一元微積分理論近期發(fā)展內(nèi)容的比較分析

李紅玲

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

0 引言

微積分體系由牛頓和萊布尼茲于17世紀(jì)后期建立起來，后經(jīng)柯西等科學(xué)家不斷完善，把不等式從近似方法的一種工具轉(zhuǎn)變?yōu)閲?yán)格理論的工具，將微積分從一個(gè)產(chǎn)生成果的有效方法轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兘裉焖煜さ膰?yán)格學(xué)科，這個(gè)逐步完善的過程前后花了約150年的時(shí)間[1]。目前，國內(nèi)外的常見教材[2-10]均達(dá)成了一致：導(dǎo)數(shù)采用因變量增量與自變量增量比值的極限這一形式進(jìn)行定義,定積分采用“分割、近似、求和、取極限”的步驟給出，而微積分基本定理利用積分上限函數(shù)證明得到。

科學(xué)的探究從來不會停下腳步，現(xiàn)在仍然有很多學(xué)者在研究一元微積分的基礎(chǔ)理論，對導(dǎo)數(shù)定義、積分定義和微積分基本定理的證明方法提出不同的觀點(diǎn)，不斷促進(jìn)微積分的發(fā)展。以導(dǎo)數(shù)定義為例，很多研究者試圖不使用極限、從初等知識入手去給出直觀的定義，以加快微積分的普及；以微積分基本定理為例，有些研究者從圖形入手直接給出微積分基本定理，其中定積分的定義只是作為一個(gè)副產(chǎn)品，這些新的思路可以給教學(xué)提供更多的信息。

本文分別從導(dǎo)數(shù)定義與微積分基本定理證明兩個(gè)方面呈現(xiàn)近期的發(fā)展研究，并對它們進(jìn)行比較分析，以期達(dá)到促進(jìn)微積分教學(xué)與普及的目的。

1 導(dǎo)數(shù)定義的比較分析

1.1 導(dǎo)數(shù)定義研究的幾種形式

常見教材中先給出直線運(yùn)動速度與切線問題這兩個(gè)引例，然后抽象出函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，以增量比值的極限形式呈現(xiàn)，即

(1)

美國紐約州立大學(xué)奧爾巴尼分校RANGE R M教授、廣州大學(xué)的張景中院士、中國科學(xué)院的林群院士以及西北工業(yè)大學(xué)的沈衛(wèi)國研究員均給出了不使用極限的定義方式，下面一一闡述之。

1.1.1 RANGE的導(dǎo)數(shù)定義[11]

思路：將y-f(a)=m(x-a)看作過點(diǎn)(a,f(a))且斜率為m的直線方程，它與y=f(x)的交點(diǎn)就是方程f(x)-f(a)=m(x-a)的解，這樣由f(x)-f(a)=m(x-a)得到的m就是斜率，也就是導(dǎo)數(shù)。

定義1若f(x)-f(a)=q(x)(x-a)，則f′(a)=q(a)。

1.1.2 張景中的導(dǎo)數(shù)定義[12-15]

思路：平均速度總是在該段某兩個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)速度之間，由此進(jìn)行抽象。

定義2設(shè)F(x)和f(x)都在區(qū)間I上有定義，若對I中任意兩點(diǎn)u

成立，則稱f(x)是F(x)的差商控制函數(shù)。若有|f(u)-f(v)|≤M|u-v|，其中M為大于零常數(shù)，則有f(x)是F(x)的導(dǎo)數(shù)。

1.1.3 林群的導(dǎo)數(shù)定義[13-15]

思路：由小路程=(瞬時(shí)速度+小變化)×短時(shí)間 =瞬時(shí)速度×短時(shí)間+小變化×短時(shí)間,得到

f(x+h)-f(x)=g(p)h+εh，則有|f(x+h)-f(x)-g(p)h|≤Ch2。

1.1.4 沈衛(wèi)國的導(dǎo)數(shù)定義[16]

