“兩次倒轉(zhuǎn)”：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)然選擇

【摘 要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)的價(jià)值在于將外在、顯性、普遍的知識(shí)轉(zhuǎn)化為人內(nèi)在、隱性、個(gè)體的解決問(wèn)題的立場(chǎng)、方法與觀點(diǎn)。在概念教學(xué)中，采用先“倒過(guò)來(lái)”再“轉(zhuǎn)回去”的“兩次倒轉(zhuǎn)”教學(xué)機(jī)制，明確內(nèi)容與方向，展現(xiàn)過(guò)程與方法，圓融知識(shí)與智慧。

【關(guān)鍵詞】?jī)纱蔚罐D(zhuǎn);教學(xué)機(jī)制;初中數(shù)學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）45-0034-04

【作者簡(jiǎn)介】王華，江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學(xué)（江蘇鎮(zhèn)江，212113）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省首批“蘇教名家”培養(yǎng)對(duì)象。

在知識(shí)本位的數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)的概念、原理和法則都是作為靜態(tài)的知識(shí)呈現(xiàn)的，不少學(xué)生掌握知識(shí)，卻不會(huì)思考知識(shí)、追問(wèn)知識(shí)，教學(xué)過(guò)程功利化、形式化，缺乏“悟”的時(shí)間。然而回顧歷史，每個(gè)數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)生都凝聚了前人無(wú)數(shù)的心血和智慧，雖然簡(jiǎn)單重復(fù)前人的探究歷程不現(xiàn)實(shí)也不經(jīng)濟(jì)，但以“再創(chuàng)造”的方式簡(jiǎn)化、重現(xiàn)、模擬前人探究的典型過(guò)程卻非常必要。北京師范大學(xué)郭華教授提出的“兩次倒轉(zhuǎn)”教學(xué)機(jī)制，旨在通過(guò)“倒過(guò)來(lái)”明確教學(xué)的內(nèi)容與方向，通過(guò)“轉(zhuǎn)回去”再現(xiàn)概念探究的典型過(guò)程，從而將外在、顯性、普遍的知識(shí)轉(zhuǎn)化為人內(nèi)在、隱性、個(gè)體的解決問(wèn)題的立場(chǎng)、方法與觀點(diǎn)。那么，在概念教學(xué)中如何運(yùn)用“兩次倒轉(zhuǎn)”展現(xiàn)過(guò)程與方法，從而達(dá)成深度教學(xué)呢？本文以蘇科版數(shù)學(xué)七上“無(wú)理數(shù)”概念的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w的教學(xué)路徑。

一、“倒過(guò)來(lái)”，明確內(nèi)容與方向

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既不能簡(jiǎn)化成概念的簡(jiǎn)單堆砌、直接傳遞，也不能只是重復(fù)人類(lèi)初獲概念時(shí)的實(shí)踐、試誤。教學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)將人類(lèi)認(rèn)識(shí)的終點(diǎn)當(dāng)成學(xué)生認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，這樣的認(rèn)識(shí)過(guò)程是一種“倒過(guò)來(lái)”的過(guò)程。這種過(guò)程能讓教師明晰教學(xué)的內(nèi)容和方向，明了教材邏輯與學(xué)生心理的巨大落差，有著獨(dú)特的教學(xué)優(yōu)越性。

1.解構(gòu)多重教學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能僅限于事實(shí)性知識(shí)的“記中學(xué)”，還應(yīng)包括方法性知識(shí)的“做中學(xué)”和價(jià)值性知識(shí)的“悟中學(xué)”。如有教師認(rèn)為，“無(wú)理數(shù)”這一概念十分簡(jiǎn)單，即無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，學(xué)生記住就行，沒(méi)什么可教。顯然這樣的觀點(diǎn)將無(wú)理數(shù)教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)化成“僵化的知識(shí)”，忽略了無(wú)理數(shù)創(chuàng)生歷程之艱難及隱藏在無(wú)理數(shù)背后的人類(lèi)理性精神。因此，無(wú)理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是多重的、有層次的，不僅僅包括無(wú)理數(shù)的概念，還應(yīng)包括無(wú)理數(shù)概念創(chuàng)生背后的數(shù)學(xué)學(xué)科思維、方法和價(jià)值。

