大導(dǎo)程螺母滾道型面數(shù)值分析與驗(yàn)證*

邢永勝，歐 屹，梁 醫(yī)，王 凱

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副作為機(jī)械設(shè)備中最常用的關(guān)鍵元件，能夠?qū)崿F(xiàn)螺旋運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換，運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)且噪聲小，兼具可逆性好與效率高的優(yōu)點(diǎn)[1]。進(jìn)入21世紀(jì)后，滾珠絲杠副向著“速度”與“精度”兼顧的目標(biāo)前進(jìn)[2]，而增大導(dǎo)程是實(shí)現(xiàn)高速化的主要途徑。而大導(dǎo)程螺母內(nèi)滾道的標(biāo)準(zhǔn)磨削加工過(guò)程中出現(xiàn)的螺母體與螺桿碰撞現(xiàn)象限制了其發(fā)展，因此在原有設(shè)備下，采取螺桿傾角小于滾道螺旋升角的干涉磨削方式進(jìn)行內(nèi)滾道加工[3]。

對(duì)于干涉磨削加工過(guò)程，Harada H指出，該方法中螺母體內(nèi)表面與套筒軸的碰撞限制了螺母體長(zhǎng)度，螺母滾道只能夠獲得部分完美的哥特式圓弧，砂輪與滾道的過(guò)度磨削現(xiàn)象導(dǎo)致剩余部分與理論型面產(chǎn)生較大偏離，卻并未分析過(guò)度磨削帶來(lái)的影響[4-5]。 Hegedus G對(duì)圓錐螺桿在螺母體內(nèi)的空間位置進(jìn)行了分析，依據(jù)套筒與螺母體的最小距離建立數(shù)學(xué)模型，分析了安全距離下不發(fā)生碰撞的螺桿長(zhǎng)度[6]。范東風(fēng)對(duì)比出了不同加工參數(shù)下，干涉加工獲得砂輪型面的差異，發(fā)現(xiàn)傾斜角度越大砂輪變得越尖銳，卻沒(méi)有分析與實(shí)際磨削量的聯(lián)系[7]。以上研究對(duì)磨桿碰撞問(wèn)題進(jìn)行了分析，未能獲得完整滾道型面。對(duì)于磨削過(guò)度問(wèn)題，臺(tái)灣學(xué)者發(fā)現(xiàn)在特定情況下，根據(jù)嚙合原理計(jì)算的砂輪，不能加工出需要的螺紋型面，為此采用新的幾何方法計(jì)算砂輪廓形，同時(shí)調(diào)整砂輪傾角，來(lái)避免螺紋加工過(guò)程中的下切問(wèn)題[8]。陶麗佳將磨削過(guò)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為砂輪與理論螺桿轉(zhuǎn)子的干涉問(wèn)題，進(jìn)行了理論分析，利用ADAMS進(jìn)行干涉校驗(yàn)來(lái)證明螺桿鉆子磨削過(guò)程未發(fā)生過(guò)度磨削現(xiàn)象[9]。而實(shí)際加工過(guò)程中，過(guò)度磨削問(wèn)題并不需要完全避免，保證良好的工作型面下，小區(qū)域的過(guò)磨削區(qū)域是可以接受的。

本文對(duì)干涉磨削加工下大導(dǎo)程螺母滾道型面，考慮存在較小過(guò)度磨削區(qū)域?qū)δハ饔嗔康挠绊?，提出用?dòng)態(tài)法平面截取砂輪廓形計(jì)算最終滾道型面。建立誤差模型表征磨削余量增量，設(shè)計(jì)臨界角指標(biāo)表征最終滾道是否符合設(shè)計(jì)要求，并分析了砂輪直徑、設(shè)計(jì)接觸角與磨削余量增量、臨界角的關(guān)系。

1 螺母內(nèi)滾道磨削分析

1.1 螺母內(nèi)滾道建模

螺母滾道法向截形為哥特式雙圓弧，根據(jù)已有的建模方法[4]，在母線坐標(biāo)系O1-x1y1z1中，螺母滾道母線表達(dá)式：

(1)

