子束長(zhǎng)度ξ1=1.57c/ωp, 密度為均勻分布.圖中分別計(jì)算了電子束密度nbe=0nb, 0.25nb,0.5nb, 1nb, 1 0nb, 2 0nb時(shí)的質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程在ξ = 100時(shí)的尾波相速度分布.如圖1(a)所示, 在電子束密度非常小的情況下, 種子自調(diào)制尾波相速度與無(wú)電子束情況下的質(zhì)子束自調(diào)制幾乎一致, 相速度僅僅有著極其細(xì)微的差距.而從圖1(b)則可以看到, 在電子束密度較大時(shí), 整個(gè)自調(diào)制過(guò)程中的尾波相速度隨著電子束的密度增大有著明顯的提高.并且相速度的最小值也隨之微弱地向左移動(dòng), 這也表示整個(gè)自調(diào)制過(guò)程隨著電子束密度的增加而加快, 電子束具有提高自調(diào)制增長(zhǎng)率的特性.

圖1 在 ξ =100c/ωp 處尾波相速度隨時(shí)間變化 (a) 電子束密度較低時(shí); (b) 電子束密度較大時(shí)Fig.1.Change of the phase velocity with time at ξ =100c/ωp : (a) Low electron beam density; (b) high electron density.

上述的計(jì)算使用了一個(gè)假設(shè), 由于r0必然是個(gè)不為負(fù)的實(shí)數(shù), 當(dāng) 1?2Nsin(ξ?ξ1/2)sin(?ξ1) 為一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí), 直接假定 1 /r0=0 , 另外, 在N的取值非常大的情況下, 比如N= 40, 此時(shí)電子束產(chǎn)生的電場(chǎng)已經(jīng)處于非線性強(qiáng)度, 而本理論只適用于線性階段, 所以上述的理論其實(shí)對(duì)于N有一個(gè)適用范圍.

接著通過(guò)LCODE程序模擬理想狀態(tài)下, 相同分布、不同電荷量的電子束所引發(fā)的種子自調(diào)制中不同位置、不同時(shí)刻縱向尾波極值的位置變化.LCODE是由Lotov開(kāi)發(fā)的二維柱坐標(biāo)模擬軟件[25],專(zhuān)門(mén)用于模擬柱對(duì)稱(chēng)粒子束在等離子體中傳播所引起的尾波激發(fā)和電子加速過(guò)程.在模擬中, 選取的模擬窗口長(zhǎng)度為 6 00c/ωp, 等離子體的密度為n0=7×1014/cm3且均勻分布, 質(zhì)子束長(zhǎng)度L=1500c/ωp(~3 cm), 半徑rb=1c/ωp(~200 μm), 中心能量Eb=400GeV , 中心密度為nb=0.0056n0,縱向密度為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植?所使用的電子束中心密度為nbe, 縱向均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植? 電子束長(zhǎng)度半徑rbe=1c/ωp,緊跟在質(zhì)子束后方, 雙方之間沒(méi)有間隔.這里先考慮一個(gè)理想情況, 把電子的能量設(shè)置為Ebe=1015GeV , 在能量如此高的情況下, 電子的分布不會(huì)隨時(shí)間演化, 如此就可以與上述的理論進(jìn)行比較.

圖2(b)、圖2(d)和圖2(f)分別給出了在上述條件下改變電子束的中心密度所模擬出的質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度在時(shí)間與空間上的分布.而圖2(a)、圖2(c)和圖2(e)給出了上述條件下質(zhì)子束自調(diào)制尾波電場(chǎng)最大值在時(shí)間與空間上的分布.通過(guò)對(duì)比這些圖像可以發(fā)現(xiàn), 隨著電子束中心密度的增加,電場(chǎng)最大值峰值出現(xiàn)的時(shí)間在整個(gè)自調(diào)制的過(guò)程中越來(lái)越早(從無(wú)電子束的大約 2 0000c/ωp到nbe=10nb時(shí)的大約 1 0000c/ωp), 相對(duì)應(yīng)的尾波相速度變化結(jié)構(gòu)也有著同樣的變化, 由此可見(jiàn), 電子束的引入可以提高自調(diào)制的增長(zhǎng)率, 壓縮整個(gè)自調(diào)制過(guò)程從初始到飽和所需的時(shí)間, 并且隨著電子束的電荷量的增加, 整個(gè)加速的程度愈發(fā)明顯.

