基于B樣條曲線的刀具刃口形貌分析*

趙雪峰，秦 浩，楊 勇，李 輝

(貴州大學(xué)機械工程學(xué)院，貴陽 550025)

0 引言

刀具在如今零部件的切削加工中具有至關(guān)重要的作用，作為加工的基礎(chǔ)部件，其性能好壞對被加工件的表面質(zhì)量具有重要的影響，而鈍化則是現(xiàn)如今提高刀具刃口質(zhì)量常用的方法之一。在刀具的鈍化研究中，刃口的形貌往往是研究的核心。一些學(xué)者對此進行了研究，王海生等[1]通過給定半徑的圓對刃口進行擬合，但這就假定了連接前刀面和后刀面的輪廓是一個圓弧形狀，但實際上這是不一定的，切削刃的刃口形貌往往是非對稱的。對此，Denkena B等[2]提出用前/后刀面刃口的線性延伸交點來表示虛擬刀具尖端，以獲得刃口的幾何形狀。而Rodriguez CJC[3]則根據(jù)邊緣輪廓與切削厚度h的交點來定義過渡點，并通過六次多項式近似了邊緣輪廓，但是由于振動效應(yīng)，邊緣輪廓與如此高階的插值多項式之間的誤差可能會很高，并產(chǎn)生龍格現(xiàn)象[4]。Wyen B等[5]提出通過構(gòu)造一個圓弧與前/后刀面相切，并通過最小二乘法擬合來獲取兩個過渡點，以此來表征切削刃口的形貌。

可見，對切削刃刃口的識別在鈍化研究中至關(guān)重要，基于以上學(xué)者的研究，本文采用三階B 樣條曲線，鑒于前/后刀面和構(gòu)成前后刀面的邊緣輪廓在本質(zhì)上是分段的，故使用三條線段對刃口進行擬合，以此來建立刃口模型，并通過相應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)對擬合后的曲線進行了驗證。

1 切削刃的建模

1.1 B樣條曲線定義

有n+1個控制點 (i=0,1,…,n)和一個節(jié)點向量U= {u0,u1,…,um}，依次連接這些控制點可以構(gòu)成一個特征多邊形，k+1階(k次)B樣條曲線的表達式為：

(1)

其中，2≤k≤n+1，且必須滿足m=n+k+1。Ni,k(u)是k次B樣條基函數(shù)，也叫調(diào)和函數(shù)，或者k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其遞歸公式(這個公式叫Cox-de Boor)[6]的定義如式(2)所示。

(2)

1.2 刃口特征

由于刀具邊緣輪廓的微觀幾何結(jié)構(gòu)包括前刀面、后刀面、切削刃，因此，確定刃口與刀具面之間的過渡點是至關(guān)重要的，如圖1所示，在經(jīng)過放大的刃口部分，可以得到三組間距不同的交點，且具體數(shù)值取決于過渡點的位置。由于刃口具有的不確定性，故而需要一種客觀、獨特的方法將刃口從前/后刀面區(qū)分并識別出來。

圖1 切削刃的邊緣半徑

由于連接點具備幾何連續(xù)性，而B樣條曲線則最適合于此，鑒于第一段和第三段曲線對應(yīng)的是后刀面和前刀面，并被約束為線性，且應(yīng)符合刀具的形狀，故采用一次多項式則足以進行描述，而中間的切削刃輪廓則是一條不規(guī)則曲線，在曲率方向上通常沒有任何變化，因此可以采用三階B樣條曲線對它進行描繪[7]。

1.3 建立B樣條曲線

對于一個三階(二次)B樣條曲線，它具有三個多項式部分，分別對應(yīng)于前刀面/后刀面和切削刃，所以結(jié)向量應(yīng)具有三個跨度，可設(shè)節(jié)點矢量為均勻結(jié)點u=(0，0，0，u1，u2，1，1，1)(見圖2)，設(shè)5個離散點為:P0、P1、P2、P3、P4，其坐標分別為:(x0，y0)、(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)、(x4，y4)，然后以點序列P0、P1、P2、P3、P4為控制點繪制三階B樣條曲線[8-9]。

