受端電網(wǎng)STATCOM布點(diǎn)及容量規(guī)劃的凸松弛方法

馬騫，鄧卓明，吳云亮，李鵬，姚文峰，郭知非

(1.中國(guó)南方電網(wǎng)電力調(diào)度控制中心，廣州510663；2. 南方電網(wǎng)科學(xué)研究院，廣州510663)

0 引言

受端電網(wǎng)的電能往往由其外部遠(yuǎn)距離的發(fā)電廠通過(guò)高壓輸電線傳輸獲取，并且對(duì)應(yīng)著密集的工商業(yè)負(fù)荷，換流站、輸電線路以及異步電動(dòng)機(jī)、電弧爐、降溫壓縮電機(jī)等負(fù)荷的無(wú)功功率需求量巨大[1]。在負(fù)荷側(cè)安裝一定數(shù)量和容量的靜止同步補(bǔ)償器(static synchronous compensator, STATCOM)做無(wú)功補(bǔ)償，不僅能在電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)維持電壓穩(wěn)定、提高供電質(zhì)量、降低電能損耗，同時(shí)在發(fā)生較為嚴(yán)重的短路故障時(shí)，能提供堅(jiān)強(qiáng)的無(wú)功支撐，快速恢復(fù)電壓至安全水平，避免甩負(fù)荷。目前在經(jīng)濟(jì)條件相對(duì)較好的廣東電網(wǎng)，已經(jīng)逐漸在負(fù)荷端如東莞、水鄉(xiāng)配置了STATCOM[2]。STATCOM的規(guī)劃和控制也獲得了越來(lái)越多的關(guān)注。文獻(xiàn)[3]提出了在多直流饋入系統(tǒng)各母線對(duì)多回直流逆變站電壓支撐強(qiáng)度的指標(biāo)，并用于南方電網(wǎng)STATCOM配置方案的研究。文獻(xiàn)[4]描述并復(fù)現(xiàn)了HVDC系統(tǒng)在故障恢復(fù)過(guò)程中發(fā)生“二次換相失敗”的現(xiàn)象，提出了根據(jù)故障的嚴(yán)重程度差異化配置STATCOM無(wú)功補(bǔ)償模式。STATCOM作為一種新興的電力電子無(wú)功補(bǔ)償裝置，盡管有著極其優(yōu)秀的無(wú)功補(bǔ)償性能(反應(yīng)時(shí)間短，補(bǔ)償容量靈活多變)，但是其造價(jià)仍然高昂，規(guī)劃配置STATCOM必須精打細(xì)算，避免電網(wǎng)投資的浪費(fèi)[5]。

目前電網(wǎng)規(guī)劃人員對(duì)STATCOM的規(guī)劃配置大多采用枚舉試錯(cuò)的方式，通過(guò)大量的仿真試驗(yàn)獲得滿足安全約束的規(guī)劃方案。然而，大量的仿真試錯(cuò)不僅工作量巨大、耗費(fèi)大量的時(shí)間，而且獲得的規(guī)劃方案也僅僅是一個(gè)相對(duì)較好、能滿足安全約束的方案，并不是最經(jīng)濟(jì)的方案。并且現(xiàn)代電力系統(tǒng)模型越來(lái)越復(fù)雜，規(guī)模也越來(lái)越大，組合爆炸的問(wèn)題將導(dǎo)致枚舉無(wú)法進(jìn)行。