其中，R表示滾道半徑值，μ為法向截形相位角參變量，μ1=cos-1((R1-rm+e1)/R)，R1為大徑的二分之一，e1,e2為偏心距。建立單側(cè)螺母滾道表達(dá)式：

(2)

式中，θ為參變量，表示母線從起始繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度；rm表示公稱(chēng)半徑，λ表示螺旋升角；p表示螺旋參數(shù)。內(nèi)滾道干涉磨削與標(biāo)準(zhǔn)磨削圖如圖1所示。

圖1 內(nèi)滾道干涉磨削與標(biāo)準(zhǔn)磨削

建立砂輪與螺母的關(guān)系坐標(biāo)系，如圖2所示。其中O-xyz是螺母坐標(biāo)系，z軸沿軸線方向；O1-x1y1z1是螺母滾道法向型面即母線坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中x1軸與x軸重合，原點(diǎn)O1與O點(diǎn)的距離為rm(公稱(chēng)半徑)，y軸逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)λ(螺旋升角)得到y(tǒng)1軸；O′-XYZ是砂輪坐標(biāo)系，Z軸沿砂輪軸線方向，X軸與x軸重合，原點(diǎn)O′與O點(diǎn)的距離為a(中心距)，y軸逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)Σ(砂輪偏轉(zhuǎn)傾角)得到Y(jié)軸。

圖2 螺母滾道與砂輪坐標(biāo)關(guān)系

則螺母螺旋面在砂輪坐標(biāo)系O′-XYZ中的表達(dá)式為：

(3)

1.2 螺母滾道成形機(jī)理

根據(jù)一般的螺旋成形機(jī)理，根據(jù)坐標(biāo)變換和嚙合原理，已知螺母滾道形狀或砂輪廓形其中之一，即可求解得到另一個(gè)。

如已知刀具廓型數(shù)據(jù)(Zt,Rt)在自身坐標(biāo)系O′-XYZ中的表達(dá)式：

Xtool=Rtcosφ,Ytool=Rtsinφ,Ztool=Zt

(4)

式中，φ是參變量，它是半徑線R與平XO′Z面的夾角。根據(jù)接觸線條件式[7]方程(5)，可以得到磨削接觸點(diǎn)。將接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)換到理論滾道型面的任一法平面下，可以得到滾道型面法向形狀。

f(Rt,Zt,φ)=nx(-RtsinφcosΣ+ZtsinΣ)+
ny(Rtcosφ+a)+pnz=0

(5)

仿真發(fā)現(xiàn)，基于式(5)的嚙合原理計(jì)算不能得到滾道最終型面。為此重新思考螺母滾道成形機(jī)理，為了簡(jiǎn)化加工過(guò)程，假設(shè)螺母與砂輪處于加工接觸狀態(tài)，將加工過(guò)程離散為多個(gè)絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，每個(gè)狀態(tài)不同之處在于砂輪與螺母滾道的相對(duì)位置。每一個(gè)絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下砂輪都會(huì)對(duì)滾道進(jìn)行磨削，此時(shí)滾道型面可認(rèn)為是所有絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下砂輪磨削產(chǎn)生的滾道型面的綜合。

理論上，理論滾道型面與廓形數(shù)據(jù)構(gòu)成的砂輪在任何絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下應(yīng)該是處于恰好接觸狀態(tài)。然而，將理論螺母滾道與砂輪處于加工接觸狀態(tài)且絕對(duì)靜止，不考慮其他誤差，實(shí)際滾道型面相比于理論滾道型面產(chǎn)生誤差時(shí)，可認(rèn)為是螺母理論滾道部分區(qū)域被砂輪廓形侵入造成的過(guò)度磨削現(xiàn)象。

2 滾道加工型面分析

2.1 動(dòng)態(tài)法平面截取數(shù)值方法計(jì)算滾道型面

動(dòng)態(tài)法平面截取法的中心思想與上文中簡(jiǎn)化的螺母滾道成形過(guò)程一致，即滾道型面可認(rèn)為是所有絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下砂輪磨削產(chǎn)生的滾道型面的綜合。換言之，工件某處的滾道型面可以認(rèn)為是多個(gè)絕對(duì)靜止接觸狀態(tài)下砂輪對(duì)該處所有作用的疊加。對(duì)滾道型面誤差判定的主要參照是理論滾道型面，因此建立理論滾道型面與砂輪廓形的加工接觸狀態(tài)圖。