圖2 電子束種子自調(diào)制模擬結(jié)果 (a) 無(wú)電子束時(shí)的最大電場(chǎng)分布; (b) 無(wú)電子束時(shí)的相速度分布; (c) 電子束中心密度為1nb時(shí)的最大電場(chǎng)分布; (b) 電子束中心密度為 1 nb 時(shí)的相速度分布; (e) 電子束中心密度為 1 0nb 時(shí)的最大電場(chǎng)分布; (f) 電子束中心密度為 1 0nb 時(shí)的相速度分布Fig.2.Results of the simulation: (a) Distribution of Emax when no seeding; (b) distribution of phase velocity when no seeding;(c) distribution of Emax when n be=1nb ; (d) distribution of phase velocity when n be=1nb ; (e) distribution of Emax when nbe=10nb ; (f) distribution of phase velocity when n be=10nb.

圖3 (a)給出了在不同電子束條件下尾波的峰值相位變化情況.通過(guò)對(duì)比圖3(a)中的各個(gè)曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置, 可以發(fā)現(xiàn)所有的曲線都擁有相同的變化規(guī)律, 它們的變化趨勢(shì)也是相同的, 惟一不同的是相速度拐點(diǎn)的位置和相速度的大小.圖3(b)和 圖3(c)則給出了(ξ=100c/ωp與ξ=300c/ωp處)不同nbe下各處尾波相速度隨時(shí)間的變化情況.通過(guò)對(duì)比圖3(b)和圖3(c)不同nbe情況下的尾波相速度可以發(fā)現(xiàn), 相比于無(wú)電子束調(diào)制, 在有電子束調(diào)制的情況下, 尾波相速度有所提升, 而且尾波的增長(zhǎng)率也明顯增加了.質(zhì)子束自調(diào)制的增長(zhǎng)率隨著電子束中心密度nbe的提高而增大, 從而縮短了整個(gè)過(guò)程的時(shí)間, 使得尾波相速度的演化進(jìn)展加快, 更早地達(dá)到了后期相速度接近于光速的穩(wěn)定狀態(tài).這與之前理論推導(dǎo)所給出的結(jié)論完全一致, 但是可以發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與理論相比在細(xì)節(jié)上并不一致, 可見(jiàn)想要獲得一個(gè)精確的關(guān)于相速度的分布,數(shù)值模擬仍然是不可或缺的.

圖3 (a) 不同電子束密度 n be 情況下尾波峰值相位的變化; (b) ξ =100c/ωp 處不同 n be 條件下模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化; (c) ξ =300c/ωp 處不同 n be 條件下模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化Fig.3.(a) Phase change of the wakefield peak with different electron beam density n be ; (b) evolution of the phase velocity at ξ =100c/ωp with different n be ; (c) evolution of the phase velocity at ξ =300c/ωp with different n be.

圖4給出了縱向坐標(biāo) 0c/ωp—600c/ωp范圍的模擬窗口內(nèi)縱向電場(chǎng)最大值隨時(shí)間的變化曲線, 從圖中的曲線變化可以清晰地看出隨著電子束的電荷量提升, 整個(gè)自調(diào)制過(guò)程的增長(zhǎng)率(電場(chǎng)增長(zhǎng)率)有了明顯的提升, 所達(dá)到的最大電場(chǎng)也隨之提高.

圖4 不同電子束密度 n be 情況下最大電場(chǎng)隨時(shí)間的分布Fig.4.Evolution of the maximum electric field with different electron beam density n be.

綜上所述, 電子束可以提升自調(diào)制的整個(gè)過(guò)程的發(fā)展速度, 使得整個(gè)過(guò)程所需的時(shí)間縮短, 這也使得尾波相速度的變化幅度加快, 更早地達(dá)到了后期相速度接近于光速的穩(wěn)定狀態(tài), 有利于后續(xù)的電子加速.

