以教材習(xí)題為生長點，拓展學(xué)生思維空間
——“方與圓”數(shù)學(xué)拓展課的課堂實踐與思考

文/惠州市惠陽區(qū)實驗小學(xué) 汪建華

一、教材的原題

看一看，比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圓的面積比圓外的正方形面積小，比圓內(nèi)的正方形面積大。

三、教學(xué)片段與思考

（一）聯(lián)系生活，情景導(dǎo)入。師：在奇妙的數(shù)學(xué)王國里，圓形與正方形的關(guān)系非常密切，在中國建筑中經(jīng)常能見到外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方的設(shè)計(出示圖)，今天這節(jié)課我們就來研究圓與正方形之間的關(guān)系。（設(shè)計意圖：從生活中熟悉的圖形抽象出圓與外切正方形、內(nèi)接正方形的例子，明確本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。直截了當(dāng)，讓學(xué)生體驗生活處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活）

（二）探索研究，理解掌握

1.研究外方內(nèi)圓

環(huán)節(jié)一：（出示四道練習(xí)題，讓學(xué)生完成）

（1）正方形的邊長為4cm,求圓的面積是多少平方厘米？

（2）正方形的面積為 36cm2，求圓的面積是多少平方厘米？

（3）正方形的面積為60cm2,求圓的面積是多少平方厘米？

環(huán)節(jié)二：（學(xué)生完成后提供學(xué)習(xí)紙，讓學(xué)生探究圓與正方形的面積關(guān)系，把發(fā)現(xiàn)寫下來）

把剛才3 題的數(shù)據(jù)填在表上，比較圓的面積和正方形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

（設(shè)計意圖：這個環(huán)節(jié)三道題由易到難，層層深入，讓學(xué)生明白，求圓的面積，除了知道圓的半徑、直徑、周長以外，如果知道圓的外切正方形，一樣能求這個圓的面積。圓的面積=外切正方形的面積÷4×π。另外從淺層次的三道題，當(dāng)學(xué)生把每題的圓的面積與正方形的面積一對比，不難發(fā)現(xiàn)：盡管三道題都不同，但是圓的面積÷外切正方形的面積=0.785，說明圓的面積與其外切正方形的面積的比例是與圓的大小無關(guān)）

環(huán)節(jié)三：探究圓的面積÷外切正方形的面積=0.785 的本質(zhì)。

如果圓的半徑是r，圓的面積=_______，正方形面積=_______，圓的面積÷正方形的面積=___。（設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)給學(xué)生提供一定的思路，讓學(xué)生帶著問題有方向地思考、探究。通過探究發(fā)現(xiàn)：圓的面積 =πr2，正方形的面積 =2r×2r=4r2，所以圓的面積÷正方形的面積 =πr÷4r=π/4=0.785，從而發(fā)現(xiàn)兩個圖形的商是和半徑無關(guān)的，也就是圓的大小無關(guān)。而且商是一個定值0.785。從而讓學(xué)生清楚圓的面積=外切正方形的面積×0.785 這一數(shù)學(xué)規(guī)律）

環(huán)節(jié)四：針對練習(xí)

四張邊長都是12cm 的正方形鐵皮，分別按照下圖剪下不同規(guī)格的圓片，哪張鐵皮剩下的廢料多？（設(shè)計意圖：有針對性的練習(xí)能夠加深學(xué)生的印象，鞏固所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，同時讓學(xué)生體驗圓的面積= 外切正方形的面積×0.785 這一規(guī)律的簡易、快捷）

四、教后體會與反思

（一）在數(shù)形結(jié)合中悟方法。我們都知道圓的面積公式為S=πr2，運(yùn)用面積公式求圓的面積，關(guān)鍵是先求圓的半徑。然而，我們經(jīng)常會遇到一些題目，不能直接求出圓的半徑，但如果能巧妙靈活地利用r2，問題也會迎刃而解。

（二）在比較分析中找關(guān)系。圓與正方形之間的大小關(guān)系通過觀察得到，但不能準(zhǔn)確地刻畫。因此，要借助研究數(shù)據(jù)，在比較分析中發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。例如，教師以表格的形式出示學(xué)生的研究數(shù)據(jù)，然后經(jīng)過比較分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓的面積與外切正方形的面積之間的比值是0.785，即圓的面積是它的外切正方形面積的78.5%。當(dāng)學(xué)生研究圓的面積與內(nèi)接正方形的面積時，再次引導(dǎo)學(xué)生比較分析，從而發(fā)現(xiàn)了圓的面積與它的內(nèi)接正方形的面積之間的比是157:100。最后對圓的面積與它的外切、內(nèi)接正方形的面積這三者再次進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)了它們之間的關(guān)系是：4r2>3.14r2>2r2。

（三）在多種策略中提技巧。有關(guān)圓與正方形的面積知識靈活多變，而且解題策略有多種。如其中的練習(xí)題求哪張鐵皮剩下的廢料多，我們可以根據(jù)提供的條件分別求出正方形的面積與所有圓的面積，相減后再比較大小，也可以先求出圓的面積或正方形的面積，再根據(jù)它們之間的關(guān)系求另一個圖形的面積，相減再比較，還可以先求出正方形的面積，再根據(jù)它的內(nèi)切圓形的面積是的0.785 得到圓形的面積，相減后比較大小，可以用不同的方法解題。