圖2 利用三階B樣條曲線進行刃口邊緣識別

當(dāng)確定了階次p，節(jié)點u和控制點(xi，yi)，i∈[0,4]后，便可確定曲線P(u)，刀具邊緣的輪廓點則可以通過三維光學(xué)測量儀(見1.4節(jié))獲得。

本文使用的是三階B樣條曲線擬合，k=2，n=5。迭代公式如式3所示。

(3)

式中,Bk為分段曲線的特征多邊形頂點：B0，B1，B2。對于第i段曲線的Bk即為：Pi，Pi+1，Pi+2連續(xù)的3個頂點，結(jié)點采用固定結(jié)B樣條逼近，u1，u2則為均勻間隔結(jié)點，取u1=1/3，u2=2/3，進行曲線擬合。

1.4 獲取實驗數(shù)據(jù)

刀具刃口的測量采用的是三維光學(xué)刀具測量儀(IF-EdgeMaster)，如圖3所示，三維光學(xué)刀具測量儀[10]是專門針對刀具檢測而研發(fā)的一款全新產(chǎn)品，操作原理是國際的自動變焦(Focus-Variation)技術(shù)，該技術(shù)是光學(xué)系統(tǒng)的小度景深和垂直掃描相結(jié)合，儀器的垂直掃描精度可以達到20 nm。

圖3 三維光學(xué)刀具測量儀

實驗以刀具鈍化為主題，采用立式鈍化機對刀具進行刃口鈍化，圖4表示銑刀周刃的刃口形貌，其中P0為后刀面上的點，P1,P2,P3是切削刃口上的三點，而P4則為前刀面上的點，顯然，P1，P3為刃口與后/前刀面上的交點，在這里，以虛擬刀尖為原點建立了直角坐標系，如圖4所示。

圖4 刃口簡圖

分別采用兩把 ZX04010×10×25×75 W41的銑刀，通過三維光學(xué)刀具測量儀進行刃口測量，并對其兩個刃口分別進行次多次測量，并取平均值，測量結(jié)果如表1所示。然后，再將兩把銑刀放入立式旋轉(zhuǎn)鈍化機，銑刀通過行星運動并在磨粒的作用下，對刃口進行沖擊磨削。立式旋轉(zhuǎn)鈍化機鈍化時間可設(shè)范圍為15～30 min，轉(zhuǎn)速固定為800 r/min，實驗方案如表2所示。鈍化后，取出兩把刀具，并通過三維光學(xué)刀具測量儀進行刃口形貌觀測，并測量出所需要的參數(shù)，如表3所示。

表1 鈍化前的刃口測量參數(shù)

表2 實驗方案

表3 鈍化后的刃口測量參數(shù)

在獲得了銑刀端刃刃口形貌數(shù)據(jù)之后，便可以進行控制點P的計算，5個控制點分別為P0，P1,P2,P3,P4,其中Sα為虛擬刀尖到交點P1(這里的交點為前刀面與刃口的交點)的間距，Sβ為虛擬刀尖到后刀面的交點P2的間距，Δr為虛擬刀尖到刃口頂點的間距，β則是前后刀面的夾角(如圖4所示)，在這里通過以虛擬刀尖為坐標原點建立直角坐標系，再由三角函數(shù)關(guān)系可得到如下公式：

(4)

(5)

(6)

(7)

P0(x)=P1(x)-y0(y0∈N*)

(8)

(9)

P4(x)=P3(x)+y0(y0∈N*)

(10)

(11)

P2=Δr×cos(φ)

(12)

通過式(1)～式(10)，便可以計算P0,P1,P2,P3,P4的坐標(如表4、表5所示)。

表4 鈍化前的控制點坐標

表5 鈍化后的控制點坐標

由式(1)、式(3)可知，在得到了節(jié)點u，控制點P之后，通過迭代運算，得到了矩陣式(13)：

(13)

