基于數(shù)學(xué)史實施深度學(xué)習(xí)

顧宇恒 蔡宏圣

【摘? ?要】深度學(xué)習(xí)是教師踐行立德樹人根本任務(wù)的重要實踐路徑。基于數(shù)學(xué)史實施深度學(xué)習(xí)，可以結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的四種方式，更多地指向意義與動機，更多地進行知識間勾連，更多地突出思考過程，更多地進行探索再創(chuàng)造。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)史;策略

所謂深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。黨的十八大明確提出“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)”。為全面深化課程改革，落實“立德樹人”根本任務(wù)，自2014年9月起，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心組織專家團隊，著手研究將深度學(xué)習(xí)作為落實學(xué)生核心素養(yǎng)及各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的實踐路徑。可見，深度學(xué)習(xí)的興起是時代發(fā)展的必然要求。

本文試圖從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的視角，基于華東師范大學(xué)汪曉勤教授提出的“數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的四種方式”，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地踐行深度學(xué)習(xí)提出建議。

一、附加式：超越歷史史實，更多地指向意義與動機

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中“你知道嗎”的安排，多為簡單地介紹一些數(shù)學(xué)史實，主要表現(xiàn)為“誰什么時候提出了什么數(shù)學(xué)成就”。如蘇教版教材一年級下冊第39頁這樣介紹：“第一個使用‘=的，是英國數(shù)學(xué)家雷科德。第一個使用‘>和‘<的，是英國數(shù)學(xué)家哈里奧特?！卑堰@些史料用在課堂教學(xué)中，往往是數(shù)學(xué)史的附加式運用，即數(shù)學(xué)史沒有影響教師的教學(xué)設(shè)計，只不過在原有的教學(xué)設(shè)計以外再附加一個“超鏈接”。從深度學(xué)習(xí)的要義去審視，這些內(nèi)容的教學(xué)需要超越數(shù)學(xué)史的史實，更多地在指向數(shù)學(xué)知識的意義與激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機上做文章。因此，附加式運用要注意以下三點。

（一）適度加工

有教師在組織學(xué)生認識“小數(shù)的意義”時，介紹了我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在這方面的成就，其中提到“劉徽在當(dāng)時是世界上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他在開方不盡的問題中提出了‘求微數(shù)的思想，促進十進分?jǐn)?shù)也就是小數(shù)的產(chǎn)生，而西方直到十四五世紀(jì)才出現(xiàn)十進分?jǐn)?shù)，劉徽的成就比西方早了將近1000多年”。從數(shù)學(xué)史本身看，這個介紹沒有什么問題，但從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看，“開方”可能超越了大多數(shù)學(xué)生的認知范疇，給當(dāng)前的學(xué)習(xí)帶來了不必要的注意力分散。所以，為了深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)史選用，需要進行適度的加工，在非關(guān)鍵的枝節(jié)處可以模糊些，從而讓學(xué)生的思考聚焦于當(dāng)前學(xué)習(xí)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)問題上。

（二）還原意義

學(xué)生第一次學(xué)習(xí)除法，教師在講解除號的歷史時，可以這樣介紹：“300多年前，瑞士數(shù)學(xué)家開始用符號‘÷來表示除?！币部梢赃@樣介紹：“300多年前，瑞士數(shù)學(xué)家開始用符號‘÷來表示除，用一根橫線把兩個圓點分開，恰好表示平均分的意思?！笨雌饋磉@兩種介紹方式差異不大，但實際上卻體現(xiàn)了兩種不同的價值取向。對深度學(xué)習(xí)來說，前一種介紹方式僅僅在形式化的層面上介紹“誰什么時候提出了什么數(shù)學(xué)成就”這樣的數(shù)學(xué)史實，意義不大。數(shù)學(xué)史述說了一個知識成為現(xiàn)在這個樣子的過程，教師要把其中有意義的部分挖掘出來，像后一種介紹方式那樣，把除號表示“平均分”這樣的意義挖出來并還原到形式化的數(shù)學(xué)史實里，可以更好地提升學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解。