因此，國(guó)內(nèi)外一些文獻(xiàn)提出了數(shù)學(xué)化的規(guī)劃方案。在規(guī)劃STATCOM的配置時(shí)，需要考慮STATCOM的安裝地點(diǎn)以及安裝容量，即對(duì)應(yīng)定點(diǎn)和定容的規(guī)劃。對(duì)此國(guó)內(nèi)外已有相應(yīng)的研究成果。文獻(xiàn)[6 - 7]采用基于動(dòng)態(tài)無(wú)功—電壓靈敏度的電壓控制敏感因子和多饋入相互作用因子，計(jì)算獲得電壓控制敏感點(diǎn)，以便確定動(dòng)態(tài)無(wú)功源的布點(diǎn)。在此基礎(chǔ)獲得候選節(jié)點(diǎn)后，文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步采用基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法確定動(dòng)態(tài)無(wú)功源的容量。文獻(xiàn)[9]指定動(dòng)態(tài)無(wú)功—電壓靈敏度最大的節(jié)點(diǎn)為候選節(jié)點(diǎn)，然后指定STATCOM的容量為對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)補(bǔ)償?shù)纳舷拗怠Ｎ墨I(xiàn)[10]利用軌跡靈敏度計(jì)算和奇異值分解確定動(dòng)態(tài)無(wú)功源的布點(diǎn)，然后通過(guò)時(shí)域仿真和非線性優(yōu)化之間的交替迭代獲得規(guī)劃容量。盡管上述的方法能夠獲得相對(duì)較好的、工程上能用的規(guī)劃方案，然而，因?yàn)樗鼈儼褎?dòng)態(tài)無(wú)功源布點(diǎn)及容量完全割裂開(kāi)來(lái)，獲得的規(guī)劃方案只是布點(diǎn)和容量二層的分別最優(yōu)，并不是它們整體的最優(yōu)方案。

為此，本文分別采用整數(shù)變量和連續(xù)變量表征STATCOM的安裝地點(diǎn)和安裝容量，把整體的規(guī)劃問(wèn)題解析為數(shù)學(xué)上的混合整數(shù)規(guī)劃模型，以便獲得布點(diǎn)和容量規(guī)劃的整體最優(yōu)方案。為了提高求解效率，本文采取了凸松弛技術(shù)[11 - 13]，借助STATCOM布點(diǎn)的某些特征，關(guān)于整數(shù)變量整體凸化原始的混合整數(shù)規(guī)劃模型，然后對(duì)凸模型實(shí)施一種緊松弛。經(jīng)算例驗(yàn)算，本文的混合整數(shù)規(guī)劃模型和凸松弛技術(shù)能夠獲得STATCOM定點(diǎn)和容量的最優(yōu)規(guī)劃方案，有效緩解電網(wǎng)短期電壓失穩(wěn)的問(wèn)題。同時(shí)，相比割裂布點(diǎn)和容量的傳統(tǒng)規(guī)劃方法，本文的方法獲得的規(guī)劃方案更優(yōu)，即規(guī)劃的費(fèi)用更小。本文的創(chuàng)新在于提出一個(gè)通用的混合整數(shù)規(guī)劃模型和凸松弛求解方案，避免大規(guī)模枚舉和試錯(cuò)仿真工作，并且獲得最經(jīng)濟(jì)的規(guī)劃方案。同時(shí)，得益于電網(wǎng)元器件的模型的通用性，本文提出的優(yōu)化模型可以實(shí)施封裝，后續(xù)可以根據(jù)用戶需要對(duì)模型進(jìn)行修改，從而推廣到其他的電網(wǎng)。該模型的通用性將可以節(jié)省大量仿真試錯(cuò)的工作量和時(shí)間。

1 STATCOM規(guī)劃的混合整數(shù)規(guī)劃模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

本文目標(biāo)函數(shù)J(·)定義為STATCOM規(guī)劃方案的投資費(fèi)用，包括與基建相關(guān)的固定安裝費(fèi)用(例如征地補(bǔ)償)以及與容量相關(guān)的容量費(fèi)用(例如設(shè)備購(gòu)置)2個(gè)部分。STATCOM總體的規(guī)劃投資費(fèi)用由固定安裝費(fèi)用和容量費(fèi)用疊加[14]。

J(·)=vT[c1e+c2·(QCmax-QLmax)]

(1)