3 電子束參數(shù)對(duì)尾波相速度的影響

上一節(jié)討論了理想狀態(tài)下電子束種子尾波對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程中尾波相速度的影響, 所采用的電子束能量極高, 使其在傳輸過(guò)程中不發(fā)生變化,是一種簡(jiǎn)化后的模型.然而在實(shí)際的情況中, 電子束的能量不可能如此之高, 相應(yīng)地, 電子束在等離子體傳播的過(guò)程中, 它的密度分布、形狀、能量都會(huì)發(fā)生變化.這些改變也會(huì)影響尾波相速度.本節(jié)考慮了有限能量電子束傳輸過(guò)程的演化對(duì)尾波相速度的影響.

首先介紹理論計(jì)算.當(dāng)電子束在等離子體中傳播時(shí), 它會(huì)受到一個(gè)來(lái)自等離子體的徑向的作用力以及本身的庫(kù)侖排斥力, 其橫向尺度滿(mǎn)足[17]

其中τ=t為傳播時(shí)間,I1和K1為修正貝塞爾函數(shù).假如電子束的發(fā)射度非常小, 那么電子束將受到一個(gè)徑向壓縮的作用力, 進(jìn)入一個(gè)自聚焦的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中, 電子束的半徑在不斷地變小,密度在不斷地變高, 從而它所激發(fā)的電場(chǎng)也在不停地變強(qiáng).

假設(shè)粒子束的平衡態(tài)滿(mǎn)足如下條件:

并且粒子束的頭部滿(mǎn)足真空中發(fā)射度自由膨脹方程[17]

可以利用方程(8)和方程(9)來(lái)求解出不同時(shí)刻粒子束的平衡態(tài).

圖5(a)和圖5(b)給出了通過(guò)(8)式和(9)式計(jì)算的一束長(zhǎng)度半徑r=1c/ωp, 發(fā)射度εe=3×10?4rad/mm , 能量為Ebe的電子束剛進(jìn)入等離子體中時(shí)的平衡態(tài)分布.可以看到電子束的半徑, 特別是后半部分, 有一個(gè)非常明顯的壓縮.由此可見(jiàn), 在等離子體中傳播的初期, 電子束將經(jīng)歷一個(gè)極其顯著的壓縮過(guò)程, 而壓縮后產(chǎn)生的高密度也自然使得其產(chǎn)生的電場(chǎng)有了巨大的提升, 從而改變了整個(gè)尾波的分布.

圖5 (a) 電子束能量 E be=100MeV 時(shí)不同電子束密度nbe的平衡態(tài)分布; (b) n be=10nb 時(shí)不同電子束能量Ebe 的平衡態(tài)分布Fig.5.(a) Equilibrium configuration with different electron beam density n be when Ebe =100 MeV; (b) equilibrium configuration with different E when n be=10nb.

圖6給出了根據(jù)(7)式—(9)式計(jì)算所得的存在電子束種子時(shí), 質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程中的平衡態(tài)密度分布.計(jì)算過(guò)程中所使用的參數(shù)如下: 等離子體密度n0, 電子束初始密度nbe=5nb, 均勻分布, 電子束能量Ebe= 100 MeV, 發(fā)射度εe=3×10?4rad/mm , 長(zhǎng)度ξ1=1.57c/ωp, 初始半徑rbe=c/ωp; 質(zhì)子束密度nb=0.0056n0, 縱向無(wú)限長(zhǎng)且均勻分布, 中心能量為Eb= 400 GeV, 發(fā)射度εp=3×10?4rad/mm , 初始半徑rb=c/ωp.該計(jì)算中采用了兩個(gè)假設(shè): 1)忽略電子束半徑分布的變化, 即rbe(ξ,t)=rbe(t); 2)忽略電子束的能量衰減.首先, 通過(guò)上述假設(shè)和方程(7)求得電子束在某一時(shí)刻下的半徑; 其次, 將電子束分布和質(zhì)子束參數(shù)代入方程(7), 從而求得在該時(shí)刻電子束后方的質(zhì)子束平衡態(tài)密度分布, 最后再通過(guò)n(ξ,t)=計(jì)算出該時(shí)刻各個(gè)縱向位置的平衡態(tài)密度分布.圖6中選取了三個(gè)時(shí)刻(t=0 ,410/ωp, 5 89/ωp), 分別對(duì)應(yīng)著電子束半徑rbe=c/ωP, 0.75c/ωP, 0.5c/ωP三種情況, 展示了電子束(0至虛線范圍內(nèi))后方質(zhì)子束的平衡態(tài)密度分布的變化圖像.通過(guò)對(duì)比不同時(shí)刻的質(zhì)子束平衡態(tài)密度分布, 可以得知當(dāng)電子束處于被壓縮狀態(tài)時(shí)(可以看到電子束的密度越來(lái)越高), 質(zhì)子束的包絡(luò)會(huì)有向前運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì), 那么相應(yīng)質(zhì)子束產(chǎn)生的尾波相位也會(huì)存在向前運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì), 這也是形成超光速尾波相速度的主要原因.總之, 當(dāng)電子束處于自聚焦?fàn)顟B(tài)時(shí), 可以得到一個(gè)超光速的尾波相速度.

