關于線性變換教學的注記

虞志堅

（臺州學院 電子與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

0 引言

線性變換是高等代數里非常重要的一個概念[1-11]。在線性空間里取定一組基后，線性變換在這組基下和一個矩陣是一一對應的，這是高等代數里很重要的一個結果。但是，對于基礎比較薄弱的學生，他們往往只記住了這個結果，至于線性變換和矩陣到底是如何一一對應的卻不是很清楚。教學中經常有學生會問：“線性變換和矩陣一一對應是否意味著向量經過線性變換后等于的對應的矩陣和向量相乘？”這些學生注意到了n階方陣可以與線性空間Pn（這里P是一個數域）中的一個向量直接相乘，而且有時候上述情形是成立的。所以他們才會問到：“通常情況下線性變換作用于這個向量是否就等于對應的矩陣與這個向量視為矩陣時的乘積？”但是，有些時候上述情形又是不成立的。以微分變換為例，一個多項式經微分變換變成了次數降低一次的另一個多項式，可一個矩陣怎么能和一個多項式相乘？此外，對于Pn上的一個向量經線性變換后，如果不等于對應的矩陣與原向量的乘積，那么究竟等于什么？在什么情況下線性變換作用于向量等于對應的矩陣與原向量相乘？下面我們將舉例詳細地進行闡述，文中的素材取自本校高等代數課程所使用的教材，即文獻[12]。

如果沒有特別說明，下文中線性空間Pn中的向量都是指列向量，(x1,x2,…,xn)T示Pn中行向量(x1,x2,…,xn)經轉置后得到的列向量。此外，若一個向量經線性變換成為另一個向量，我們將變換前的向量稱為原像，變換后得到的向量稱為像。

1 線性變換作用于向量不等于對應的矩陣與該向量的乘積

2 像的坐標作成的向量等于相應的矩陣乘以原像的坐標作成的向量

3 什么情形下線性變換作用在向量上等于對應的矩陣與該向量的乘積

經常有學生想當然地認為，既然線性變換與矩陣是一一對應的，那么線性變換作用在向量上就等于線性變換在一組基下的矩陣與該向量的乘積。我們也很希望這個結論是成立的。不過，從上文我們看到哪怕矩陣與向量可以作乘法運算，在一般情況下這個結論也是不成立的。但是換個角度，如果這樣的結論成立，它就是個很有用的結果。所以，很自然地我們要問：上述結論是在任何條件下都不成立？還是有可能成立的？如果有可能成立，那么到底在什么條件下上述的結論成立？下面我們將回答這個問題。

上述結論顯然是成立的，但我們有必要就此進行說明。首先，結論只對形如A：Pn→Pm的線性映射成立。因為在這種情形下，A對應的矩陣A是一個m×n矩陣，只有這樣，A才能與Pn中的向量作矩陣的乘法運算。其次，當取Pn的基為e1,e2,…,en時，向量(x1,x2,…,xn)T在這組基下的坐標為x1,x2,…,xn，此組坐標構成的向量恰好就是(x1,x2,…,xn)T。正如上文所述：通過坐標，線性空間V與Pn是同構的。在這里，V與Pn不僅僅是同構，兩者完全是相同的。雖然這是一種特殊情形——線性空間和自身當然是同構的，但是這個結論同時又是一個非常實用的結果。因為只要寫出線性變換在基下的矩陣，求向量的像只要用矩陣去乘以向量就行了，計算非常方便。另外，盡管此結論適用于形如A：Pn→Pm的線性映射，但我們實際生活的空間是三維歐氏空間P3，所以這個結果是很有用的。

4 結語

通過上文我們看到，線性變換將原像變?yōu)橄?。在基確定的情形下，線性變換對應著一個矩陣，而與此矩陣相關聯(lián)的，則是原像與像在這組基下的坐標，矩陣乘以原像的坐標作成的向量，等于像的坐標作成的向量。向量與它在一組基下的坐標（作成的向量）是兩個完全不同的概念，它們屬于不同的線性空間。所以，一般情況下它們是不相等的。但是，向量所在的線性空間與坐標作成的線性空間是同構的。當基選定后，所有線性變換構成的線性空間與對應的矩陣構成的線性空間也是同構的，線性變換與矩陣的一一對應關系更確切地說是它們所在的線性空間之間同構關系的體現(xiàn)。特別地，當向量所在的線性空間為Pn，取構成單位矩陣的列向量為一組基時，向量與它在這組基下的坐標作成的向量是相同的。此時向量所在的線性空間與坐標作成的線性空間就是同一個空間。在這種極為特殊的情況下，線性變換作用于向量的效果跟它在基下的矩陣乘以向量本身（實際上是它在標準基下的坐標作成的向量，只不過此時它們是相同的）是一樣的。盡管從理論上來說此結果只是一個特例，但它具有很強的應用性。