2.明了巨大認(rèn)知落差。

數(shù)學(xué)概念的呈現(xiàn)主要有兩條線索，其一是學(xué)科邏輯，其二是學(xué)生心理邏輯。如無(wú)理數(shù)內(nèi)容是安排在蘇科版數(shù)學(xué)教材七上第二章“有理數(shù)”之中。它便于引出實(shí)數(shù)，明晰“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”，從學(xué)科邏輯上講這樣的安排是很有必要的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)與客觀。但是，從學(xué)生的心理來(lái)看存在兩個(gè)認(rèn)知困境：其一，[2]為什么不是有理數(shù)？直接用反證法去邏輯推理顯然無(wú)懈可擊，但對(duì)從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)反證法的學(xué)生來(lái)說(shuō)將是一個(gè)挑戰(zhàn)。其二，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的，無(wú)限意味著無(wú)法窮舉，不循環(huán)意味著沒(méi)有規(guī)律，這看不見(jiàn)摸不著的東西怎么讓人信服與接納？因而人類(lèi)的認(rèn)識(shí)成果與學(xué)生心理認(rèn)知之間產(chǎn)生了巨大的認(rèn)知落差。

3.設(shè)置高階教學(xué)目標(biāo)。

基于數(shù)學(xué)概念的多重教學(xué)內(nèi)容，以及學(xué)科邏輯和心理邏輯間的落差，教學(xué)需設(shè)置高階目標(biāo)化解學(xué)生產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，多維度完成教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在關(guān)注事實(shí)性知識(shí)的同時(shí)，感悟概念所蘊(yùn)含的學(xué)科思維、方法和價(jià)值。具體而言，教師的教學(xué)目標(biāo)是利用多種方式和途徑建立“人類(lèi)對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“學(xué)生的認(rèn)知困境”之間的聯(lián)系。學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：（1）無(wú)理數(shù)是實(shí)實(shí)在在存在的;（2）“[2]是無(wú)理數(shù)”是有道理的;（3）感受無(wú)理數(shù)創(chuàng)生過(guò)程中的理性光輝。

二、“轉(zhuǎn)回去”，展現(xiàn)過(guò)程與方法

“轉(zhuǎn)回去”是在明晰人類(lèi)認(rèn)識(shí)和學(xué)生認(rèn)識(shí)的關(guān)系之后，從情境中提出問(wèn)題，簡(jiǎn)約地、模擬地去經(jīng)歷人類(lèi)認(rèn)識(shí)的典型過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為前行的基礎(chǔ)和力量[1]17，獲得研究問(wèn)題的方法，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“承載著情感與偏見(jiàn)、蘊(yùn)含著歷史文化和生活時(shí)空的主體性、意義性存在”的“個(gè)人知識(shí)”[2]。

1.確定起點(diǎn)，設(shè)計(jì)情境。

通過(guò)解構(gòu)人類(lèi)認(rèn)識(shí)的過(guò)程獲得概念教學(xué)的多重任務(wù)，通過(guò)分析人類(lèi)認(rèn)識(shí)與學(xué)生認(rèn)識(shí)的差異設(shè)定概念教學(xué)的目標(biāo)。在教學(xué)實(shí)施中，應(yīng)當(dāng)依據(jù)內(nèi)容和目標(biāo)，以學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)為認(rèn)知起點(diǎn)，設(shè)計(jì)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題、主動(dòng)探究，進(jìn)而自主“發(fā)現(xiàn)”并建構(gòu)人類(lèi)已有的認(rèn)識(shí)成果。

從無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的歷史看，在早期，人們認(rèn)為宇宙萬(wàn)物都可以用兩整數(shù)之比（即有理數(shù)）來(lái)解釋。也就是說(shuō)，給定任意兩條線段，必存在第三條線段（或許很短），它可以整數(shù)次度量完給定的兩條線段，即任意兩條線段可公度。在這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上，有理數(shù)顯得非?！巴昝馈?，那為什么會(huì)引入無(wú)理數(shù)呢？關(guān)鍵是人們發(fā)現(xiàn)了不可公度量的存在。因此，讓學(xué)生典型而簡(jiǎn)約地重演無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，感受不可公度量的存在，他們才能切身體會(huì)到無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)的必要性。

根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的水平、經(jīng)驗(yàn)以及發(fā)展需要，可以確定學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)為判別兩條線段可公度，能通過(guò)拼圖求正方形的對(duì)角線長(zhǎng)。進(jìn)而設(shè)置下列問(wèn)題情境：（1）將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，可以拼成一個(gè)大正方形，求大正方形的邊長(zhǎng);（2）能否找到第三條線段，使其能以整數(shù)次量完大正方形的邊長(zhǎng)[2]和小正方形的邊長(zhǎng)1。[3]教師通過(guò)這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，促使學(xué)生能夠走進(jìn)歷史，感受認(rèn)知沖突，進(jìn)而提出無(wú)理數(shù)概念。

