基于相對波動(dòng)的自適應(yīng)信號融合算法

潘作舟，孟 宗，張光雅，石 穎, 樊鳳杰

(燕山大學(xué) 河北省測試計(jì)量技術(shù)及儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

多傳感器融合技術(shù)可以被寬泛地定義為，將眾多傳感器采集到的信號進(jìn)行融合，得到比其中任意單一傳感器所采信號更接近真值的技術(shù)[1]。目前已經(jīng)提出了很多信號融合的方法，如卡爾曼濾波(Kalman filter)[2～4]、模糊閾值理論[5,6]和隨機(jī)加權(quán)算法[7,8]等。其中卡爾曼濾波和模糊閾值理論在實(shí)現(xiàn)最優(yōu)融合方面存在著各自的局限性[9]，這種限制包括:過度依賴于條件概率分布或模糊隸屬函數(shù),當(dāng)觀測值彼此高度沖突時(shí)的融合結(jié)果較差,由于過多使用狀態(tài)變量導(dǎo)致的低實(shí)時(shí)性以及低效率等[10,11]。

隨機(jī)加權(quán)是統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域新興的一種計(jì)算方法，現(xiàn)已被用來解決各個(gè)領(lǐng)域的各類復(fù)雜問題[12,13]。與現(xiàn)有的數(shù)據(jù)融合方法相比，隨機(jī)加權(quán)算法具備計(jì)算簡單、不需要信號的任何先驗(yàn)知識(shí)等優(yōu)勢[14]；但該算法主要針對的是目標(biāo)信號為常量的情況[15]，它以所得測量值的均值作為當(dāng)前時(shí)刻真值的最佳估計(jì)值，所得重構(gòu)信號的總均方誤差可以控制在極小的范圍內(nèi)。在目標(biāo)信號為變量的情況下，為適應(yīng)信號的變化，隨機(jī)加權(quán)算法只能以當(dāng)前時(shí)刻的測量值作為當(dāng)前時(shí)刻真值的最佳估計(jì)值，此時(shí)重構(gòu)信號的總均方誤差較大。針對這一情況，本文提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)融合算法。該算法用自適應(yīng)均衡因子調(diào)整當(dāng)前時(shí)刻測量值和以往時(shí)刻測量值間的比例關(guān)系，減小目標(biāo)信號為變量時(shí)的總均方誤差。其中均衡因子的大小由信號的相對波動(dòng)值決定，而相對波動(dòng)值會(huì)根據(jù)信號的當(dāng)前測量值的變化情況自適應(yīng)地進(jìn)行變化，因此該算法能夠延續(xù)隨機(jī)加權(quán)融合算法結(jié)構(gòu)簡單、無需信號先驗(yàn)信息等優(yōu)點(diǎn)。

2 基于隨機(jī)加權(quán)理論的融合算法

2.1 多傳感器數(shù)據(jù)融合理論

圖1 多傳感器數(shù)據(jù)自適應(yīng)加權(quán)融合估計(jì)模型Fig.1 Multi-sensor data adaptive weighted fusion estimation model

2.2 隨機(jī)加權(quán)融合理論

(1)

(2)

總均方誤差為

(3)

因?yàn)閄1,X2,…,Xn彼此獨(dú)立，并且為X的無偏估計(jì)，所以E[(X-Xp)(X-Xq)]=0(p=1,2,…,n;q=1,2,…,n;p≠q),故σ2可寫成

(4)

從式(4)可以看出，總均方誤差σ2是關(guān)于各加權(quán)因子的多元二次函數(shù)，因此σ2必然存在最小值。根據(jù)多元函數(shù)求極值理論，可求出總均方誤差最小時(shí)所對應(yīng)的加權(quán)因子為：

(5)

此時(shí)所對應(yīng)的最小均方誤差為

(6)

(7)

式中k為當(dāng)前采集信號點(diǎn)數(shù)量。此時(shí)的真值估計(jì)值為

(8)