式中：v為STATCOM安裝地點(diǎn)的二進(jìn)制列向量(即所有元素皆為二進(jìn)制數(shù)值)，其中第i個(gè)元素的數(shù)值為0，代表候選節(jié)點(diǎn)i不安裝STATCOM，無(wú)需記及固定安裝費(fèi)用和容量費(fèi)用，第i個(gè)元素的數(shù)值為1，代表候選節(jié)點(diǎn)i安裝STATCOM，需要記及固定安裝費(fèi)用和容量費(fèi)用；c1為固定安裝費(fèi)用，萬(wàn)元；c2單位容量費(fèi)用，萬(wàn)元/Mvar；e為單位列向量；QCmax=[qc1,qc2,qc3,…,qci]為STATCOM的容性輸出限值列向量；QLmax=[ql1,ql2,ql3, …,qli]為STATCOM的感性輸出限值列向量；其中第i個(gè)元素qci和qli分別對(duì)應(yīng)候選節(jié)點(diǎn)i的容性容量(正值)和感性容量限值(負(fù)值)。需要注意的是，QCmax和QLmax均為可參與優(yōu)化的變量，而不是固定不變的參數(shù)。

在極小化目標(biāo)函數(shù)(即規(guī)劃投資費(fèi)用)的過(guò)程中，各個(gè)站址STATCOM的配置容量(即QCmax-QLmax)會(huì)逐漸下降直至收斂，極小化目標(biāo)函數(shù)能夠限值各個(gè)站址的配置容量。

1.2 電壓和功角安全約束

根據(jù)南方電網(wǎng)安全穩(wěn)定導(dǎo)則，電壓安全約束為故障清除1 s時(shí)間內(nèi)，節(jié)點(diǎn)電壓恢復(fù)至0.75 p.u.以上。

Vl.k(t)≥0.75,t∈[tc+Td,tf]

(2)

式中：l和k分別為節(jié)點(diǎn)編號(hào)和故障編號(hào)；t為仿真時(shí)刻；tc和tf分別為故障清除時(shí)刻和仿真終止時(shí)刻；Td為持續(xù)時(shí)間1 s；Vl.k(t)為節(jié)點(diǎn)電壓。

功角安全約束則必須保證所有發(fā)電機(jī)功角與慣量中心轉(zhuǎn)子角的功角差小于給定的數(shù)值120 °。

|δg.k(t)-δCOI.k(t)|≤δmax

(3)

式中：g為發(fā)電機(jī)編號(hào)；δg.k(t)為發(fā)電機(jī)功角；δmax為給定的閾值120 °；δCOI.k(t)為慣量中心轉(zhuǎn)子角。

(4)

式中：Mg為發(fā)電機(jī)慣量；NG為發(fā)電機(jī)數(shù)量。

此外，約束條件還應(yīng)包括動(dòng)態(tài)設(shè)備的微分代數(shù)方程、系統(tǒng)的潮流方程、變量上下限約束以及邊界約束等等。因?yàn)檫@些方程都比較常規(guī)且繁瑣，此處不一一列舉，具體的方程可參考文獻(xiàn)[9,15]。其中，發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典四階模型，勵(lì)磁系統(tǒng)采用經(jīng)典四階模型，異步電機(jī)負(fù)荷采用經(jīng)典三階模型，STATCOM采用增益-時(shí)間-常數(shù)模型。

1.3 STATCOM容量約束

在實(shí)際工程中，各個(gè)站址由于場(chǎng)地、檢修等限制，可能存在數(shù)值不相等的受限容量。該限制可以通過(guò)控制變量QCmax和QLmax的上下限約束(不等式約束)表達(dá)。

(5)

1.4 混合整數(shù)規(guī)劃模型

STATCOM規(guī)劃問(wèn)題的混合整數(shù)規(guī)劃模型可采用簡(jiǎn)約形式表示，具體如式(6a)—(6e)所示。

(6a)