（三）激發(fā)動機

在網(wǎng)上輸入詞條“陳景潤”，就會出現(xiàn)這樣的故事：陳景潤高中時很快解決了老師提出的“韓信點兵”問題，沈元老師高興之際鼓勵道：你能獨立解答“韓信點兵”，不要停止思考，你能創(chuàng)造更大的奇跡，比如解決“哥德巴赫猜想”。于是，沈老師就講起了“哥德巴赫猜想”的故事，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引著陳景潤。無獨有偶，最終證明費馬大定理的數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯，10歲時就已經(jīng)著迷于數(shù)學(xué)。懷爾斯這樣描述看到這個問題時的感受：“看上去如此簡單，但歷史上所有大數(shù)學(xué)家都未能解決它，這里正擺著一個我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它?！鄙疃葘W(xué)習(xí)是全身心投入的學(xué)習(xí)，裹挾著情感投入產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力的學(xué)習(xí)才是可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)史在這方面有著諸多優(yōu)勢，教師可尋找并呈現(xiàn)著名數(shù)學(xué)家學(xué)生時代的故事，或者講述與數(shù)學(xué)知識發(fā)展相關(guān)的逸聞趣事，用數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力去吸引和打動學(xué)生，將學(xué)生引入深度學(xué)習(xí)的大門。

二、復(fù)制式：超越列舉呈現(xiàn)，更多地進行知識間勾連

復(fù)制式運用是指教學(xué)中直接使用歷史上的經(jīng)典名題與數(shù)學(xué)方法，構(gòu)成教學(xué)內(nèi)容的組成部分。例如教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》一課，教師首先出示意大利數(shù)學(xué)家帕喬利的名言：“一個人能把除法做好，那么其他的運算對他輕而易舉，因為加減乘都包含在除法運算當(dāng)中?！币龑?dǎo)學(xué)生將探究聚焦到除法上來。在隨后的學(xué)習(xí)過程中，教師鼓勵學(xué)生采用多種方法解決除法問題，還將歷史上出現(xiàn)過的除法算法如古埃及“加倍與減半”的方法（如圖1）、熱貝爾及其改進的方法（如圖2），讓學(xué)生感悟理解。上述的復(fù)制式，就是把數(shù)學(xué)史作為“課堂中一名額外的學(xué)生”去運用。

深度學(xué)習(xí)是指對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行深度思維加工的學(xué)習(xí)，它要求學(xué)生能夠抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性從而全面把握知識的內(nèi)在聯(lián)系，而不是簡單地掌握孤立的知識點或記憶更多的事實性知識。依此要義審視上述的數(shù)學(xué)史運用，雖然呈現(xiàn)了歷史上除法計算的不同形式，展示了除法豎式的多樣性，開拓了學(xué)生思考除法豎式計算方法的眼界，但為了深度學(xué)習(xí)，更要抓住多樣方法背后的統(tǒng)一，組織不同方法之間的異同比較，在更為廣泛的層面上進行知識間的勾連，在更為一般的層面上提煉所學(xué)知識的本質(zhì)屬性。比如，無論怎么去除，都是在設(shè)法求被除數(shù)里面有多少個除數(shù)。又比如，雖然呈現(xiàn)的除法豎式不同，但除的時候都是把被除數(shù)分解為幾個數(shù)，逐步去除，然后把各次得到的結(jié)果合并起來。

在歷史的長河里可以看到，統(tǒng)一性促進了數(shù)學(xué)分支之間的相互交流與共同發(fā)展，保證了數(shù)學(xué)的生命力，規(guī)范了數(shù)學(xué)的前進發(fā)展。數(shù)學(xué)發(fā)展的這種屬性投射到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同樣需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某個階段引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起不同知識間的諸多勾連，從而在更為本質(zhì)的層面上理解和把握所學(xué)知識。線段的長度、角的角度（弧度）、面積與體積，似乎毫無關(guān)系，但若從數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性角度看，它們做的實際上是同一件事，都是度量。在不同知識間實現(xiàn)融會貫通，原先汗牛充棟的內(nèi)容就統(tǒng)一為少數(shù)幾個核心概念或原理。知識不再是學(xué)習(xí)的目的，變成了養(yǎng)成素養(yǎng)的通道。所以，教學(xué)越統(tǒng)一，也就越深刻，離數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)的本源就越近，就越符合深度學(xué)習(xí)的要義。