總均方誤差為

(9)

3 改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法

(10)

式中α為自適應(yīng)均衡因子。

相對式(1)來看，利用式(10)來求取最佳估計(jì)值，可以充分考慮k時(shí)刻信號的變化情況以及k時(shí)刻信號與k時(shí)刻之前信號的相關(guān)性，從而進(jìn)一步減小傳感器的系統(tǒng)誤差和測量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差,此時(shí)的真值估計(jì)值為

(11)

總均方誤差為

(12)

(13)

通過迭代得到總均方誤差的展開式為

(14)

為了方便求和，在式(14)的最后1項(xiàng)(X-Xp(1))2前乘上一個(gè)α2(當(dāng)k值較大的時(shí)候?qū)Y(jié)果的影響可以忽略)。再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式對式(14)進(jìn)行近似求和,可得

(15)

對比改進(jìn)前后的總均方誤差，用式(15)減去式(4)得

(16)

均方誤差(mean square error,MSE)隨α的變化情況如圖2所示。因此，為了得到更好的融合效果，需要綜合考慮當(dāng)前時(shí)刻測量值和以往時(shí)刻測量值之間的關(guān)系。

圖2 多路加噪軸承信號融合時(shí)MSE值隨α的變化情況Fig.2 Variation in MSE value with α in multichannel noise-carrying bearing signal fusion

(17)

根據(jù)信號波動(dòng)值隨測量值自適應(yīng)變化的特點(diǎn)，得到自適應(yīng)均衡因子α，由式(18)給出。

(18)

式中：γ是相對波動(dòng)值的閾值；γp(k)是信號在第k個(gè)信號點(diǎn)處的相對波動(dòng)值，它是由第k個(gè)信號點(diǎn)處的信號波動(dòng)值Yp(k)和第(k-1)個(gè)信號點(diǎn)處的波動(dòng)值Yp(k-1)做差值后得到，由式(19)給出。

γp(k)=(Yp(k)-Yp(k-1))

(19)

相對波動(dòng)值γp是以信號相對變化程度為依據(jù)所得到的變量，它能夠根據(jù)當(dāng)前采集到的信號來自適應(yīng)地調(diào)整大小，這和第2.2節(jié)中提到的隨機(jī)加權(quán)算法的自適應(yīng)理論相互匹配。

值得注意的是，γ必須小于1。如果第k點(diǎn)處的相對波動(dòng)值γp(k)超過1后，仍用其作為第k點(diǎn)的自適應(yīng)均衡因子，將會(huì)放大當(dāng)前信號值進(jìn)而干擾信號的正常獲取，因此相對波動(dòng)值γp不能大于1。除此之外，當(dāng)信號波動(dòng)值小于1時(shí)，重建信號的相對誤差可以被抑制。

關(guān)于自適應(yīng)均衡因子不能大于1的證明過程：

(20)

將式(20)中的總均方誤差與式(4)中的總均方誤差做差值:

(21)

可以得到

σ′12>σ2

(22)

因此若相對波動(dòng)值γp(k)大于1，則優(yōu)化后的總均方誤差σ′12會(huì)大于未優(yōu)化前的總均方誤差σ2。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本試驗(yàn)所使用的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。使用的軸承為：3/4英寸(1.905 cm)轉(zhuǎn)子軸承(ER-12K)，實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，轉(zhuǎn)軸基頻f=20 Hz，采樣頻率fs=12 800 Hz。從采集到的正常軸承信號中截取長度為N=1 024的1段，加入噪聲，所加入的高斯白噪聲的方差分別為0.002 5， 0.005 0， 0.007 5， 0.01， 0.012 5， 0.015 0， 0.017 5， 0.02， 0.022 5， 0.025。

