解構(gòu) 建構(gòu) 重構(gòu)
——《角的度量》教學(xué)與評(píng)析

執(zhí)教|曹志國(guó) 評(píng)析|劉曉萍

《角的度量》這節(jié)課，教學(xué)內(nèi)容并不復(fù)雜，如果教師站在測(cè)量教學(xué)的整體角度展開思考與設(shè)計(jì)，就可以把一節(jié)平常的概念教學(xué)課變成一節(jié)具有深度思維的探究課，教師用一環(huán)扣一環(huán)的精密設(shè)計(jì)展示學(xué)生思維的絢爛，讓學(xué)生經(jīng)歷一場(chǎng)關(guān)于量角器的“解構(gòu)、建構(gòu)與重構(gòu)”的智慧之旅。

【教學(xué)過(guò)程】

一、解構(gòu)——在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)中探尋本真樣態(tài)

1.情境引入，引發(fā)需求。

師：同學(xué)們，蘇州水上樂(lè)園是大家非常喜歡的地方。這是樂(lè)園里的滑滑梯（課件出示，圖略），你們認(rèn)為玩哪一個(gè)滑梯，下滑得速度更快呢？為什么？

生：左邊的下滑的速度更快，因?yàn)樗浮?/p>

師：你能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言再來(lái)說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：左邊的角比右邊的角度數(shù)更大。

師：左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達(dá)呢？同學(xué)們想一想，在以前的學(xué)習(xí)中，我們是如何精確地表示課桌的長(zhǎng)度和課桌的面積的？

生1：為了精確地表示課桌的長(zhǎng)度，我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度的度量單位“厘米”，然后再看課桌的長(zhǎng)邊包含多少個(gè)1 厘米。

生2：為了精確地表示課桌的面積，我們又學(xué)習(xí)了面積的度量單位“平方厘米”和“平方分米”，然后再看課桌的面包含多少個(gè)面積單位。

師：是的，那么角的度量單位又是什么？這個(gè)角中又包含多少個(gè)度量單位？我們今天一起來(lái)探究“角的度量”。

2.規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，精確刻畫。

師：（課件出示半圓形）這是個(gè)半圓，我們將它平均分成18 份，再把其中的一份平均分成10 小份，每一小份所對(duì)的角，就是1 度的角?！岸取笔墙堑挠?jì)量單位，1 度角記作“1°”。

（學(xué)生觀察1°角，在作業(yè)紙半圓圖上畫出1°的角，并說(shuō)說(shuō)感受）

（課件出示2°、5°、10°的角，學(xué)生先估一估每個(gè)角分別包含幾個(gè)1°，是多少度；之后再課件演示驗(yàn)證）

（課件出示20°、100°、180°的角，學(xué)生再說(shuō)說(shuō)分別包含多少個(gè)1°，是多少度）

師：一個(gè)角的度數(shù)是多少，就是看什么？

生：就是看這個(gè)角中包含多少個(gè)1°的角。

師：在圖上，你能找出多少個(gè)1°的角，這些角有什么共同的特點(diǎn)？

生：圖上有180 個(gè)1°的角，這些角大小相等，角的頂點(diǎn)都在同一個(gè)點(diǎn)上。

3.異中求同，凸顯本質(zhì)。

課件依次出示30°、90°、150°的角，其中90°的角有三個(gè)：分別為0°～90°、60°～150°、80°～170°。

師：你能說(shuō)出這些角的度數(shù)嗎？你是一度一度地去數(shù)的嗎？又是怎么看出來(lái)的？

生1：第一個(gè)角是30°，因?yàn)榻堑囊粭l邊指向刻度20，另一條邊指向刻度50，50-20=30，也就是這個(gè)角中包含了30 個(gè)1°的角。