三、順應(yīng)式：超越史料本身，更多地呈現(xiàn)思考過程

順應(yīng)式運用是指將數(shù)學(xué)史料進行改編，以順應(yīng)今日教學(xué)的需要。深度學(xué)習(xí)有著豐富的意義，要體現(xiàn)出深度學(xué)習(xí)的特質(zhì)，讓學(xué)生真正地思考起來是重要前提。于此，教師需要做這樣兩個改變。

（一）讓學(xué)生思考后再介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史料

多個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書都介紹了陳景潤和哥德巴赫猜想，對這段數(shù)學(xué)史資料大多數(shù)教師的用法是附加式，即完成了教科書中的其他練習(xí)（這些練習(xí)和哥德巴赫猜想毫無關(guān)系）后，有時間多再讓學(xué)生讀讀有關(guān)陳景潤和哥德巴赫猜想的介紹。為了讓學(xué)生更好地深入其中，教師可以把附加式呈現(xiàn)改變?yōu)轫槕?yīng)式呈現(xiàn)，也就是先呈現(xiàn)一些偶數(shù)，要求學(xué)生分解為兩個質(zhì)數(shù)的和，并用歸納推理的方式提出自己的猜想，在此基礎(chǔ)上再介紹哥德巴赫猜想以及陳景潤的研究成果。以此類推，厄拉多塞篩法找質(zhì)數(shù)，高斯求1～100各數(shù)之和等等，只要是學(xué)生能理解和思考的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)結(jié)論，都可以讓學(xué)生先行嘗試和探索起來，然后再接觸相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，這樣的安排顯然離深度學(xué)習(xí)更近。

（二）讓學(xué)生體會和領(lǐng)悟知識蘊含的思想方法

順應(yīng)式運用需要教師改造數(shù)學(xué)史料為教學(xué)所用，因此特別考驗教師自身的認識水平和教學(xué)智慧。認識年、月、日，能用的史料特別多，凱撒、奧古斯都定歷法，閏年與平年的由來，年、月、日的天文學(xué)意義等等，雖然這些內(nèi)容在一定意義上可以促進學(xué)生對年、月、日各個事實性知識的理解，但并沒有觸及知識更為本質(zhì)的屬性。年、月、日的天文學(xué)意義客觀存在，但回到歷史的源頭，人類的先祖是沒有這些時間概念的，時間對于人類來說是延綿不絕、混沌不清、不可刻畫的。人類到底是如何厘定年、月、日這三個時間單位的？把這揭示出來，可以讓學(xué)生體會和感悟概念是怎么建立的，觸及人是如何通過思考建立知識的。太陽的升起和降落帶來的直觀感受是白天與黑夜的更替……白天，黑夜，白天，黑夜，白天，黑夜……人類的先祖在觀察中發(fā)現(xiàn)，可以把一個白天和一個黑夜合并起來作為一個周期去考察比較，而且這個周期不斷地重復(fù)更替。由此及彼，同樣可以把月的陰晴圓缺、氣候的春夏秋冬作為一個周期去考察時間，并且這個周期同樣也在不斷地重復(fù)更替，由此形成了日、月、年的認識。整個過程可以概括為嘗試分割、比較驗證（是否重復(fù)更替）、形成認識的過程，這個過程和數(shù)學(xué)認知中的提出猜想、證明驗證、形成結(jié)論的過程并無不同?！翱坍嫊r間是人類迄今為止構(gòu)建的最為重要的數(shù)學(xué)模型，其效能幾乎可以與火的使用、與文字的發(fā)明、與自然數(shù)的發(fā)明相媲美?！苯虒W(xué)至此，學(xué)生在課堂中的積淀超越了知識本身，感受到了數(shù)學(xué)知識（數(shù)學(xué)模型）是怎么形成的，深度學(xué)習(xí)成了自然而然的事情。

四、重構(gòu)式：超越數(shù)學(xué)結(jié)論，更多地進行探索再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)史料直接用在課堂中，總有不妥當(dāng)?shù)臅r候，重構(gòu)式運用，讓數(shù)學(xué)史成為教學(xué)推進的內(nèi)在依托、厚實背景，但這需要教者首先站在歷史的高度，理清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、數(shù)學(xué)思想的演進走向，把握住所教內(nèi)容的知性本質(zhì)。然后設(shè)計情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程，在人類認識提升的關(guān)鍵節(jié)點上給予學(xué)生充分的時間和空間，讓他們運用已有的積淀去再創(chuàng)造知識，在這個過程中生成的必然是深度的數(shù)學(xué)理解。