圖6 電子束壓縮引起的質(zhì)子束平衡態(tài)變化, 即在三個(gè)時(shí)刻的質(zhì)子束平衡態(tài)分布Fig.6.Equilibrium configuration of proton beam with a compressing electron beam.

接下來(lái)的模擬是基于之前的等離子體和質(zhì)子束參數(shù), 考慮了相同電子束分布和電荷量, 但不同能量的模擬參數(shù)對(duì)尾波相速度的影響.在模擬中,等離子體的密度為n0=7×1014/cm3且均勻分布,質(zhì)子束中心能量Eb=400GeV , 長(zhǎng)度L=1500c/ωp(大約3 cm), 半徑r=1c/ωp(大約200 μm), 中心密度為nbm=0.0056n0, 縱向分布為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植?所使用的電子束長(zhǎng)度半徑r=1c/ωp,電子束中心密度nbem=10nb,縱向分布為均勻分布, 橫向?yàn)楦咚狗植? 電子束中心能量總共選取了三種, 分別是Ebe= 100 MeV,500 MeV, 1 GeV.

圖7 (a)—圖7(c)給出了在上述條件下改變電子束的能量(100 MeV, 500 MeV, 1 GeV)所得到的質(zhì)子束自調(diào)制尾波電場(chǎng)最大值在時(shí)間與空間上的分布.圖7(d)€—圖7(f)則給出了上述條件下質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度在時(shí)間與空間上的分布.圖8(a)和圖8(b)則是挑選了ξ=100c/ωp與ξ=300c/ωp的位置, 不同能量的電子束所得到的尾波相速度進(jìn)行比較.可以發(fā)現(xiàn), 在自調(diào)制初始的時(shí)期,出現(xiàn)了相速度大于光速的現(xiàn)象, 這與之前提到的電子束自聚焦理論相符合.能量越高, 該現(xiàn)象就越不明顯.另外通過(guò)對(duì)比圖7和圖8中的數(shù)據(jù), 可以發(fā)現(xiàn)對(duì)自聚焦起到關(guān)鍵作用的有兩個(gè)參數(shù), 即電子束的能量和密度.如果電子束的能量γ過(guò)高, 那么它受到的徑向加速度也隨之減弱, 如圖8(a)和圖8(b)所示, 自聚焦對(duì)相速度的影響程度隨著能量的增高而漸漸減弱.而如果增強(qiáng)電子束的密度, 則自聚焦的速度就會(huì)明顯加快, 整個(gè)自聚焦的過(guò)程所引發(fā)的超光速相速度也會(huì)愈發(fā)明顯.

圖7 利用電子束種子尾波調(diào)制質(zhì)子束的模擬結(jié)果 (a), (b), (c)分別對(duì)應(yīng)電子束能量 E be = 100 MeV, 500 MeV, 1 GeV時(shí)的最大電場(chǎng)隨時(shí)間變化; (d), (e), (f) 分別對(duì)應(yīng)電子束能量 E be = 100 MeV, 500 MeV, 1 GeV時(shí)的相速度隨時(shí)間變化Fig.7.Simulation of proton beam modulation with electron beam seeding:(a), (b), (c) The maximum electric fields as a function of time for the electron beam energy at E be=100MeV , 500 MeV, and 1 GeV, respectively; (d), (e), (f) the phase velocity as a function of time for the electron beam energy at E be=100MeV , 500 MeV, and 1 GeV, respectively.