(6b)

0=Gk(xk(t),yk(t),u,v)

(6c)

0≤Hk(xk(t),yk(t),u)

(6d)

v∈{0, 1},t∈[t0,tf]

(6e)

式中：xk(t)、yk(t)、u、v分別為狀態(tài)變量、代數(shù)變量、連續(xù)決策變量(即規(guī)劃安裝容量)以及二進(jìn)制決策變量(即規(guī)劃安裝布點(diǎn))的列向量；t0為仿真起始時(shí)刻；在方程方面，式(6b) 為微分方程，包含發(fā)電機(jī)及其勵(lì)磁系統(tǒng)、異步電機(jī)負(fù)荷以及STATCOM的動(dòng)態(tài)；式(6c)為受端電網(wǎng)的潮流方程，其中STATCOM以注入功率的形式掛在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)上；式(6d)包含所有變量(狀態(tài)變量、代數(shù)變量和決策變量)的上下限約束以及1.2節(jié)提到的電壓和功角安全約束。關(guān)于式(6b)提到的設(shè)備模型和微分方程可參考文獻(xiàn)[9,15]。

2 混合整數(shù)規(guī)劃模型的凸松弛

凸松弛方法是一種針對(duì)和處理混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的處理方案。經(jīng)過(guò)凸松弛處理，混合整數(shù)規(guī)劃的求解效率可以極大提高。凸松弛包含2個(gè)步驟：凸化以及松弛。

凸化過(guò)程需要列舉二進(jìn)制決策變量的所有可能組合，然后混合整數(shù)規(guī)劃模型整體關(guān)于二進(jìn)制決策變量做線性疊加。

線性疊加可以使得規(guī)劃模型關(guān)于二進(jìn)制變量整體凸化。因?yàn)镾TATCOM以注入功率掛在潮流方程對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，該功率存在與否是由決策變量v決定的。因此潮流方程(6c)是直接與v相關(guān)的。此外，在1.1節(jié)介紹過(guò)目標(biāo)函數(shù)也是與v直接相關(guān)的。除此以外，微分方程、上下限約束和安全約束都沒(méi)有與v直接相關(guān)。因此只需對(duì)式(6a)和(6c)做關(guān)于二進(jìn)制變量的線性疊加即可。

本文借用一個(gè)虛擬4節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)為例子詳細(xì)介紹凸化。假定在該虛擬的4節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)1—3為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，并被選為STATCOM的候選節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)4是平衡節(jié)點(diǎn)。因?yàn)樵诖税咐?個(gè)候選節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)安裝或不安裝(1/0)共2種情況，共有8種布點(diǎn)方案，具體如表1所示。

表1 虛擬案例的8種布點(diǎn)方案Tab.1 Eight plans of locations in the virtual case

為表1中每種組合引入替代變量αw。 依據(jù)線性疊加的計(jì)算，節(jié)點(diǎn)1—3的潮流方程可分別凸化為：

(7a)

(7b)

(7c)

式中Gl.k(xl.k,yl.k,ul,vl.w)和vl.w分別為節(jié)點(diǎn)l的潮流方程函數(shù)以及vw的具體值。

由表1和式(7a)—(7c)可知，因?yàn)檎麛?shù)決策變量共8種組合，凸化需要枚舉8次，引入8個(gè)替代變量，才能完成線性疊加。然而，α1-α8實(shí)際并非獨(dú)立變量，可以做一定的簡(jiǎn)化。在對(duì)應(yīng)的潮流方程上分別引入變量θ1.1=α1+α2+α3+α5，θ1.2=α4+α6+α7+α8，θ2.1=α1+α2+α4+α6，θ2.2=α3+α5+α7+α8，θ3.1=α1+α3+α4+α7， 以及θ3.2=α2+α5+α6+α8， 其中θl.i代表節(jié)點(diǎn)l的第i個(gè)θ變量。式(7a)—(7c)可簡(jiǎn)化為：