生2：第二個(gè)角是90°，因?yàn)榻堑囊粭l邊指向刻度0，另一條邊指向刻度90，說(shuō)明有90 個(gè)1°的角，這個(gè)角是90°。

生3：第三個(gè)角一條邊指向刻度60，另一條邊指向刻度150，說(shuō)明也有90 個(gè)1°的角，這個(gè)角也是90°。

生4：第四個(gè)角一條邊指向刻度80，另一條邊指向刻度170，這個(gè)角還是90°。

師：這三個(gè)角有什么不同點(diǎn)，又有什么相同點(diǎn)？

生1：這三個(gè)角的開口方向不同，角的兩條邊所在的位置也不一樣。

生2：但是，這三個(gè)角的度數(shù)是相同的，都包含了90 個(gè)1°的角。

課件出示150°的角，指名學(xué)生讀出角的度數(shù)。

師：30°、90°、150°這三個(gè)角，哪個(gè)最大？哪個(gè)最小？

生：150°的角最大，30°的角最小。

師：是的，一個(gè)角包含的度量單位越多，它的度數(shù)就越大；包含的度量單位越少，它的度數(shù)就越小。

4.逐步演變，生成工具。

師：圖上有180 個(gè)1°的角，這幅圖給你的感覺怎樣？

生：密密麻麻，比較模糊，看不清楚了。

師：是的，如果把每一個(gè)1°的角的兩條邊都畫出來(lái)，圖上就會(huì)密密麻麻，反而看不清楚了?，F(xiàn)在，我們只在圓周上留下一些刻度線。

課件演示，逐漸形成單圈刻度量角器。

師：同學(xué)們，這就是角的度量工具——量角器。量角器上所有角的頂點(diǎn)叫做量角器的中心，0°所在的線叫做量角器的0 刻度線。

二、建構(gòu)——在多元度量中探析本質(zhì)內(nèi)涵

1.多元找角，抵達(dá)本質(zhì)。

（1）看一看。

師：在這個(gè)量角器上，你看到了什么？

生1：我看到了量角器的中心，量角器的0 刻度線。

生2：我看到了在量角器的周邊上有一圈刻度，從右邊開始依次是0°、10°、20°……一直到最左邊是180°。

師：我們還需要有一雙善于“透視”的眼睛，能夠發(fā)現(xiàn)量角器上很多的“隱藏”的邊和隱藏的角。

學(xué)生互相說(shuō)一說(shuō)自己在量角器上看到了什么，并組織全班交流。

（2）畫一畫。

師：你能在老師給你的紙質(zhì)量角器上找出一個(gè)70°的角，并把它畫出來(lái)嗎？

學(xué)生在紙質(zhì)量角器上畫角，全班交流，展示學(xué)生不同的畫法。

師：這些畫法有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？

生：角的位置不同，開口方向不同，兩條邊所在的刻度線不同。畫出的所有角都是70°，它們都包含了70 個(gè)1°的角。

師：三種方法哪一種一眼就能看出畫出的是70°角？

生：方法1，角的一條邊和量角器的0 刻度線重合，只要看角的另一條邊指向的刻度就可以知道答案，更加快捷方便。如果用方法2 和方法3，還需要再進(jìn)行計(jì)算，顯得比較麻煩。

2.觀察比較，再生工具。

師：為了使用方便的需要，量角器也在不斷地變化。

課件呈現(xiàn)，在原來(lái)單圈刻度量角器的外面再增加一圈刻度，形成雙圈刻度的量角器。

師：現(xiàn)在的這一圈刻度與剛才的一圈刻度有什么相同和不同的地方？

生：相同點(diǎn)是兩圈刻度都是從0°到180°；不同點(diǎn)是刻度的方向是相反的，里面的一圈是從右到左依次為0°到180°，而外面的一圈是從左到右依次為0°到180°。

學(xué)生之間互相說(shuō)一說(shuō)、指一指，介紹自己手中的量角器，再全班交流。

教師強(qiáng)調(diào)左右0 刻度線分別與外圈和內(nèi)圈的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及這個(gè)雙圈量角器上也同樣存在很多被隱藏的線和角。

3.多元度量，方法優(yōu)化。

師：同學(xué)們猜想一下，可能是什么原因讓我們又發(fā)明了有兩圈刻度的量角器？

教師通過(guò)具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生評(píng)析一圈刻度量角器在度量時(shí)的相對(duì)不便，兩圈刻度量角器在度量時(shí)的相對(duì)便捷性。

逐步出示四個(gè)角，學(xué)生分別讀出每一個(gè)角的度數(shù)。

師：上面的四個(gè)角在度量的時(shí)候，你分別看的是內(nèi)圈還是外圈？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：如果角的一條邊對(duì)著的0 刻度線在左邊，就看外圈；如果角的一條邊對(duì)著的0 刻度線在右邊，就看內(nèi)圈，這樣能一下子就看出答案。

師：第四個(gè)角，如果老師一定要看外圈的刻度，可以嗎？方便嗎？

生：看外圈也是可以的，用180-135=45，不過(guò)這樣需要計(jì)算，不太方便。

4.鞏固練習(xí)，靈活運(yùn)用。

課件出示：70°、110°、35°三個(gè)角，開口方向不同，學(xué)生量出它們的度數(shù)。

學(xué)生動(dòng)手操作，指名上講臺(tái)演示，全班交流。

師：此時(shí)，我們可以精確地刻畫課前問(wèn)題中左邊的角比右邊的角大的度數(shù)了。

三、重構(gòu)——在多維聯(lián)接中探求本源結(jié)構(gòu)