圖3是動(dòng)態(tài)法平面示意，圖3a是動(dòng)態(tài)法平面原理的三維空間表述，圖3b是某法平面截取的理論滾道與砂輪型面。求參數(shù)為θ的理論滾道法向平面與砂輪的交點(diǎn)，而后利用坐標(biāo)變換將交點(diǎn)轉(zhuǎn)換到理論滾道法向平面坐標(biāo)系O2-x2y2z2下。參數(shù)為θ的理論滾道法向平面本質(zhì)上為圖1中O1-x1y1z1螺母滾道母線坐標(biāo)系沿著鋼球中心螺旋線旋轉(zhuǎn)角度θ得到的，即O1-x1y1z1坐標(biāo)系中原點(diǎn)就是理論鋼球中心螺旋線上一點(diǎn)。由此可知，理論滾道與任何法平面的相交曲線皆為哥特式雙圓弧，與θ無(wú)關(guān)。

(a) 動(dòng)態(tài)法平面 (b) 某法平面截取結(jié)果圖3 動(dòng)態(tài)法平面法示意圖

采用空間平面的點(diǎn)法式方程建立工件坐標(biāo)系下法平面。通過(guò)定點(diǎn)M(x0,y0,z0)，其法向量為n={A,B,C}的平面方程：

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

(6)

定點(diǎn)M采用螺旋線上鋼球中心點(diǎn)，與滾道建模時(shí)坐標(biāo)系O2-x2y2z2類(lèi)似，鋼球中心點(diǎn)的軌跡方程為：

(7)

任一點(diǎn)的切向量為：

(8)

該切向量就是過(guò)M點(diǎn)滾道法向平面的法向量n={A,B,C}。將式(7)、式(8)帶入式(6)，得到法向平面的方程式(9)：

f(x,y,z,θ)=x0′(x-x0)+y0′(y-y0)+z0′(z-z0)

(9)

聯(lián)列法向平面的方程(9)與工件坐標(biāo)系下砂輪表達(dá)式，人為設(shè)定參數(shù)θ步長(zhǎng)，然后將砂輪廓形數(shù)據(jù)代入，即可得到工件坐標(biāo)系中一系列參數(shù)θi的法平面與砂輪的交點(diǎn)。根據(jù)坐標(biāo)變換將法平面與砂輪的交點(diǎn)分別變換到相同參數(shù)θ的動(dòng)態(tài)法平面坐標(biāo)系O2-x2y2z2中，得到各自法平面下的離散點(diǎn)沿y2軸方向的分量皆為0，與螺母滾道母線坐標(biāo)系O1-x1y1z1下母線表達(dá)式(1)對(duì)應(yīng)。

2.2 數(shù)據(jù)處理與誤差模型建立

在母線坐標(biāo)系O1-x1y1z1中，將所有計(jì)算結(jié)果與滾道母線分別表示如圖4所示。采用相位區(qū)間篩選方法獲得第一象限內(nèi)邊緣數(shù)據(jù)作為滾道形狀，如圖5所示。

圖4 動(dòng)態(tài)法平面截取到的砂輪廓形包絡(luò)曲線簇 圖5 相位區(qū)間篩選數(shù)據(jù)原理

改進(jìn)誤差模型[8]，實(shí)際型面離散數(shù)據(jù)集的一階導(dǎo)數(shù)采用差分法后精度高且易求，計(jì)算出任意點(diǎn)的法線與理論曲線的交點(diǎn)，然后求二者距離作為廓形誤差。如圖6所示，圓弧部分代表理想滾道型面，它的函數(shù)方程式已知的。B(xi1,zi1)、C(xi2,zi2)、D(xi3,zi3)三點(diǎn)為實(shí)際型面數(shù)據(jù)，根據(jù)C、D點(diǎn)可以求得B點(diǎn)切線斜率k，再求得B點(diǎn)法線斜率，聯(lián)立法線表達(dá)式與圓弧方程求得交點(diǎn)B′(xi4,zi4)，則BB′點(diǎn)距離可以求得。

