基于數(shù)學核心素養(yǎng)淺談“復數(shù)的三角表示”的教學意義

◆摘? 要：2019年版普通高中數(shù)學教科書（A版）在復數(shù)章節(jié)中增加了選學內(nèi)容“復數(shù)的三角表示”，較好體現(xiàn)了新課標要求的“形成和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)”。為保證高效完成教學任務和切實提高學生的數(shù)學能力，本文對此內(nèi)容所蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)進行分析，并針對每種核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提出合理的教學建議。

◆關(guān)鍵詞：“復數(shù)的三角表示”;數(shù)學核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》將復數(shù)的三角表示定位為選學內(nèi)容，但同時和必修內(nèi)容一樣為其設置了足夠的課時，并將“復數(shù)的三角表示”小節(jié)的教學目標設置為：通過復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)的三角表示，了解復數(shù)的代數(shù)形式與三角表示之間的關(guān)系，了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義。引入復數(shù)的三角表示，把剛學習的平面向量、三角函數(shù)和復數(shù)結(jié)合在一起，讓學生深刻體會到幾何與代數(shù)間的緊密聯(lián)系，是提升學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體。

新增“復數(shù)的三角表示”是為了讓學生深入理解復數(shù)的幾何意義，不要僅停留在運算的層面。因此從內(nèi)容的重要性和教學的可行性出發(fā)，建議以必修內(nèi)容的要求教學復數(shù)的三角表示，盡力做到所有學生都必選且有一定的收獲。由此，本篇文章基于新課標要求的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，簡要分析復數(shù)三角形式的教學意義。

一、相關(guān)研究

為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)勢以及將數(shù)學文化融入課堂教學中，張筱瑋和劉印哲以HPM為教學模式，對復數(shù)章節(jié)進行了全新的教學設計。李東迪建議融入數(shù)學文化的復數(shù)三角形式的校本課程應按時開展，讓學生感受到學習過程中理性思維的作用，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。賈凌云認為數(shù)學教學活動的核心是培養(yǎng)學生的能力，為訓練學生的思維方法和推理模式，她結(jié)合相關(guān)公式及高等數(shù)學知識，精心設計了關(guān)于復數(shù)的三角形式的教學思路。郝進宏借助平面向量以及三角函數(shù)，運用數(shù)學運算的思想方法探究了復數(shù)乘除的幾何意義，讓讀者認識到復數(shù)的本質(zhì)及其運算規(guī)律。通過查閱相關(guān)文獻發(fā)現(xiàn)，由于復數(shù)的三角表示是新課標下的新教材中新添加的內(nèi)容，因此大多數(shù)作者都集中討論了基于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，如何設計合理的復數(shù)的三角表示的教學方案。這對一線教師進一步開展復數(shù)的教學有很重要的指導意義，能幫助師生更深入把握復數(shù)的三角表示的教學要求，提高學生的數(shù)學思維水平和數(shù)學能力。但已有文獻中并沒有對“復數(shù)的三角表示”中數(shù)學核心素養(yǎng)的蘊含情況做一份詳細的總結(jié)，并提出教學過程中提升核心素養(yǎng)的策略。

二、教學意義

提高數(shù)學抽象素養(yǎng)。數(shù)學抽象素養(yǎng)指學生能從數(shù)量和圖形及其關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念間的關(guān)系，并用數(shù)學語言予以表征。本節(jié)在探索復數(shù)的三角形式過程中，教師引導學生從熟悉情景（平面向量、三角函數(shù)）出發(fā)結(jié)合問題驅(qū)動，逐步抽象出復數(shù)的三角形式，學生需經(jīng)歷從圖形關(guān)系到代數(shù)表征，再到幾何意義的兩個過程。師生一起經(jīng)歷從數(shù)學情景到新概念的生成，提高了學生的學習興趣及學習成就感，也在無形中提升了學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

提高數(shù)學運算素養(yǎng)。數(shù)學運算素養(yǎng)指在理解運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題。復數(shù)屬于代數(shù)領(lǐng)域，是培養(yǎng)學生的運算能力的重要載體，本節(jié)的運算主要包括復數(shù)三角形式與代數(shù)形式的互化及復數(shù)三角形式的乘、除運算。在推導過程中，也運用到許多有關(guān)三角函數(shù)及三角恒等變形的知識，因此不論是在新知學習還是習題鞏固中，都蘊含著大量的數(shù)學運算，且教材的例題、習題都注重知識點間的聯(lián)系和應用，注重訓練學生嚴謹?shù)挠嬎惴椒ā?/p>

提高邏輯推理素養(yǎng)。邏輯推理素養(yǎng)指從一些相關(guān)定理命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推理出其他命題，是得到數(shù)學結(jié)論的重要方式。學生從復數(shù)的幾何表示及三角函數(shù)角度出發(fā)，通過一系列嚴謹?shù)耐评磙D(zhuǎn)化得到復數(shù)的三角形式;根據(jù)復數(shù)的乘法法則及三角恒等變換公式，經(jīng)過論證得到復數(shù)三角形式的乘法法則及幾何意義。過程中，學生從已有知識出發(fā)，探索論證思路，并用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表述結(jié)果，能有效訓練學生邏輯推理的能力和嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