2.聚焦問(wèn)題，展示求解。

知識(shí)僵化變成教條，其實(shí)不是知識(shí)本身的錯(cuò)誤，而是人們遺忘了知識(shí)創(chuàng)生背后的問(wèn)題。問(wèn)題具有指向性和邀請(qǐng)性的特點(diǎn)，問(wèn)題的指向性可以聚焦學(xué)習(xí)者的思維，使目標(biāo)物凸顯在學(xué)習(xí)者的眼前，否則學(xué)習(xí)者的思維就會(huì)因缺乏對(duì)象而無(wú)從下手、一無(wú)所獲;而問(wèn)題的邀請(qǐng)性則代表問(wèn)題期盼學(xué)習(xí)者的回答，否則“化知為識(shí)”“轉(zhuǎn)識(shí)成智”就喪失了內(nèi)在的動(dòng)力和支撐。如果說(shuō)聚焦問(wèn)題是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的支點(diǎn)，那么展示問(wèn)題求解則是獲得數(shù)學(xué)概念的重要路徑。

古希臘之后的兩千多年來(lái)，人們圍繞“無(wú)理數(shù)是不是數(shù)”這個(gè)問(wèn)題，一直進(jìn)行著各種爭(zhēng)論，直到19世紀(jì)才由戴德金、柯西、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家構(gòu)造嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，消除了人們對(duì)無(wú)理數(shù)的神秘感。中學(xué)階段不便涉及實(shí)數(shù)理論，只要將其作為已經(jīng)建設(shè)好的平臺(tái)，放心去使用就行了。[4]在中學(xué)里，無(wú)理數(shù)有兩種不同方式的定義，一是不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，一是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。兩種定義是人類(lèi)認(rèn)識(shí)不同階段的產(chǎn)物，其對(duì)學(xué)生的教育意義不同，前者符合無(wú)理數(shù)的緣起，比后者更適合作為認(rèn)知的固著點(diǎn)，而后者形象且具體，學(xué)生更容易感知。教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)聚焦問(wèn)題，簡(jiǎn)約地模擬出人類(lèi)認(rèn)知無(wú)理數(shù)概念的過(guò)程。

基于學(xué)生的心理認(rèn)知，將“無(wú)理數(shù)是不是數(shù)”這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步教學(xué)化，聚焦以下三個(gè)問(wèn)題：（1）[2]究竟有多大？（2）是否真的存在既無(wú)限不能窮舉，又無(wú)規(guī)則不循環(huán)的小數(shù)？（即無(wú)理數(shù)的存在性問(wèn)題）（3）為什么[2]是無(wú)理數(shù)？教學(xué)時(shí)，采用“十分法”逼近和計(jì)算機(jī)結(jié)果演示兩種手段，讓學(xué)生感受[2]的結(jié)果可以表示成小數(shù)，它是沒(méi)完沒(méi)了，又不循環(huán)的。但畢竟探索和機(jī)器演示的結(jié)果是有限的，那這樣無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)真實(shí)存在嗎？此時(shí)，“你能否構(gòu)造一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)？”的問(wèn)題順時(shí)而出，學(xué)生通過(guò)構(gòu)造0.10100100010000…（相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）便證明了無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的存在，進(jìn)而引出無(wú)理數(shù)的定義。而[2]是無(wú)理數(shù)的結(jié)論不是靠猜想，而是靠嚴(yán)格的邏輯證明得到，進(jìn)而展示古人的求解方法，即用反證法證明[2]是無(wú)理數(shù)。

3.參悟知識(shí)，躍遷教學(xué)。

盡管一些教師也是基于問(wèn)題，并在求解中演繹數(shù)學(xué)的概念，卻很難真正做到“轉(zhuǎn)識(shí)成智”，其原因就在于缺乏對(duì)知識(shí)的參悟，局限于事實(shí)性知識(shí)的“記中學(xué)”，未能觸及概念所蘊(yùn)含的邏輯形式和意義層面，從而參悟不到方法性和價(jià)值性的知識(shí)。在“轉(zhuǎn)回去”的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)增加學(xué)生“做”和“悟”的機(jī)會(huì)，提升概念教學(xué)的層級(jí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的躍遷，從而彰顯出知識(shí)形成中人的思考、思維、方法、情感與意志的作用，呈現(xiàn)概念教學(xué)新的景象。

教學(xué)時(shí)，學(xué)生不僅要了解無(wú)理數(shù)的概念（課程標(biāo)準(zhǔn)的要求），而且要簡(jiǎn)要地經(jīng)歷無(wú)理數(shù)的“發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，更重要的是感受到西帕蘇斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)是人類(lèi)理性思維的勝利。另外，不可公度量的發(fā)現(xiàn)本身就是一個(gè)傳奇，這是極好的教學(xué)素材。顯然，要想真正“轉(zhuǎn)識(shí)成智”，教師必須走出狹隘的教學(xué)觀，而把教學(xué)設(shè)定于“師生生命活動(dòng)”的視域中，循著人類(lèi)的理性精神，學(xué)生可以人為地“造出”無(wú)理數(shù)。而進(jìn)一步論證[2]是無(wú)理數(shù)的反證法也可以變得易于學(xué)生理解，因?yàn)樵S多場(chǎng)合都用到反證法，如蘇軾的《琴詩(shī)》便是極好的例證，“若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽(tīng)？”由此可見(jiàn)，人文的論辯和數(shù)學(xué)的證明，都需要遵循邏輯規(guī)則。在意境上，古詩(shī)和數(shù)學(xué)可以相通，其背后的思維價(jià)值極高。