過(guò)B點(diǎn)的法線直線可表示為：

(10)

故型面誤差為：

(11)

圖6 誤差模型示意

同時(shí)引入整體誤差Ε作為評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(12)

式中，N為實(shí)際型面上過(guò)度磨削區(qū)域離散點(diǎn)個(gè)數(shù)。整體誤差Ε用于表征磨削余量增量，增量大會(huì)加速砂輪磨損，單工序中砂輪修整次數(shù)增多。

臨界角指標(biāo)指計(jì)算參數(shù)接觸角α應(yīng)該小于完美哥特式弧形的臨界角度αc，并留有一定安全值，如圖7所示。故干涉加工下螺母滾道過(guò)度磨削區(qū)域采用整體誤差E評(píng)價(jià)，在加工過(guò)程中比非過(guò)度磨削區(qū)域需要更多的加工余量，完美哥特式弧形區(qū)域的大小采用臨界角度αc評(píng)價(jià)，決定最終滾道是否合格。

圖7 臨界角示意

2.3 滾道干涉原理分析

大導(dǎo)程螺母滾道的過(guò)度磨削現(xiàn)象與砂輪的廓形有關(guān)，在接觸狀態(tài)下砂輪將侵入理論螺母滾道。根據(jù)成形機(jī)理[9]，在加工過(guò)程中破壞螺旋面形成線，滾道會(huì)產(chǎn)生型面偏差。因此將螺母理論滾道置于砂輪坐標(biāo)系式(3)，用平行于XOY平面的面去截取滾道，得到任一砂輪廓形下與滾道相交曲線，查看該平面中砂輪半徑Ri與相交曲線的位置關(guān)系。

圖8a為平行于坐標(biāo)系XOY且平面參數(shù)為Z的平面與螺母理論滾道型面的相交情況，根據(jù)式(4)紅色虛線為該平面下的砂輪圓，由圖8b可以看出二者可能存在兩個(gè)相交區(qū)域，曲線之間相切相交區(qū)域，和滾道邊緣與砂輪圓的相交區(qū)域。而第二個(gè)相交區(qū)域就是造成滾道過(guò)度磨削的主要原因，從數(shù)學(xué)角度上來(lái)解釋?zhuān)褪窃撓嘟磺€上存在到砂輪軸距離小于砂輪圓的部分。因此砂輪直徑會(huì)影響到滾道弧形的臨界角度αc，即影響過(guò)度磨削程度。

(a) 任一砂輪圓與相交曲線的空間示意 (b) 砂輪圓與相交曲線的二維示意圖8 砂輪圓與相交曲線的關(guān)系

3 滾道型面仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

以某型號(hào)的螺母為例進(jìn)行仿真計(jì)算，參數(shù)如表1所示。

表1 某型號(hào)螺母參數(shù)

3.1 螺母滾道過(guò)度磨削程度與砂輪直徑的關(guān)系

由于螺桿傾角與砂輪直徑、螺母長(zhǎng)度存在一定的關(guān)系[5]，而螺母直徑需大于磨桿外徑，小于螺母內(nèi)徑，在此范圍內(nèi)設(shè)置對(duì)比試驗(yàn)研究過(guò)度磨削程度與砂輪直徑的關(guān)系。

預(yù)設(shè)參數(shù)分為兩部分，第一部分為三組螺桿傾角與砂輪直徑的較優(yōu)組合，第二部分為三組0°螺桿傾角與不同砂輪直徑分別組合。

表2 螺桿傾角、砂輪直徑對(duì)臨界角度、整體誤差影響

第一部分預(yù)設(shè)參數(shù)下，螺桿傾角與砂輪直徑同時(shí)發(fā)生變化，臨界角度αc增大，砂輪直徑總變化值為10 mm，臨界角從61°變?yōu)?7°(最大值)，整體誤差值E保持較小值，滾道過(guò)度磨削現(xiàn)象趨于消失。