1.熟悉與陌生的融通。

談話：同學(xué)們有沒(méi)有想過(guò)，量角器是一個(gè)半圓，如果把兩個(gè)量角器拼起來(lái)呢？

師：（課件出示）現(xiàn)在的量角器中，包含了多少個(gè)1°的角呢？

生：360 個(gè)1°的角。

課件出示一個(gè)角，一條邊指向290°，另一條邊指向350°。

師：你知道這個(gè)角的度數(shù)嗎？

生：這個(gè)角是60°，因?yàn)?50-290=60，這個(gè)角里面包含了60 個(gè)1°的角。

師：一圈刻度的、兩圈刻度的和圓形的量角器，它們形狀雖然有些不一樣，但是在度量角的時(shí)候有什么一樣的地方？

2.過(guò)去與現(xiàn)在的聯(lián)接。

師：同學(xué)們，為了精確地刻畫這個(gè)世界，我們進(jìn)行長(zhǎng)度的度量、角的度量，你能找出它們都有什么相同點(diǎn)嗎？

生：都需要先確定度量的單位。

3.已知到未知的呼喚。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度、面積、角度的度量，都是要先確定度量單位，再看被度量的物體中包含了多少了度量單位。在以后，我們將學(xué)習(xí)物體的體積，猜測(cè)一下，你覺得我們又該如何去研究體積的度量呢？

【評(píng)析與思考】

本課研究的測(cè)量對(duì)象為角，教師堅(jiān)持“學(xué)為中心”的理念，站在圖形測(cè)量的知識(shí)體系中精心設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，在觀察、操作、交流等體驗(yàn)性活動(dòng)中幫助學(xué)生建立1°角大小的表象，通過(guò)建構(gòu)、想象、推理等一系列“高階”思維活動(dòng)，師生共同再造了量角工具，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，提升了學(xué)生的測(cè)量素養(yǎng)。

一、基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，引發(fā)測(cè)量需求

每個(gè)學(xué)生都有自己個(gè)體性的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，這種“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”即為學(xué)生學(xué)習(xí)中的前概念。生活中，滑滑梯的“陡”與“緩”是十分常見的，學(xué)生對(duì)其有了一定的感知，這也是滑得快與慢的直接原因，這些構(gòu)成了學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師正是基于這樣的對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，單刀直入地提出了問(wèn)題：“你能從數(shù)學(xué)的角度分析一下兩個(gè)滑滑梯滑得快與慢的原因嗎？”這一問(wèn)題的提出，無(wú)疑是具有挑戰(zhàn)性的，對(duì)學(xué)生的思維是有撞擊的，通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，可以讓學(xué)生迅速聯(lián)想到其中角的大小不同是導(dǎo)致“兩個(gè)滑滑梯滑得快與慢的主要原因”，從而產(chǎn)生了比較大小的需求。接著，教師追問(wèn)：“左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達(dá)呢？”“以前的學(xué)習(xí)中，我們是如何精確地表示課桌的長(zhǎng)度和課桌的面積的？”這樣的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的正遷移，不僅有助于學(xué)生梳理研究問(wèn)題的脈絡(luò)，更是一種學(xué)習(xí)方式上的思考，就是用舊知解決新問(wèn)題，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，更是研究問(wèn)題意識(shí)的全面激活，引發(fā)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、數(shù)學(xué)的符號(hào)去精準(zhǔn)表達(dá)角的大小的學(xué)習(xí)欲望，進(jìn)而體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性。。

二、多維構(gòu)建表象，理解測(cè)量本質(zhì)

在實(shí)踐活動(dòng)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從觀察1°角的大小開始，逐步走向?qū)θ舾蓚€(gè)1°角所組成的2°、5°、10°角的觀察與估測(cè)，進(jìn)而探究20°、100°、180°角的實(shí)際意義，在表征“每個(gè)角分別包含多少個(gè)1°、是多少度”的活動(dòng)中，逐步感悟“一個(gè)角的度數(shù)是多少，就是看這個(gè)角中包含多少個(gè)1°的角”的測(cè)量本質(zhì)。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，教師圍繞“多少個(gè)1°、是多少度”這個(gè)核心問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)角的度量單位進(jìn)行了深度探索，使學(xué)生理解與把握了度量單位的實(shí)際意義，體悟了測(cè)量結(jié)果的數(shù)學(xué)意義。