思路：把曲線方程看作過該曲線上任意兩點(diǎn)的割線方程，則Δy/Δx不僅可以看作曲線增量與自變量增量之比，還可以看作割線增量與自變量增量之比，這樣采用不同的符號表示，先令Δg=1，再令Δx=0，從而得到結(jié)果(圖1)。

圖1 沈衛(wèi)國導(dǎo)數(shù)定義Fig.1 Derivative definition by SHEN Weiguo

1.2 4種導(dǎo)數(shù)定義的比較分析

1.2.1 共同點(diǎn)

4種導(dǎo)數(shù)定義均沒有使用極限，也都避開了0/0的情形，使用等式或不等式呈現(xiàn)運(yùn)算主體，通過定義其中的一部分為導(dǎo)數(shù)直接得到結(jié)果。背景分為兩種：“直線斜率”的幾何背景與“瞬間速度”的物理背景，其本質(zhì)相同。雖然有的研究是為了簡化常規(guī)微積分，有的是為了糾正0/0的誤區(qū)[16]，但是總的來說，這4種均使用了直觀形象的方法將導(dǎo)數(shù)的定義引出。

1.2.2 不同點(diǎn)

首先，應(yīng)用的簡潔性不同，通過兩個(gè)例子進(jìn)行對比。

由此可見，應(yīng)用的簡潔性影響著方法的普及率，若定義形式直觀形象且應(yīng)用簡潔，讀者就易于接受，該方法就易于推廣。通過對兩個(gè)簡單的冪函數(shù)求導(dǎo)的例子可以看出RANGE的導(dǎo)數(shù)定義使用起來最為簡潔。

其次，適用范圍不同。RANGE的導(dǎo)數(shù)理論僅適用于多項(xiàng)式函數(shù)；而后三者的導(dǎo)數(shù)理論可以適用于初等函數(shù)范疇。從條件來看，張景中要求導(dǎo)函數(shù)滿足李普希茲條件，而林群要求函數(shù)滿足小尾巴絕對值小于等于C|h|，其本質(zhì)均為一致可導(dǎo)性,而其他導(dǎo)數(shù)理論均采用點(diǎn)可導(dǎo)。一致可導(dǎo)體現(xiàn)的是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的一種特性，而點(diǎn)可導(dǎo)是函數(shù)在一點(diǎn)處的特性，也就是說，前者是整體性質(zhì)，后者是局部性質(zhì)，由一致可導(dǎo)可以推出點(diǎn)可導(dǎo)[17]。相比較而言，前三者的理論內(nèi)容較全面，如張景中還利用差商控制函數(shù)進(jìn)行了函數(shù)的近似值、增減性與凸性等方面的探究[14]，而沈衛(wèi)國的理論呈現(xiàn)內(nèi)容有限，很多細(xì)節(jié)還有待進(jìn)一步的完善。但是不得不說的是，雖然張景中、林群、沈衛(wèi)國均表示可以將導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用到冪級數(shù)之外的其他初等函數(shù)上，但是求解時(shí)均比較復(fù)雜，比常見教材中求導(dǎo)數(shù)要復(fù)雜，不具備簡便優(yōu)勢，因此這些新理論的關(guān)注點(diǎn)在于降低定義難度、促進(jìn)讀者對導(dǎo)數(shù)定義的理解，以期達(dá)到易懂易普及的目的。

2 微積分基本定理證明過程的比較分析

2.1 微積分基本定理證明過程的幾種形式

(2)

美國紐約州立大學(xué)奧爾巴尼分校RANGE R M教授、美國科學(xué)院院士LAX P、廣州大學(xué)的張景中院士和清華大學(xué)蕭樹鐵教授均給出了不同的證明方式，下面逐一闡述。

2.1.1 RANGE的證明[11]

證明由微分中值定理，有F(x+h)-F(x)=F′(c(x,h))h，其中c(x,h)在x與x+h之間。

再由微分中值定理，且要求|F″(x)|≤M，有

|F′(c(x,h))-F′(x)|=|F″(ξ)(c(x,h)-x)|≤M|c(x,h)-x|≤M|h|，

(3)

由不等式(2)、(3)得到

|F(x+h)-F(x)-F′(x)h|=|F′(c(x,h))h-F′(x)h|≤M|h|2，

(4)

