一類隨機(jī)泛函微分方程的μ偽概自守解

朱 平

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽 471934)

0 引言

在描述隨機(jī)動力系統(tǒng)時，帶有時滯的隨機(jī)微分方程更能精確地刻畫相應(yīng)的動力學(xué)性質(zhì)[1-2]。 此外，自概自守隨機(jī)過程提出以來，越來越多的學(xué)者對該過程進(jìn)行深入研究并應(yīng)用到隨機(jī)微分方程[3-6]。 作為概自守隨機(jī)過程的推廣之一，μ偽概自守隨機(jī)過程由DIOP M A等提出[7]，并研究其復(fù)合定理和空間完備性。到目前為止，μ偽概自守隨機(jī)過程在隨機(jī)泛函微分方程中的研究甚少，尤其是中立型隨機(jī)微分方程。為使μ偽概自守隨機(jī)過程的應(yīng)用更廣，本文研究如下一類由Brown運(yùn)動驅(qū)動的帶有μ偽概自守系數(shù)的非線性隨機(jī)泛函微分方程

(1)

在合適的條件下，證明該隨機(jī)微分方程存在唯一的p次μ偽概自守溫和解。該結(jié)論的研究進(jìn)一步豐富了μ偽概自守隨機(jī)過程的復(fù)雜動力學(xué)，因此，本文的研究有重要的理論意義和價值。

1 基本知識

令(Ω,F,P)是完備的概率空間，其濾子為{Ft}t≥0。 令W(t)是Q-Wiener過程，對一個Banach空間(H,‖·‖)和p≥1，用B=B((-∞,T],H)表示范數(shù)‖·‖B的完備空間，且對任意的X∈B，有Xt=X(t+·)∈B。此外，用Lp(P,H)表示所有H值的隨機(jī)變量X構(gòu)成的集合，滿足

設(shè)A:D(A)→H是解析半群{T(t)}t≥0的無窮小生成元，則對β>0(A-βI)是可逆的。 假設(shè)0∈ρ(A)，其中ρ(A)是A的預(yù)解集。進(jìn)而，可在定義域D((-A)β)上定義閉線性算子(-A)β，且對t>0,λ>0有‖(-A)βT(t)‖≤Mβt-βe-λt。

令B1是R上所有的Lebesgueσ-域構(gòu)成的集合，M是B1上所有的正測度μ構(gòu)成的全體，滿足μ(R)=+∞且μ([a,b])<+∞,對a,b∈R。此外，設(shè)

H0對所有的τ∈R，記μτ(A)=μ(a+τ:a∈A),A∈B1，則存在α>0和有界區(qū)間I滿足

μτ(A)≤αμ(A)，

其中A與I無交集。

下面介紹一些定義和引理。

定義1[7]令μ∈M，稱隨機(jī)過程X是p次μ遍歷的，如果

記所有這種隨機(jī)過程的集合為PAA0(R,Lp(P,H),μ)。

引理1[7]令μ∈M滿足H0，則PAA0(R,Lp(P,H),μ)是平移不變的。

定義2[7]稱隨機(jī)過程X:R→Lp(P,H)是p次μ偽概自守的，如果X=X1+X2，其中X1是p次概自守的即X1∈AA(R,Lp(P,H))且X2∈PAA0(R,Lp(P,H),μ)。記所有這種隨機(jī)過程構(gòu)成的集合為PAA(R,Lp(P,H),μ)。在上范數(shù)‖·‖∞下,對μ∈M是Banach空間。

2 存在唯一性

在介紹本節(jié)主要結(jié)論之前，先給出以下假設(shè)。

H1存在正常數(shù)M0和δ滿足

‖T(t-s)‖≤M0e-δ(t-s)。

H2g∈PAA(R×Lp(P,H)×B,Lp(P,Hβ),μ)，對任意的t∈R，y,y1∈B以及x,x1∈Lp(P,H)，有

H3h∈PAA(R×Lp(P,H)×B,L(P,Lp(P,H)),μ)，對任意的t∈R，y,y1∈B以及x,x1∈Lp(P,H)，有

定義3稱Ft-適應(yīng)的隨機(jī)過程x(t)是隨機(jī)微分方程(1)的溫和解，若

定理1令H1～H3成立，若

(2)

則隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的μ偽概自守溫和解。

證明對任意的x∈PAA(R,Lp(P,H),μ)，定義算子Φ為

(Φx)(t)=T(t)[x(0)-g(0,φ(0),φ)]+g(t,x(t),xt)+

在條件H2和H3下，不難證明g(t,x(t),xt)和h(t,x(t),xt)是μ偽概自守的隨機(jī)過程，從而可推出T(t)[x(0)-g(0,φ(0),φ)]是μ偽概自守的。根據(jù)定義2可知，存在隨機(jī)過程g1,h1∈AA(R,Lp(P,H))以及g2,h2∈PAA0(R,Lp(P,H),μ),使得g=g1+g2并且h=h1+h2。 因此Φ(t)=g(t,x(t),xt)+Φg1,h1(t)+Φg2,h2(t)，其中

下面分兩步進(jìn)行證明。

第1步算子Φ是定義在空間PAA(R,Lp(P,H),μ)上的自映射。

(3)

(4)

利用H?lder不等式以及Burkholder-Davis-Gundy不等式，得

利用(3)、(4)和Lebesgue控制收斂定理， 則

因為g2,h2∈PAA0(R,Lp(P,H),μ)，利用引理1可得

利用Lebesgue控制收斂定理，則有(Φg2,h2x)(t)∈PAA0(R,Lp(P,H),μ)。 進(jìn)一步，可推出(Φx)(t)∈PAA(R,Lp(P,H),μ)。

第2步算子Φ是壓縮映射。

利用(2)，則

根據(jù)第一步和第二步的證明，利用Banach不動點(diǎn)定理可得隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的μ偽概自守溫和解。

定理2令H1～H3成立，若

(5)

則隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的全局指數(shù)穩(wěn)定的μ偽概自守溫和解。

證明由定理1可知，在條件(5)下，隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的μ偽概自守溫和解x*。進(jìn)而，假設(shè)x是方程(1)任意的溫和解，則

在條件H1～H3下，計算得

在條件(5)下，存在ε∈(0,δ)使得η<1，其中

對任意的T0>0，可得下列積分

即

因為ε∈(0,δ)且η<1，故當(dāng)t→+∞時，有

eεtE‖x(t)-x*(t)‖p→0,

即x*是全局指數(shù)穩(wěn)定的。