0=G1.k(x1.k,y1.k,u1, 0)θ1.1+G1.k(x1.k,y1.k,u1, 1)θ1.2

(8a)

0=G2.k(x2.k,y2.k,u2, 0)θ2.1+G2.k(x2.k,y2.k,u2, 1)θ2.2

(8b)

0=G3.k(x3.k,y3.k,u3, 0)θ3.1+G3.k(x3.k,y3.k,u3, 1)θ3.2

(8c)

并且同樣滿足θ1.1+θ1.2=1，θ2.1+θ2.2=1以及θ3.1+θ3.2=1的約束條件，且θl.i為二進(jìn)制變量。這是因?yàn)镾TATCOM以注入功率掛在負(fù)荷節(jié)點(diǎn)上，節(jié)點(diǎn)l安裝STATCOM與否只影響節(jié)點(diǎn)l列寫潮流方程，并不影響其他節(jié)點(diǎn)列寫相應(yīng)的潮流方程，因此節(jié)點(diǎn)間列寫潮流方程是相互獨(dú)立的。

同理，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)J(·)， 假定Jl(ul,vl.w)是節(jié)點(diǎn)l規(guī)劃安裝STATCOM的費(fèi)用，則目標(biāo)函數(shù)可凸化如式(9)所示。

(9)

松弛過(guò)程則把上述的替代變量θl.i從二進(jìn)制的取值范圍松弛至連續(xù)區(qū)間[0,1]，混合整數(shù)規(guī)劃模型整體轉(zhuǎn)換為連續(xù)規(guī)劃問(wèn)題，從而避免了直接求解混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。在優(yōu)化領(lǐng)域，基于梯度的算法或求解器都能比較高效地求解連續(xù)規(guī)劃問(wèn)題，因此提高了STATCOM規(guī)劃的效率。同時(shí)，經(jīng)文獻(xiàn)[11 - 13]的驗(yàn)證，上述關(guān)于整數(shù)變量的凸化及松弛是一個(gè)緊松弛過(guò)程，可以獲得滿足邊界條件約束的規(guī)劃方案。

3 整體規(guī)劃流程

依據(jù)上述的混合整數(shù)規(guī)劃模型以及凸松弛方法，本文歸納了STATCOM的整體規(guī)劃流程如下。

1)采用三相接地短路故障N-2掃描受端電網(wǎng)薄弱區(qū)域，獲得電網(wǎng)在規(guī)劃STATCOM前的短期電壓失穩(wěn)的故障集；

2)以安裝費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù)，建立全網(wǎng)電壓安全約束的STATCOM布點(diǎn)及容量規(guī)劃的規(guī)劃模型式(6a)—(6e)；

3)枚舉二進(jìn)制布點(diǎn)變量v的所有組合，采用固定的列向量vw(w= 1, 2,…,NW)代表對(duì)應(yīng)的每1種規(guī)劃方案；

5)關(guān)于二進(jìn)制變量，整體做線性疊加以凸化混合整數(shù)規(guī)劃模型；

6)松弛替代變量θl.i至連續(xù)區(qū)間[0,1]；

7)在通用代數(shù)建模系統(tǒng)(general algebraic modeling system，GAMS)上調(diào)用CONOPT求解器[16]求解經(jīng)過(guò)凸松弛處理后的連續(xù)優(yōu)化模型，獲得STATCOM布點(diǎn)及容量規(guī)劃方案；