將[a,b]分段，得到

(5)

則當(dāng)h→0時(shí)，有

(6)

2.1.2 LAX的證明[17-18]

證明設(shè)a=a0

(7)

則有

F′(ti)(ai-ai-1)=F(ai)-F(ai-1)，

(8)

累加得

(9)

2.1.3 張景中的證明[12-15]

(10)

2.1.4 蕭樹鐵的證明[19]

F(a+h)-F(a)=f(a)h+o1(h)，

(11)

F(a+2h)-F(a+h)=f(a+h)h+o2(h)，

(12)

…

F(a+kh)-F(a+(k-1)h)=f(a+(k-1)h)h+ok(h)，

(13)

…

F(b)-F(b-h)=f(b-h)h+on(h)。

(14)

把(11)～(14)式及省略的式子兩邊相加，左端消去中間各項(xiàng)，最后得到

(15)

或

(16)

取極限得

(17)

2.2 4種微積分基本定理證明過程的比較分析

2.2.1 定積分的出現(xiàn)順序與定義方式不同

LAX先定義了定積分再給出微積分基本定理的證明，而RANGE、張景中、蕭樹鐵均是在推導(dǎo)微積分基本定理的過程中順帶給出定積分定義；LAX、RANGE和蕭樹鐵的定積分均由“分割、求和、取極限”步驟得到，而張景中卻是將曲邊梯形的面積直接定義為定積分。且定義過程中“任意性”不同：常見教材定積分定義中存在兩個(gè)“任意”：一是對線段的分割是任意的，這對應(yīng)著小曲邊四邊形的面積具有任意性；二是在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]上取點(diǎn)ξk是任意的，這對應(yīng)著小矩形的高f(ξk)具有任意性RANGE采用了對線段進(jìn)行平均分割的方式；蕭樹鐵的定義中不存在這兩個(gè)任意：一是對線段采用平均分割；二是小區(qū)間上取點(diǎn)均采用左端點(diǎn)f(a+kh)(k=0,1,2,…,n-1)。

那么定積分定義中“兩個(gè)任意性”是否可以修改？只用“平均分割”是否會導(dǎo)致定義的不嚴(yán)謹(jǐn)？RANGE與蕭樹鐵都用了平均分割，無獨(dú)有偶，加拿大史迪沃特的微積分教材中也采用了平均分割[9]。其實(shí)，研究早已表明，定積分中兩個(gè)任意性的作用：反映客觀量的客觀屬性以及提供計(jì)算積分的靈活性。但實(shí)際上，兩個(gè)任意性只有一個(gè)在起作用，可以通過對特殊劃分任意取點(diǎn)完成，也可以通過任意劃分特殊取點(diǎn)完成[20]。因此，使用“平均分割”并不影響定義的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.2.2 定理證明的前提條件不同

2.2.3 定理證明方法不同

2.2.4 證明過程的接受效果不同

由于LAX已經(jīng)給出了定積分定義，因此其證明過程比較容易接受一些；張景中的證明偏直觀，在張景中與林群的合作文獻(xiàn)[14]中，利用“余弦面積正弦高”這一特例簡單直觀地給出微積分基本定理的思想，再從特殊到一般，給出定理的證明過程，過程中直接將面積定義為定積分，根據(jù)幾何關(guān)系得出了等式，文獻(xiàn)[12]中還有存在性的證明；而RANGE和蕭樹鐵事先并沒有定義定積分，因此證明過程的幾何理解比較困難。如蕭樹鐵的證明過程中存在著幾處會讓讀者疑惑的細(xì)節(jié)：首先，該教材中對微分的定義是從幾何圖形出發(fā)(圖2)，利用“以直代曲”的思想，用線性函數(shù)的值代替函數(shù)值，得到

圖2 微分定義Fig.2 Definition of differential

f(x+h)=f(x)+MQ+QP′=f(x)+f′(x)h+o(h)，

(18)

圖3 定積分定義Fig.3 Definition of definite integral

3 思考與建議