三、“兩次倒轉(zhuǎn)”，圓融知識(shí)與智慧

在“兩次倒轉(zhuǎn)”（先“倒過(guò)來(lái)”，再“轉(zhuǎn)回去”）的概念教學(xué)中，教師、學(xué)生和知識(shí)得以高度的統(tǒng)一，教師的教引發(fā)著學(xué)生高質(zhì)量、有意義的學(xué)，學(xué)生與知識(shí)相互交融，構(gòu)成全新的學(xué)習(xí)主體與知識(shí)對(duì)象的關(guān)系，即“對(duì)象對(duì)主體的意義不在于它或他是可以認(rèn)識(shí)的物，而在于在對(duì)象上凝聚了主體的客觀化了的生活和精神”[5]?？梢哉f(shuō)“兩次倒轉(zhuǎn)”融合了主體與對(duì)象，圓融（圓者周遍之義，融者融通融和之義）了知識(shí)與智慧，從而積淀為“個(gè)人知識(shí)”，化知識(shí)為德性。

1.“兩次倒轉(zhuǎn)”相互依存。

首先，“倒過(guò)來(lái)”的新知識(shí)是學(xué)習(xí)的目標(biāo)和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。其次，“轉(zhuǎn)回去”重演數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)生過(guò)程，揭示出凝聚在歷史長(zhǎng)河中的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)生知識(shí)背后的數(shù)學(xué)學(xué)科思維、方法和價(jià)值，喚起學(xué)生進(jìn)一步達(dá)成高階目標(biāo)的心智，讓學(xué)生走進(jìn)知識(shí)。最后，“倒過(guò)來(lái)”為“轉(zhuǎn)過(guò)去”提供了新的探討點(diǎn)。如嘗試解決“用第三條線段整數(shù)次度量完長(zhǎng)為[2]的線段和長(zhǎng)為1的線段”這一問(wèn)題后，讓學(xué)生閱讀材料“正五邊形、不可公度及無(wú)理數(shù)”，相當(dāng)于再次經(jīng)歷人類(lèi)理性思維的勝利，進(jìn)一步生發(fā)智慧。

2.“兩次倒轉(zhuǎn)”積淀知識(shí)。

在“兩次倒轉(zhuǎn)”的概念教學(xué)中，人類(lèi)的認(rèn)識(shí)成果“倒過(guò)來(lái)”成為學(xué)生的認(rèn)識(shí)起點(diǎn)，而后用“轉(zhuǎn)回去”的方式，讓概念基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，成于“歷史相似性”的學(xué)生艱苦探究。學(xué)生獲得事實(shí)性知識(shí)的同時(shí)，參悟概念蘊(yùn)涵的邏輯形式與意義，在持續(xù)的反思中建構(gòu)“個(gè)人知識(shí)”。無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷無(wú)理數(shù)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，感受一個(gè)概念生成的艱難曲折，明晰一絲不茍的純粹理性指引著無(wú)理數(shù)的“從無(wú)到有”，從而學(xué)生會(huì)被這種精神所折服，自然地徜徉在數(shù)學(xué)的歷史長(zhǎng)河之中，“再創(chuàng)造”地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，積淀“個(gè)人知識(shí)”，進(jìn)而“轉(zhuǎn)識(shí)成智”。

3.“兩次倒轉(zhuǎn)”涵養(yǎng)德性。

在“兩次倒轉(zhuǎn)”的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生在教師的幫助下將靜態(tài)的知識(shí)（人類(lèi)認(rèn)識(shí)成果）轉(zhuǎn)化為自身的本質(zhì)力量，也在自己的心里種下能夠承擔(dān)未來(lái)社會(huì)歷史實(shí)踐重任的責(zé)任心、價(jià)值觀，發(fā)展出能夠承擔(dān)未來(lái)社會(huì)歷史實(shí)踐重?fù)?dān)的能力、情懷與品格。[1]20黑格爾認(rèn)為，一個(gè)人做了這樣或那樣一件合乎倫理的事，還不能說(shuō)他是有道德，只有當(dāng)這種行為成為他性格中固定要素時(shí)，才可以說(shuō)他是有德的。教學(xué)就是要完成這個(gè)使命，使它的知識(shí)化為學(xué)生的智慧，使這種智慧內(nèi)化為他們的德性。

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