8)采用PSD-BPA軟件仿真校驗(yàn)規(guī)劃方案是否滿足暫態(tài)電壓、功角穩(wěn)定約束。

4 算例分析

本文在2個(gè)系統(tǒng)上實(shí)施了上述的規(guī)劃方法。系統(tǒng)A是IEEE標(biāo)準(zhǔn)39節(jié)點(diǎn)測(cè)試網(wǎng)絡(luò)，包含有10發(fā)電機(jī)、39節(jié)點(diǎn)以及17異步電機(jī)。系統(tǒng)B是廣東省級(jí)電網(wǎng)，包含有181發(fā)電機(jī)、1 009節(jié)點(diǎn)以及361異步電機(jī)。本章的算例計(jì)算是在一臺(tái)高性能服務(wù)器上完成的，它具有16組Dell M620刀片機(jī)，每個(gè)刀片又配有2個(gè)Xeon E5- 2650處理器(其中每個(gè)處理器都是8核8線程)和128 GB的運(yùn)行內(nèi)存。計(jì)算平臺(tái)分別采用GAMS 24.4.6做優(yōu)化計(jì)算[16]，MATLAB 2015a 做編程，以及PSD-BPA做時(shí)域仿真[17]。在上述2個(gè)測(cè)試系統(tǒng)上進(jìn)行N-2掃描，分別獲得6個(gè)短期電壓失穩(wěn)的故障組成故障集。以下STATCOM的布點(diǎn)和容量規(guī)劃將解決故障集導(dǎo)致的短期電壓失穩(wěn)問(wèn)題。

首先以系統(tǒng)A為例子，把本文的規(guī)劃方法對(duì)比傳統(tǒng)的布點(diǎn)及容量完全割裂的規(guī)劃方法，即先通過(guò)靈敏度計(jì)算確定安裝地點(diǎn)再確定安裝容量。經(jīng)過(guò)計(jì)算，表2列舉了本文的布點(diǎn)和容量統(tǒng)一規(guī)劃方案，共需6臺(tái)STATCOM，配置總?cè)萘繛?86.52 Mvar。表3列舉了傳統(tǒng)的布點(diǎn)及容量完全割裂的規(guī)劃方案，同樣需要6臺(tái)STATCOM共338.68 Mvar。由2個(gè)表格可看出，雖然兩個(gè)方案需要的STATCOM數(shù)量即布點(diǎn)數(shù)相同，但本文的布點(diǎn)和容量統(tǒng)一規(guī)劃方案需要的容量和費(fèi)用遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的規(guī)劃方法，因此更加經(jīng)濟(jì)，是安裝地點(diǎn)和安裝容量整體的最優(yōu)結(jié)果；而傳統(tǒng)的做法僅僅只是安裝地點(diǎn)和安裝容量的分別最優(yōu)。

表2 本文的布點(diǎn)和容量統(tǒng)一規(guī)劃方案Tab.2 Unified plan of location and capacity in this paper Mvar

STATCOM的規(guī)劃難點(diǎn)在于混合整數(shù)規(guī)劃。有學(xué)者指出，如果全體負(fù)荷母線均為STATCOM備選安裝點(diǎn)，只規(guī)劃STATCOM容量，即可避免混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。然而，該方法只能最小化容量的規(guī)劃，卻無(wú)法記及STATCOM的固定安裝費(fèi)用c1。STATCOM總體投資費(fèi)用變得很大，因?yàn)閹缀跛心妇€都規(guī)劃安裝STATCOM。

同樣以系統(tǒng)A為例，如果所有負(fù)荷點(diǎn)均為STATCOM的規(guī)劃節(jié)點(diǎn)，以此極小化STATCOM的規(guī)劃容量。該規(guī)劃方案列舉在圖1中，在17個(gè)負(fù)荷

表3 傳統(tǒng)的布點(diǎn)及容量完全割裂的規(guī)劃方案Tab.3 Conventional separated plan of location and capacity Mvar

節(jié)點(diǎn)的規(guī)劃容量共219.28 Mvar，略小于表2即本文方案的286.52 Mvar。但是，圖1的規(guī)劃方案中，規(guī)劃容量被分散到17臺(tái)STATCOM，數(shù)量較大，因此基建費(fèi)用較高。對(duì)應(yīng)的STATCOM規(guī)劃費(fèi)用是32 716.52 萬(wàn)元，遠(yuǎn)高于表2的方案20 691.087 萬(wàn)元。因此在實(shí)際運(yùn)行中，南方電網(wǎng)較多情況是集中安裝少量的大容量STATCOM以減少基建費(fèi)用，提高投資的效率。

