基于差商的插值法拓展思路與教學方法研究

鄒 樂，吳志澤，謝 進，檀 明，王曉峰

(合肥學院 人工智能與大數(shù)據(jù)學院，安徽 合肥 230601)

計算方法又稱數(shù)值分析、數(shù)值計算方法，是一門科學有效計算各種數(shù)學問題的數(shù)值近似解的課程，具有工程應用的嚴密科學性和高度廣泛性的特點[1-2]。函數(shù)插值與逼近論歷史悠久，而插值問題是計算數(shù)學中的一個最基礎的問題。插值問題是指根據(jù)給定的離散數(shù)據(jù)構造一個連續(xù)定義的簡單函數(shù)，使得它與被逼近的函數(shù)在給定點的值完全一致。在已知數(shù)據(jù)點較少時，插值技術在工程實踐和科學實驗中有著廣泛而又重要的應用，如建筑工程的外觀設計、圖像恢復圖像重建、根據(jù)離散數(shù)據(jù)繪制光滑曲線、物理實驗中的數(shù)據(jù)分析與處理、地理信息數(shù)據(jù)的處理、數(shù)值逼近、構造圓弧、圖像縮放、圖像變形、圖像配準等[3]。在數(shù)字圖像處理的問題中，使用插值方法處理圖像重建等，能有效培養(yǎng)學生的科學探究能力、創(chuàng)新思維和計算思維能力[4]。

插值問題在教科書中一般的提法是[2]：若通過某種方法己知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的一組對應關系{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}，插值的目的是根據(jù)給定數(shù)據(jù)，尋找一個解析函數(shù)P(x)近似地代替f(x)。鑒于多項式具有良好的性質(zhì)，研究較多的是多項式函數(shù)。計算方法課程中主要介紹的是Lagrange多項式，Newton多項式和Hermite多項式三種常見的插值方法[1-2]。本文以Newton插值多項式為基礎，結合計算方法課程教學實踐和最新的插值研究科研成果，拓展計算方法課程中傳統(tǒng)的插值教學方法。首先，基于構造法引導學生探索基于反差商的連分式插值方法，然后，探討構造基于含參數(shù)差商的Newton型插值多項式，最后，研究基于含參數(shù)反差商的Thiele型連分式有理插值的構造過程，并給出插值法的多元推廣等進一步拓展思路。本文以全新的視角探索計算方法課程中插值與逼近的教學方法，致力于培養(yǎng)學生的計算思維、創(chuàng)新思維與科研探索精神。

1 基于差商的插值法拓展思路分析

1.1 Newton插值多項式

Lagrange插值公式是一種常用的插值公式，構造簡單，但在增加插值結點時插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)全部要重新構造，不便于實際應用。為了克服上述缺點，在一般的教材中給出了Newton插值多項式如式(1)所示。[2]

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(1)

其中系數(shù)f(x0),f[x0,x1],…,f[x0,x1,…,xn]是f(x)的各階差商。

表1 差商表

由多項式的唯一性定理[1]，在n+1個點x0,x1,…xn上構造給定插值數(shù)據(jù)的次數(shù)不超過n的多項式是唯一的。但對于Newton插值公式來說，當增加一個插值節(jié)點時，只需在Newton插值多項式的后面添加一項即可，但當節(jié)點較多時，高次插值多項式具有不穩(wěn)定性[2]。

1.2 Thiele插值連分式

為了解決高次插值多項式不穩(wěn)定性問題，在計算方法課程教學過程中，在基于差商的Newton插值多項式基礎上，啟發(fā)學生思考，將差商倒過來引入反差商，探索有理插值問題，將科學探究精神有機地融入教學過程中，達到潤物無聲的育人效果。

由上述公式確定的φ[x0,x1,…,xk]為函數(shù)f(x)在點x0,x1,x2,…,xk處的k階反差商?？傻梅床钌瘫砣绫?所示。

表2 反差商表

基于表2反差商，可以構造Thiele連分式有理插值[2-3]如式(2)所示。

令

φ[xi]=f(xi),i=0,1,2,…,n

(2)

(3)

…

(4)

(5)

其中φ[x0,x1,…,xk]≠0，∞；k=0,1,…,n。為f(x)在x0,x1,…,xk處的k階反差商，易證Rn(xi)=f(xi),i=0,1,…,n。

由Thiele連分式插值理論，由(5)式得到的有理插值可以解決了插值多項式的高次不穩(wěn)定問題，但由(4)式知，k階反差商φ[x0,x1,…,xk]在構造過程中可能會出現(xiàn)不存在問題，且構造的有理插值可能會存在不可達點[5]。