學(xué)生空間觀念的發(fā)展需要多種表象的支撐。教學(xué)中，教師組織學(xué)生在看一看、估一估、量一量、比一比等活動(dòng)中，重點(diǎn)對(duì)1°、10°、30°、90°等展開了學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在建立對(duì)這些特殊角的良好表象基礎(chǔ)上，更好、更靈活地開展測(cè)量活動(dòng)。

對(duì)第二學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維的發(fā)展已經(jīng)達(dá)到了一定的層次，只是單純地直觀操作已經(jīng)無(wú)法滿足他們學(xué)習(xí)的需求，更高階的思維需要加以滲透。在指向測(cè)量本質(zhì)的學(xué)習(xí)探索中，估測(cè)、想象、歸納、對(duì)比、直觀思考以及分析和推理等思維活動(dòng)得到了充分體現(xiàn)。對(duì)比一：三個(gè)分別為0°～90°、60°～150°、80°～170°的90°角的對(duì)比活動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然這三個(gè)角的開口方向不同，角的兩條邊所在的位置也不一樣，但是，這三個(gè)角的度數(shù)是相同的，都包含了90 個(gè)1°的角，都是90°的角。對(duì)比二：學(xué)生對(duì)30°、90°、150°這三個(gè)角進(jìn)行比大小中，進(jìn)一步感悟了“一個(gè)角包含的度量單位越多，它的度數(shù)就越大；包含的度量單位越少，它的度數(shù)就越小”的數(shù)學(xué)道理。對(duì)比三：在畫指定70°角的活動(dòng)中，教師展示三種不同結(jié)果，繼續(xù)以“這些畫法有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)”為核心問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考：角的位置不同，開口方向不同，兩條邊所在的刻度線不同，但它們都包含了70 個(gè)1°的角，進(jìn)而推理得出“畫出的所有角都是70°”的結(jié)論。三次對(duì)比活動(dòng)直抵角的度量本質(zhì)，學(xué)生空間觀念得到充分發(fā)展的同時(shí)，量角器這一度量角的工具也得到了自然建構(gòu)。

三、溝通深化結(jié)構(gòu)，提升測(cè)量素養(yǎng)

深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要從知識(shí)的碎片化向結(jié)構(gòu)化轉(zhuǎn)化。所謂的知識(shí)結(jié)構(gòu)化就是把所學(xué)的知識(shí)要素按其相互作用、相互聯(lián)系的方式和秩序組合起來(lái),使知識(shí)由繁雜變成簡(jiǎn)化概括,使學(xué)生對(duì)知識(shí)的體系和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生形象化的感覺和認(rèn)識(shí)。本節(jié)課中，教師將角的度量?jī)?nèi)容放在圖形與幾何領(lǐng)域計(jì)量單位知識(shí)體系中進(jìn)行整體架構(gòu)，導(dǎo)入時(shí)，“左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達(dá)呢？同學(xué)們想一想，以前我們是如何精確地表示課桌的長(zhǎng)度和課桌的面積的？”這一問(wèn)題，喚醒了學(xué)生圖形測(cè)量的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，建立統(tǒng)一度量單位的需求呼之欲出，而這樣的經(jīng)驗(yàn)將影響著學(xué)生對(duì)本課角的度量單位探索、解決相關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)。

臨近課尾，教師獨(dú)具匠心設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生多維拓展、整體思考?；顒?dòng)一：“熟悉與陌生的融通”環(huán)節(jié)，看似教師隨意一問(wèn)：“一圈刻度的、兩圈刻度的和圓形的量角器，它們形狀雖然有些不一樣，但是在度量角的時(shí)候有什么一樣的地方？”在拓展與延伸中，又把學(xué)生的思維從遠(yuǎn)處回歸到角的度量的本質(zhì)：不論用哪個(gè)量角器，都是要看被量角中包含了多少個(gè)度量單位?；顒?dòng)二：“過(guò)去與現(xiàn)在的聯(lián)接”環(huán)節(jié)，教師再次引發(fā)學(xué)生展開對(duì)比：“長(zhǎng)度的度量、角的度量，它們有什么相同點(diǎn)嗎？”在異中求同中再次奏響度量主旋律，即都是要先確定度量單位，再看被度量的物體中包含了多少個(gè)度量單位?；顒?dòng)三：“已知到未知的呼喚”環(huán)節(jié)，教師再次拋出問(wèn)題：“以后，我們將學(xué)習(xí)物體的體積，猜測(cè)一下，你覺得我們又該如何去研究體積的度量呢？”引發(fā)學(xué)生繼續(xù)從度量的意義、度量的方法等去展開求索，這是一個(gè)引領(lǐng)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”的好問(wèn)題。