2 仿真結(jié)果分析

通過MATLAB仿真，得到了如圖5～圖8所示的結(jié)果，在圖5中，比較了001號刀具在鈍化前后兩個不同刃口的變化，可以清晰的看到，在立式鈍化機的作用下，銑刀端面刃口發(fā)生了一定的變化，相隔三點取三組數(shù)據(jù)C、D、E(如圖5)，得到了在鈍化20 min時的磨損量分別為0.331 μm、0.478 μm、0.433 μm，平均值為0.413 μm。鈍化磨損值變化范圍在[0，0.478](單位：μm)顯而易見，001號刀具鈍化磨損主要發(fā)生在切削刃上，前/后刀面磨損量較小。

圖6中，由于002號銑刀刃口鈍化磨損量范圍較廣，故等間隔取C、D、E、F四組數(shù)據(jù)，在鈍化25 min時的磨損量分別為1.825 μm、1.763 μm、1.750 μm、1.571 μm，鈍化磨損取值范圍為[0,1.825](單位：μm)，最大值磨損量為1.825 μm，其中平均值為1.727 μm，顯而易見，在鈍化時間相差5 min的情況下，002號刀具磨損范圍較大，且在前/后刀面的磨損量比001號大。

同樣的，針對003號刀具發(fā)現(xiàn)刃口形貌變化不大，且磨損范圍集中在后刀面上，測量A,B(圖7)兩點得間距為0.15 μm，在鈍化15 min時的磨損值變化范圍在[0,0.15](單位：μm)之間，由于003號刀具的鈍化時間較短，與其它組刀具鈍化磨損值差距達到了3～32倍，差距過大，15 min的鈍化時間顯然不能滿足鈍化要求。

對004號銑刀進行測量，等間距取C、D 、E 、F四組數(shù)據(jù)(圖8)，鈍化時間在30 min時的磨損量分別達到了2.130 μm、3.925 μm、4.094 μm、2.897 μm，鈍化磨損范圍為[0,4.908](單位：μm)，最大值磨損量為4.908 μm，其中平均值為3.262 μm。

圖5 001號銑刀刃口鈍化前后對比

圖6 002號銑刀刃口鈍化前后對比

圖7 003號銑刀端面刃口鈍化前后對比

圖8 004號銑刀刃口鈍化前后對比

通過對不同鈍化時間的4組刀具平均鈍化磨損值進行分析，發(fā)現(xiàn)通過B樣條曲線，可以清晰的知曉本次實驗刀具的平均鈍化磨損量的最小值為0.15 μm，最大值為3.262 μm，平均值為1.388 μm(如圖9所示)。顯而易見，鈍化時間對鈍化量的磨損量呈直線上升的趨勢，且鈍化時間對刀具鈍化磨損值的影響較大，證實了B樣條曲線對刃口形貌的繪制是準確，清晰的。

圖9 不同時間的刃口平均鈍化磨損量

3 結(jié)論與展望

基于B樣條曲線來分析和預(yù)測切削刃口的形貌輪廓，能夠清晰的獲得切削刃的鈍化磨損量，并最大程度地減少殘留誤差，使得它在無法進行大量精確實驗的情況下，具有良好好的可行性。主要結(jié)論如下：

(1)給出了銑刀刃口輪廓的B樣條數(shù)學(xué)模型建立方法，并結(jié)合實驗進行了仿真驗證。

(2)針對4組銑刀刃口輪廓的實驗觀測數(shù)據(jù)，進行了建模分析，發(fā)現(xiàn)鈍化時間對磨損量的影響重大， 且立式鈍化機的鈍化時間至少需要≥15 min。

(3)針對002號銑刀的鈍化時間過短，使得鈍化磨損量過小，低于閾值，故此模型能夠?qū)θ锌诘拟g化研究提供可靠的數(shù)據(jù)觀測和預(yù)測。

本文的重點是提供B樣條曲線建模方法，對刀具刃口的變化進行預(yù)測，并通過改變鈍化時間驗證了模型結(jié)果的準確性，在后續(xù)的研究中，可基于B樣條曲線模型，通過改變更多的參數(shù)變量，更進一步的去驗證模型的可靠性。