提高直觀想象素養(yǎng)。直觀想象素養(yǎng)指建立數(shù)與形的聯(lián)系，建立數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。復數(shù)的三角形式是代數(shù)與幾何的一次完美結(jié)合，無論是探索復數(shù)表示形式還是乘、除運算法則，都能將幾何圖形和代數(shù)關(guān)系聯(lián)系在一起。根據(jù)幾何關(guān)系得出復數(shù)三角形式，由復數(shù)的乘、除運算的三角表示得到其幾何意義，過程中學生在圖形與代數(shù)間來回穿梭，感受數(shù)形結(jié)合的魅力。

三、教學建議

創(chuàng)設合理數(shù)學情景，提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)。理解復數(shù)的三角形式需要學生從幾何關(guān)系抽象出代數(shù)關(guān)系，進而由代數(shù)表征抽象出幾何意義。過程中教師要創(chuàng)設合理數(shù)學問題情境，這也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的有效途徑，教師需提前精心設計問題，鼓勵學生積極思考、主動探究，嘗試從向量中抽象出一般規(guī)律并用符號語言精簡表征數(shù)學概念，學生要領(lǐng)悟知識的產(chǎn)生過程及抽象解決問題的方法，切實提升自身的數(shù)學抽象素養(yǎng)。例如：在引入復數(shù)三角形式前向?qū)W生拋出問題，“復數(shù)[Z=a+bia，b∈R與平面向量OZ=（a，b）]一一對應，且向量既有大小又有方向，若把它表示在坐標中，復數(shù)的實部與虛部與復數(shù)的模及向量的夾角有什么關(guān)系呢？”。

加強運算訓練，提升學生數(shù)學運算素養(yǎng)。數(shù)學運算是貫穿本節(jié)的一條主線，教學時應加強數(shù)學運算的訓練，不斷提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)。教師不僅要著眼于習題訓練，也要向?qū)W生落實對基本概念、公式及法則的理解，只有打好基底才能建高樓;其次，除了要熟記基礎(chǔ)公式法則外，教師還要對一些典型的運算問題的方法進行總結(jié)歸納，強調(diào)蘊含其中的數(shù)學思想方法，讓學生在之后的解題中能自己得出結(jié)論，實現(xiàn)知識遷移。

有效建立知識體系，提升學生邏輯推理素養(yǎng)。邏輯推理是學習數(shù)學的重要思維品質(zhì)，需要學生在已有的完整基礎(chǔ)知識上，有意識的建立新舊知識間的聯(lián)系，演繹推理，得到新舊知識間的邏輯關(guān)系。如，在新授課前，教師可幫學生做一個相關(guān)的思維導圖，讓學生能自然將復數(shù)和向量、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，進而推導出復數(shù)的三角形式。

強調(diào)數(shù)形結(jié)合，提升學生直觀想象素養(yǎng)。由于復數(shù)的三角形式有明顯數(shù)形結(jié)合的特征，因此在教學過程中，教師要提前向?qū)W生說明數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵及思路，讓學生在探究及解題過程中有意識地應用數(shù)形結(jié)合方法。解題時仔細觀察、聯(lián)想，挖掘題目中隱含條件，建立圖形與代數(shù)的關(guān)系，獲得最佳解法。例如：復數(shù)[Z=a+bia，b∈R與平面向量OZ=（a，b）]一一對應，我們借助向量的大小和方向來表示復數(shù)。從幾何的角度得出“用模來刻畫向量的大小”“以x軸的非負半軸為始邊，以向量[OZ]所在射線（射線OZ）為終邊的角[θ]來刻畫方向”，再利用三角函數(shù)知識，得到復數(shù)三角形式[Z=r（cosθ+isinθ）]。

新課改背景下，本篇文章基于有效提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，簡要分析復數(shù)三角形式的教學意義及策略，希望教師能認識到此節(jié)內(nèi)容的重要性，制定合理的教學計劃，讓學生學以致用。本篇文章還未深入探討各個數(shù)學核心素養(yǎng)在教材中的體現(xiàn)情況，之后筆者將對此部分內(nèi)容進行更加細致的研究。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]張筱瑋，劉印哲.基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成教育的“復數(shù)”教學再設計[J].天津師范大學學報（基礎(chǔ)教育版），2021（02）：45-48.

[3]李東迪.高中數(shù)學復數(shù)三角形式的校本課程的教學探究[J].新課程，2020（46）：126.

[4]賈凌云.復數(shù)三角形式的教學與探究[J].數(shù)理化解題研究，2019（33）：17-18.

[5]郝進宏.復數(shù)乘法幾何意義的探究[J].中學生數(shù)學，2019（23）：2-3.

作者簡介

和婷英（1997.09—），性別：女;民族：納西族;籍貫：云南省麗江市;學歷：本科;研究方向：學科教學（數(shù)學）。