圖1 STATCOM在所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的規(guī)劃容量Fig.1 Capacities of STATCOM at all of the loads

為了驗(yàn)證本文凸松弛方法的正確性，系統(tǒng)A作為公共可用的IEEE測(cè)試系統(tǒng)，其算例用于案例的比較和復(fù)現(xiàn)。傳統(tǒng)的布點(diǎn)及容量完全割裂的規(guī)劃方法或者標(biāo)準(zhǔn)求解器，在涉及大型實(shí)際電網(wǎng)案例時(shí)會(huì)面臨巨大的求解壓力；相反，它們可以快捷地求解系統(tǒng)A類的測(cè)試系統(tǒng)，并提供相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，作為凸松弛方法的對(duì)比。在另一方面，系統(tǒng)B作為一個(gè)實(shí)際省級(jí)電網(wǎng)，其算例可驗(yàn)證凸松弛方法求解STATCOM布點(diǎn)及容量規(guī)劃問(wèn)題的高效性。在此算例上，凸松弛方法在可接受的時(shí)間框架內(nèi)可獲取STATCOM規(guī)劃問(wèn)題的方案，然而像SBB這種求解器卻不能完成，足以驗(yàn)證凸松弛方法的高效性。

如圖2所示，系統(tǒng)B在故障集下節(jié)點(diǎn)電壓恢復(fù)緩慢，大量節(jié)點(diǎn)在故障清除1 s后仍然不能恢復(fù)0.75 p.u.以上，短期電壓失穩(wěn)。采用本文凸松弛算法計(jì)算獲得的STATCOM規(guī)劃方案如表4所示。在該規(guī)劃方案下，如圖3所示，系統(tǒng)B能夠恢復(fù)短期電壓安全。

圖2 系統(tǒng)B在故障集下的電壓軌跡Fig.2 Voltages of system B under contingency set

表4 系統(tǒng)B的STATCOM規(guī)劃方案Tab.4 Planning of STATCOM for system B

圖3 含STATCOM規(guī)劃的系統(tǒng)B在故障集下的電壓Fig.3 Voltages of system B under contingency set with planning of STATCOM

針對(duì)混合整數(shù)規(guī)劃，目前存在成熟的商業(yè)求解器SBB。SBB求解器是GAMS平臺(tái)上其中一種較為流行和通用的混合整數(shù)非線性規(guī)劃求解器。SBB結(jié)合了求解混合整數(shù)線性規(guī)劃的分支定界(branch and bound，B&B)方法以及某些標(biāo)準(zhǔn)的非線性規(guī)劃求解器(可供用戶選擇)如MINOS、SNOPT。在求解混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，SBB先對(duì)整數(shù)規(guī)劃部分實(shí)施分支定界，求取一個(gè)相對(duì)較好的整數(shù)規(guī)劃結(jié)果，然后再基于用戶選擇的非線性規(guī)劃求解器對(duì)非線性規(guī)劃部分實(shí)施求解，從而獲得混合整數(shù)非線性規(guī)劃的結(jié)果。筆者在從事混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題研究的時(shí)候，先后比較過(guò)BARON、DICOPT、SBB等混合整數(shù)非線性規(guī)劃求解器，最后發(fā)現(xiàn)SBB求解器對(duì)于本文的STATCOM布點(diǎn)及容量規(guī)劃問(wèn)題具有較好的求解效果。因此，文章最后將本文的凸松弛方法和SBB求解器的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以便驗(yàn)證本文方法的有效性和高效性。如表5展示了本文規(guī)劃方法與SBB求解器的結(jié)果對(duì)比。