第二部分預(yù)設(shè)參數(shù)下，單獨(dú)減小砂輪直徑也可以增大臨界角，砂輪直徑從35 mm變化到25 mm過(guò)程中，砂輪直徑總變化同樣為10 mm，臨界角增大幅度達(dá)20°左右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足設(shè)計(jì)要求，整體誤差從8 μm減小為3 μm，同樣表明過(guò)度磨削區(qū)域的大幅縮減。結(jié)合圖9可以看出，得到的滾道法向截形更接近理論值。

對(duì)于滾道磨削加工過(guò)程，較小的磨桿傾角意味著磨桿與螺母體發(fā)生碰撞干涉的幾率小，但實(shí)際磨削量增加導(dǎo)致磨削效率低。而較大的磨桿傾角實(shí)際磨削量小，砂輪磨削效率高，且不易磨損。

圖9 螺桿傾角0°下不同砂輪直徑磨削后滾道法向截形

3.2 螺母滾道過(guò)度磨削程度與設(shè)計(jì)接觸角的關(guān)系

合格螺母滾道的臨界角αc需要大于設(shè)計(jì)接觸角α，螺母設(shè)計(jì)接觸角一般小于絲杠接觸角3°左右[13]，可以減小空回程角。設(shè)計(jì)對(duì)比試驗(yàn)，螺桿傾角0°，砂輪直徑30 mm，改變?cè)O(shè)計(jì)接觸角α研究臨界角αc的變化。

如表3所示，等幅減小設(shè)計(jì)接觸角，臨界角以較小幅度增加，可認(rèn)為間接滿足了設(shè)計(jì)要求?？紤]到實(shí)際接觸角相對(duì)于設(shè)計(jì)值存在一定的上下浮動(dòng)，當(dāng)臨界角比實(shí)際接觸角微大時(shí)，認(rèn)為不滿足設(shè)計(jì)要求。

表3 接觸角對(duì)臨界角度影響

3.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

不同程度的過(guò)度磨削引起的磨削增量難以直接驗(yàn)證，卻可通過(guò)良好磨削工況下工序中砂輪修整次數(shù)間接表示?？紤]到操作可能導(dǎo)致的螺桿與螺母碰撞與實(shí)際修整次數(shù)本身存在彈性量，采用螺桿傾角0°，分別取直徑為35 mm與25 mm的砂輪進(jìn)行內(nèi)螺紋滾道磨削。如圖10所示，內(nèi)螺紋磨床型號(hào)為漢江SK7620A，磨削工藝為粗磨與精磨，進(jìn)給量為0.02 mm。

如表4所示，不同過(guò)度磨削程度會(huì)影響到砂輪修整次數(shù)。砂輪直徑從35 mm替換為25 mm，良好磨削工況下砂輪單次工序修整次數(shù)從5次變?yōu)?次，表明實(shí)際磨削量的減小與加工效率的提升。通過(guò)測(cè)量?jī)蓚€(gè)工件的實(shí)際臨界角，考慮測(cè)量誤差下實(shí)際臨界角均處于表2中的仿真誤差允許范圍內(nèi)。

表4 不同砂輪直徑對(duì)臨界角影響

圖10 7620A磨床干涉磨削螺母過(guò)程

4 結(jié)論

根據(jù)螺母滾道建模與砂輪聯(lián)合計(jì)算，得到螺母滾道干涉誤差模型，通過(guò)實(shí)例仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)大導(dǎo)程螺母滾道完整形狀可以通過(guò)滾道多個(gè)法向平面截取砂輪廓形得到，干涉加工容易發(fā)生滾道過(guò)度磨削現(xiàn)象，是由于某一砂輪圓平面與滾道的交線存在兩處相交區(qū)域。

(2)通過(guò)增大砂輪直徑可以增大加工滾道圓弧的臨界角，滿足滾道設(shè)計(jì)要求，但需與螺桿傾角匹配，保證磨削效率。改變?cè)O(shè)計(jì)接觸角，可以間接滿足接觸角設(shè)計(jì)要求。

(3)誤差模型中整體誤差E可表征滾道過(guò)度磨削引起的磨削余量增量，不同程度過(guò)度磨削現(xiàn)象引起的磨削增量變化可通過(guò)穩(wěn)定磨削工況下砂輪修整次數(shù)差異間接驗(yàn)證。