圖8 (a) 在 ξ =100c/ωp 處不同電子束能量模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化; (b) 在 ξ =300c/ωp 處不同電子束能量模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化Fig.8.(a) Phase velocity as a function of time at ξ =100c/ωp for different electron energy; (b) phase velocity as a function of time at ξ =300c/ωp for different electron energy.

另外, 電子束在尾波中傳播時(shí)還受到了一個(gè)縱向的電磁力[25]:

而與之相對(duì)的, 電子束作為尾波的能量來(lái)源, 它每時(shí)每刻減少的能量正好與之產(chǎn)生的尾波強(qiáng)度相對(duì)應(yīng), 可以得出電磁力F正比于電子束密度nbe, 這也意味著, 電子束的能量耗散速度正比于電子束所攜帶的電荷量.當(dāng)電子束的能量衰退, 其發(fā)射度所引起的膨脹效應(yīng)會(huì)超過(guò)尾波引起的壓縮效應(yīng), 這個(gè)時(shí)候, 電子束就會(huì)膨脹, 它的密度降低, 從而產(chǎn)生了與上述自聚焦過(guò)程相反的現(xiàn)象, 使得相速度有所降低.不過(guò), 假如電子束有著足夠的能量,那么這個(gè)過(guò)程就會(huì)發(fā)生的比較緩慢.另外, 當(dāng)電子束的能量耗盡時(shí), 它會(huì)在縱向上變形分裂, 從而產(chǎn)生不穩(wěn)定的相速度, 如圖8(a)和8(b)所示.同理,如果降低電子束的電荷量, 那么也自然可以減緩該過(guò)程.

當(dāng)?shù)入x子體尾波中的電場(chǎng)增加到接近于E0時(shí), 由于相對(duì)論非線性效應(yīng), 等離子體中尾波的波長(zhǎng)就會(huì)被拉長(zhǎng)[26], 可以近似描述為λP=λp0[1+α(Em/E0)2], 其中λp0為線性理論中的等離子體波長(zhǎng),α是一個(gè)參數(shù).假定整個(gè)長(zhǎng)質(zhì)子束所形成的尾波結(jié)構(gòu)在縱向上包含了N個(gè)波長(zhǎng), 那么當(dāng)每一個(gè)波長(zhǎng)都被拉長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)時(shí), 對(duì)于尾波的相位,特別是距離質(zhì)子束頭部較遠(yuǎn)的位置, 具有極大的影響.一般而言, 無(wú)論是質(zhì)子束自調(diào)制還是電子束種子尾波誘導(dǎo)調(diào)制, 它們的尾波大致變化都是先上升后下降的, 而它們產(chǎn)生的尾波所能達(dá)到的最大電場(chǎng)大致在0.4E0—0.7E0.當(dāng)一個(gè)位置的電場(chǎng)從E1變化到E2時(shí), 根據(jù)上述λP公式, 它的波長(zhǎng)變化及相位變化大約為

所以, 當(dāng)尾波在快速增大時(shí), 該非線性效應(yīng)會(huì)使得尾波的相速度發(fā)生巨大的下降, 并且隨著ξ(N)的增大而愈發(fā)明顯; 當(dāng)尾波在快速下降時(shí), 尾波的相速度會(huì)快速地上升, 甚至于突破光速, 產(chǎn)生超光速的相速度.然而該過(guò)程是非線性效應(yīng), 很難被精確描述, 只能根據(jù)公式定性描述出大致的物理圖像.該機(jī)制在沒(méi)有種子電子束尾波存在的質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程中也會(huì)對(duì)尾波相速度的演化起到相當(dāng)重要的作用.