表5 本文方法和SBB求解器計(jì)算結(jié)果的比較Tab.5 Comparison of the results between the method in this paper and the SBB solver

在規(guī)模比較小的系統(tǒng)A中，凸松弛方法與SBB求解器的STATCOM整體規(guī)劃費(fèi)用基本一致，相差無(wú)幾，因此本文的規(guī)劃方案是可靠的。并且，本文凸松弛方法的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)短于SBB求解器，說(shuō)明凸松弛方法的求解效率更高。面對(duì)大規(guī)模系統(tǒng)B的STATCOM規(guī)劃，SBB求解器需要求解大型混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，在花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間后仍然不能獲得STATCOM的規(guī)劃方案。整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題可以理解為組合優(yōu)化問(wèn)題，而組合優(yōu)化問(wèn)題的規(guī)模隨著控制變量數(shù)量的增加呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)，極其容易引發(fā)數(shù)學(xué)上的指數(shù)爆炸問(wèn)題。對(duì)于實(shí)際1 009節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)B的規(guī)劃問(wèn)題，由于節(jié)點(diǎn)數(shù)量龐大，其控制變量(包括STATCOM的規(guī)劃容量和安裝地點(diǎn))的數(shù)量也相應(yīng)非常大。一般而言，當(dāng)控制變量的數(shù)量大于20，組合的數(shù)量已經(jīng)超過(guò)百萬(wàn)。如此龐大的組合數(shù)量，在上述分支定界的過(guò)程要存儲(chǔ)很多分支和葉子節(jié)點(diǎn)，花費(fèi)很多內(nèi)存空間。分支定界法的求解效率基本上由值界方法決定，若界估計(jì)不好，在極端情況下將與窮舉搜索沒(méi)多大區(qū)別，在有限的時(shí)間內(nèi)不能計(jì)算所有的組合。因此，面對(duì)1 009節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)B，SBB求解器不能獲得最優(yōu)解，其本質(zhì)原因是變量的數(shù)量太大，同時(shí)組合數(shù)量指數(shù)式增長(zhǎng)，出現(xiàn)了整數(shù)規(guī)劃的指數(shù)爆炸問(wèn)題。但凸松弛方法不需要直接求解混合整數(shù)優(yōu)化，只需要求解連續(xù)的優(yōu)化問(wèn)題。許多經(jīng)典的基于梯度的優(yōu)化方法，如內(nèi)點(diǎn)法，可以輕松獲得最優(yōu)解，因此凸松弛方法在系統(tǒng)B仍然得到了最優(yōu)的規(guī)劃方案。因此，本文的規(guī)劃方法更適用于南方電網(wǎng)的STATCOM規(guī)劃。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)受端電網(wǎng)STATCOM的布點(diǎn)和容量規(guī)劃問(wèn)題，采用了布點(diǎn)和容量統(tǒng)一規(guī)劃的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并提出了一種針對(duì)混合整數(shù)規(guī)劃的凸松弛方法。該方法首先關(guān)于整數(shù)變量整體凸化混合整數(shù)規(guī)劃模型，然后對(duì)凸模型實(shí)施一種緊松弛，避免直接求解混合整數(shù)規(guī)劃。

在IEEE標(biāo)準(zhǔn)39節(jié)點(diǎn)以及廣東電網(wǎng)的算例計(jì)算表明，該方法比傳統(tǒng)的割裂布點(diǎn)和容量的規(guī)劃方法的STATCOM投資費(fèi)用更小。布點(diǎn)和容量同時(shí)規(guī)劃的必要性得到了驗(yàn)證。相比商業(yè)化的求解器SBB，本文凸松弛方法更適用于在大型受端電網(wǎng)如廣東電網(wǎng)的STATCOM規(guī)劃問(wèn)題，因求解效率更高，計(jì)算時(shí)間更短，容易獲得大規(guī)模規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。