圖3 信號采集平臺(tái)Fig.3 Signal acquisition platform

在本文中，閾值γ設(shè)置為0.9，即當(dāng)信號相對波動(dòng)值γp(k)超過0.9時(shí)，將γp(k)設(shè)置為0.9。為更好地分析自適應(yīng)均衡因子α的性能，將其與最優(yōu)均衡因子αb進(jìn)行對比分析，其中最優(yōu)均衡因子為以最佳估計(jì)值與真實(shí)值之間的偏差最小為目標(biāo)函數(shù)而得到，可以被視作均衡因子的最優(yōu)解，如式(23)所示。

(23)

4.1 實(shí)驗(yàn)1

根據(jù)上述的實(shí)驗(yàn)條件和計(jì)算方法，可以計(jì)算得到信號的最佳均衡因子αb、自適應(yīng)均衡因子α，以及二者的偏差值D(D(k)=|α(k)-αb(k)|)，如圖4所示。

圖4(a)、圖4(b)中給出了對應(yīng)于含噪(方差為0.025的高斯白噪聲)軸承信號的自適應(yīng)均衡因子α和最佳均衡因子αb，可以看出2種均衡因子的圖像具有較高的相似性。從圖4(c)中可以看出，在大多數(shù)情況下，2者的偏差值D可以很好的控制在[0,0.1]的范圍內(nèi);當(dāng)最優(yōu)均衡因子αb在某些位置出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，自適應(yīng)均衡因子也可以進(jìn)行良好的匹配，以實(shí)現(xiàn)最佳重建效果。

圖4 最優(yōu)均衡因子與自適應(yīng)均衡因子的比較Fig.4 Comparison of the optimal and adaptive equalization factors

為了定量說明利用自適應(yīng)均衡因子α求解最佳估計(jì)值可以起到抑制重構(gòu)信號總均方誤差的作用，分別計(jì)算利用測量值作為最佳估計(jì)值、利用自適應(yīng)均衡因子α求解最佳估計(jì)值、利用最優(yōu)均衡因子αb求解最佳估計(jì)值時(shí)重構(gòu)信號的MSE值，如表1所示。表1中的均方誤差(MSE)為500次重復(fù)試驗(yàn)后的平均值。

從表1可以看出，利用自適應(yīng)均衡因子α求解最佳估計(jì)值時(shí)重構(gòu)信號的MSE值小于直接利用測量值作為最佳估計(jì)值時(shí)重構(gòu)信號的MSE值，并且非常接近利用最優(yōu)均衡因子αb求解最佳估計(jì)值時(shí)重構(gòu)信號的MSE值。因此利用自適應(yīng)均衡因子α來求解信號的最佳估計(jì)值可以減小重構(gòu)信號中的總均方誤差。

表1 對比不同處理后所得重構(gòu)信號的MSE值Tab.1 Compare the MSE values of the reconstructed signals obtained after different treatments ×10-3

4.2 實(shí)驗(yàn)2

為了直觀展示所提算法的有效性，在進(jìn)行多組信號融合實(shí)驗(yàn)之前，首先進(jìn)行單組信號的去噪實(shí)驗(yàn)。待處理的信號為含噪階躍信號、含噪軸承信號，所加噪聲為高斯白噪聲(方差為0.025)。去噪方法包括：自適應(yīng)均衡因子算法、卡爾曼濾波算法。2種算法的運(yùn)算復(fù)雜度通過運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行衡量，其MSE值和計(jì)算時(shí)間t見表2。

表2 2種算法MSE值和計(jì)算時(shí)間的比較Tab.2 Comparison of the MSE value and computation time between two algorithms

圖5給出了2種算法的去噪效果，可以看出：2類含噪信號在經(jīng)卡爾曼濾波算法處理后，其中的噪聲成分得到了一定程度的抑制，且處理后的信號會(huì)更加光滑，但在信號的開始和結(jié)束階段存在明顯的失真現(xiàn)象；2類含噪信號在經(jīng)自適應(yīng)均衡因子算法處理后，信號中的噪聲成分得到了明顯的抑制，更接近于真實(shí)信號，且不存在端點(diǎn)失真的情況。