4 質(zhì)子束縱向密度分布對(duì)尾波相速度的影響

現(xiàn)今AWAKE實(shí)驗(yàn)[15]中所使用的模型并不是如以上所述的在縱向上完全均勻分布, 而是余弦函數(shù)的半波型, 函數(shù)表述為其 中nbm=0.0056n0為中心密度,σr=1c/ωP, 它是一個(gè)縱向密度從0開(kāi)始上升并最終回到0的這樣一種分布.該實(shí)驗(yàn)利用激光束產(chǎn)生的移動(dòng)等離子體邊界來(lái)對(duì)質(zhì)子束產(chǎn)生調(diào)制.在沒(méi)有電子束的情況下, 這樣的過(guò)程非常不利于質(zhì)子束的自調(diào)制, 因?yàn)椴粌H增長(zhǎng)率緩慢,而且極易激發(fā)軟管不穩(wěn)定性[14], 不利于后續(xù)粒子束的加速.而在現(xiàn)有的電子束種子調(diào)制方案[22]中,電子束的引入將使得原本處于激光束前半段的質(zhì)子束也可以運(yùn)用于尾波加速的整個(gè)過(guò)程, 從而避免不必要的浪費(fèi).在該方案中電子束引入所帶來(lái)的變化和上述移動(dòng)等離子體邊界引起自調(diào)制的過(guò)程有很大區(qū)別.

在引入上述的質(zhì)子束分布的情況下, 比較了沒(méi)有電子束與引入電子束的情況.在有電子束的模擬中, 電子束的參數(shù)如下: 能量E= 100 MeV,長(zhǎng)度ξ1=1.57c/ωp,σre=1c/ωp, 中心密度nbem=0.0056n0, 電子束的空間分布表述為nbe(r,ξ)=即縱向分布為余弦函數(shù)半波型, 橫向分布為高斯分布.

圖9(a)和圖9(b)分別對(duì)比了ξ=500c/ωp,ξ=750c/ωp兩個(gè)坐標(biāo)下無(wú)種子尾波的自調(diào)制與有種子尾波調(diào)制情況下質(zhì)子束尾波相速度隨時(shí)間的變化情況.可以明顯地看出有電子束的情況下, 尾波相速度尤其是在模擬后期有了明顯的增加.另外, 由于電子束的電荷量比較低, 在等離子體中的能量衰減速度比不上圖8中100 MeV所對(duì)應(yīng)的模擬, 故而圖9中并沒(méi)有圖8后期出現(xiàn)的不穩(wěn)定相速度, 這與上一節(jié)所闡述的結(jié)論是一致的.綜上所述, 即便改變了質(zhì)子束的分布, 電子束依然可以提高平均相速度, 之前所得到的結(jié)論在改變質(zhì)子束分布的情況下也依然適用.

圖9 (a) 在 ξ =500c/ωp 處模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化; (b) 在 ξ =750c/ωp 處模擬得到的尾波相速度隨時(shí)間變化Fig.9.(a) Phase velocity as a function of time at ξ=500c/ωp ; (b) phase velocity at ξ =750c/ωp.

5 結(jié) 論

本文通過(guò)理論分析并利用二維柱坐標(biāo)模擬軟件LCODE研究了電子束的種子尾波對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制尾波相速度的影響.發(fā)現(xiàn)電子束可以提升整個(gè)質(zhì)子束自調(diào)制的增長(zhǎng)率, 提升尾波相速度, 并且電子束的電荷量越高, 提升的效果越突出.另外研究還發(fā)現(xiàn), 電子束在質(zhì)子束自調(diào)制過(guò)程的前期會(huì)通過(guò)自聚焦的效應(yīng)提升相速度.電子束的電荷量越高、能量越低則相速度提升愈發(fā)明顯; 通過(guò)選取合適的參數(shù), 甚至可以獲得一個(gè)超光速的相速度.此外,本文還探討了諸如電子束能量耗散、相對(duì)論效應(yīng)引起的等離子體波長(zhǎng)拉長(zhǎng)等效應(yīng)對(duì)相速度的影響, 并在最后比較了不同質(zhì)子束分布情況下相速度的演化, 驗(yàn)證了上述電子束種子尾波對(duì)質(zhì)子束自調(diào)制尾波的相速度影響的相關(guān)結(jié)論適用于不同質(zhì)子束密度分布.本研究對(duì)于未來(lái)的電子束種子自調(diào)制尾波加速方案具有一定的參考價(jià)值.

作者感謝俄羅斯Budker核物理研究所Konstantin Lotov教授允許使用他開(kāi)發(fā)的LCODE程序, 并提供相關(guān)幫助.