例如認識“小數(shù)的意義”，教師首先組織學(xué)生利用元角分、長度單位間的關(guān)系，理解0.2元、0.2米的意義，抽象把握0.2的意義。接著，教師拿出計數(shù)單位最小是“個”的計數(shù)器，請學(xué)生嘗試撥出0.2來。在這一情境中，學(xué)生所面臨的挑戰(zhàn)和歷史上荷蘭工程師斯蒂文創(chuàng)造小數(shù)的思維過程是一脈相承的。人類先祖最早認識的計數(shù)單位是“個（一）”，以此單位為原點，左移就是不斷“進十”，依次得到比“個”大的計數(shù)單位。原先以為“個”在計數(shù)法中是最小的單位了，而現(xiàn)在要撥的0.2顯然說明，應(yīng)該還有比“個（一）”更小的計數(shù)單位，那只有以“個（一）”為原點右移，也就是不斷地“退十”。由此，學(xué)生的認識完成了突圍，創(chuàng)造了小數(shù)計數(shù)方法，溝通了十進制計數(shù)法和小數(shù)意義、分?jǐn)?shù)意義之間的聯(lián)系，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)通過十進位值原理、數(shù)的數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）本質(zhì)實現(xiàn)了統(tǒng)一。

雖然數(shù)學(xué)史的重構(gòu)式運用天然的具有深度學(xué)習(xí)的性質(zhì)，但也需要注意以下三點。

（一）感受再創(chuàng)造的必要

為了使學(xué)習(xí)者生成“積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機”，讓知識的再創(chuàng)造不再成為教師命令下的無奈所為，教學(xué)中教師要把學(xué)生帶到原有認知的邊界處。如上述案例中，學(xué)生潛意識中認為“個”是最小的計數(shù)單位，但0.2又沒有資格撥在個位上，這讓他們清晰地感受到?jīng)]有新的知識或新的辦法解決不了眼前的問題，學(xué)生在后續(xù)的探索思考中才可能“全身心投入”。

（二）設(shè)計一個好的問題

“好問題”往往具有以下特點：其一，起點低，大家都可以進行思考。其二，是非操練性的，具有挑戰(zhàn)性。其三，問題空間適中。問題空間太小就沒有深度思考的余地，太大又會令學(xué)生無從想起。計數(shù)器上撥個數(shù)，所有學(xué)生都能操作，而且一邊撥一邊調(diào)動以往所學(xué)去判斷這個是0.2嗎。0.2應(yīng)該撥在個位的右邊，也是學(xué)生能夠利用以往的計數(shù)法知識推理出來的。

（三）注重數(shù)學(xué)化的過程

課堂情境中的再創(chuàng)造有著特定的時間限制，所以特別需要厘清什么才是更為重要的，最值得花時間的。當(dāng)學(xué)生在情境中清楚了0.2應(yīng)該撥在個位的右邊，這一位的計數(shù)單位是個（一）“退十”得到的。而新的計數(shù)單位到底是什么名稱等知識外在形式化的部分，學(xué)生即使沒有經(jīng)歷猜測直接從老師處得到，也不會影響深度學(xué)習(xí)的性質(zhì)。所以，就知識的再創(chuàng)造來說，能把握住新知識的本質(zhì)才更為關(guān)鍵。要設(shè)法讓學(xué)生經(jīng)歷符號化的過程，而不是知道符號本身;要設(shè)法讓學(xué)生經(jīng)歷定義化的過程，而不是了解定義本身……總之，重要的是充分經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，把握住新知識的內(nèi)核本質(zhì)，而不是最終結(jié)論具體的表達、稱謂、寫法等外在形式化的部分。

深度學(xué)習(xí)旨在促進人的整體發(fā)展。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)學(xué)科促進人的全面發(fā)展的另一種表達。兩者在本源上是一致的，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)需要依據(jù)數(shù)學(xué)史提供資源與路徑的支撐，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的運用，也需要深度學(xué)習(xí)錨定方向與目標(biāo)。

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