圖5 2種算法去噪效果的比較Fig.5 Comparison of de-noising effect between two algorithms

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)：經(jīng)卡爾曼濾波算法處理后的信號的MSE值分別為0.029 21、0.031 52，經(jīng)自適應(yīng)均衡因子算法處理后的信號的MSE值分別為0.005 60、0.020 42；卡爾曼濾波算法處理2類含噪信號所需要的運(yùn)行時(shí)間分別為0.20 s、0.24 s，自適應(yīng)均衡因子算法處理2類含噪信號所需要的運(yùn)行時(shí)間分別為0.15 s、0.17 s。可以得出結(jié)論：自適應(yīng)均衡因子算法相較于卡爾曼濾波算法，其重構(gòu)信號的總均方誤差更小、運(yùn)行速度更快。

4.3 實(shí)驗(yàn)3

在上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對10組含噪信號進(jìn)行融合去噪。融合算法包括基于卡爾曼濾波的融合算法、隨機(jī)加權(quán)融合算法和改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)融合算法。其中，基于卡爾曼濾波的融合算法遵循最小均方誤差準(zhǔn)則。待處理信號分別為含噪階躍信號和含噪軸承信號。添加的高斯白噪聲的方差分別為0.002 5, 0.005 0, 0.007 5, 0.01, 0.012 5, 0.015 0, 0.017 5, 0.02,0.022 5, 0.025。

3種算法的去噪結(jié)果見圖6，可以看出，經(jīng)基于卡爾曼濾波的融合算法處理后的2類信號仍存在明顯的端點(diǎn)失真情況，導(dǎo)致融合信號的總均方誤差較大。經(jīng)傳統(tǒng)的隨機(jī)加權(quán)算法處理后的2類信號中的噪聲成分得到了一定程度的抑制，但改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法的去噪效果更加優(yōu)秀。根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出，當(dāng)目標(biāo)信號是變量時(shí)，本文提出的改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法具有一定的優(yōu)勢。

圖6 3種算法去噪效果的比較(噪聲方差為0.025)Fig.6 Comparison of de-noising effect between three algorithms(noise variance is 0.025)

為定量分析3種融合算法的性能優(yōu)劣，表3給出了3種融合算法的運(yùn)行時(shí)間t以及融合后信號的MSE值。其中，改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法作為一種簡單、高效的融合算法，經(jīng)其處理后所得信號的MSE值要低于其他2種融合算法， 并且計(jì)算復(fù)雜度也要低于其他兩種融合算法。對比運(yùn)算時(shí)間，可以看出，改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法的運(yùn)算時(shí)間僅為基于卡爾曼濾波的融合算法運(yùn)算時(shí)間的1/3。因此利用本文所提算法對多傳感器信號進(jìn)行融合時(shí)，可以獲得更低的相對誤差和運(yùn)算復(fù)雜度。

表3 3種算法MSE值和計(jì)算時(shí)間t的比較Tab.3 Comparison of the MSE value and computation time of the three algorithms

5 結(jié) 論

本文提出了1種改進(jìn)的自適應(yīng)隨機(jī)加權(quán)算法，用于目標(biāo)信號為變量時(shí)的信號融合過程。該算法在估計(jì)真值的過程中，引入1個(gè)均衡因子來調(diào)整當(dāng)前測量值與歷史測量值的比例關(guān)系，其中均衡因子的大小根據(jù)所采信號的相對波動(dòng)值可以自適應(yīng)地變化。新算法不僅可以得到更加接近真值的估計(jì)值，而且可以與傳統(tǒng)隨機(jī)算法進(jìn)行良好結(jié)合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自適應(yīng)均衡因子同最優(yōu)均衡因子間的偏差較?。煌瑐鹘y(tǒng)隨機(jī)加權(quán)算法相比，經(jīng)改進(jìn)算法融合所得信號的總均方誤差更小、運(yùn)行速度更快。