1.3 含參數(shù)Thiele連分式插值

為了解決反差商不存在或者有理插值的不可達點這類特殊插值問題，引導學生發(fā)現(xiàn)此類問題的關鍵所在，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和嚴謹細致的工作作風，鍛煉學生的理性思維能力。結合教學實踐和最新的插值研究科研成果，給出幾種常見的解決方法：①調(diào)整插值節(jié)點[6]，②用差商代替反差商[7]，③用塊反差商代替反差商[3,8]。這幾種方法雖然避免了反差商不存在的問題，但是存在不能事先確定調(diào)整哪個節(jié)點，在何時利用差商代替反差商等問題。近年來，李和Zou等[5,9]提出了含參數(shù)的Thiele連分式有理插值，與上述方法相比，含參數(shù)的Thiele連分式插值的計算方法更簡便實用，便于學生理解和計算機編程實現(xiàn)。

含參數(shù)Thiele連分式插值可以分為單個參數(shù)和多個參數(shù)的情形。含多個參數(shù)的情形中一般僅研究雙參數(shù)情形，而含雙參數(shù)的一元Thiele型插值多項式的構造又分為含單個三重節(jié)點參數(shù)化Thiele型連分式插值和含雙二重節(jié)點參數(shù)化Thiele型連分式插值。本節(jié)以含單個參數(shù)的Thiele連分式插值為例展示含參數(shù)差商的構造過程，培養(yǎng)學生的科研創(chuàng)新意識。

考慮將原插值數(shù)據(jù)點中的任意一點(xk,yk),(k=0,1,…,n)看作一個二重結點，其它插值節(jié)點的重數(shù)保持不變。

令

(6)

當j=1,…,k+1，對于i=j,j+1,…,n，如式(7)所示。

(7)

對于i=k+1,k+2,…,n，如式(8)所示。

(8)

當j=k+2,k+3,…,n，對于i=j,j+1,…,n，如式(9)所示。

(9)

可以構造如下形式的含參數(shù)λ的Thiele型連分式有理插值，如式(10)所示。

(10)

相應于式(6)-(10)的反差商表如表3所示。

表3 含單參數(shù)反差商表

下面定理1說明了構造的插值公式(9)是滿足插值條件的。

定理1 對于給定的離散各節(jié)點互不相同的插值數(shù)據(jù){(x0,y0),(x1,y1),L,(xn,yn)}，由式(10)所確定的Thiele型連分式有理插值函數(shù)滿足插值條件，如式(11)所示。

(11)

當i=k+1時，

當n≥i≥k+2時，

從反差商表3中可以看出，與原Thiele連分式有理插值式(5)相應的反差商表2相比較，兩表中元素的上半部分(k+1行)和左半部分(k+2列)是相同的，即表3中含參數(shù)的反差商表僅僅是在反差商表2中增加了一行。不同之處在于第k+2行的增加，導致自第k+2行和第k+3行開始發(fā)生了變化，定理1的證明與原Thiele連分式有理插值定理的證明完全類似。這種構造含參數(shù)反差商的思路，不僅有助于學生打牢基礎理論知識，激發(fā)學生的學習積極性，而且能培養(yǎng)學生除舊布新的創(chuàng)新意識和能力，求真務實的科學精神和嚴謹細致的工作作風。

1.4 含參數(shù)Newton插值多項式

類似于1.3節(jié)中的討論，基于同樣的構造思路可以得到含單參數(shù)的差商表如表4所示。

表4 含單參數(shù)差商表

考慮將原插值數(shù)據(jù)點中的任意一點(xk,yk),(k=0,1,…,n)作為一個二重結點，其它插值節(jié)點的重數(shù)保持不變。含參數(shù)Newton插值多項式可利用下列算法構造。

Step5：基于含參數(shù)差商表4和Step1—Step4中含參數(shù)差商式構造如下形式的含單參數(shù)的Newton型插值多項式[10]如式(12)所示。

(12)

其中

下面定理2說明了構造的含參數(shù)Newton插值公式(12)是滿足插值條件的。

定理2 對于給定的離散各節(jié)點互不相同的插值數(shù)據(jù){(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}，由(13)式所確定的Newton插值多項式函數(shù)滿足插值條件如式(13)所示。

(13)

當i=k+1時，

當n≥i≥k+2時，

由于新構造的參數(shù)化Newton插值多項式和Thiele連分式插值中均含有參數(shù)，在插值數(shù)據(jù)給定的前提下，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)獲得多個插值函數(shù)，使其在易于應用的同時便于理論研究。在不改變給定插值數(shù)據(jù)的前提下，在參數(shù)化Newton插值多項式和Thiele連分式插值函數(shù)中，選擇合適的參數(shù)可以對插值區(qū)域內(nèi)的任意點的函數(shù)值進行調(diào)整，進而修改曲線的形狀，因此可將其應用于曲線設計，根據(jù)實際設計需要，自由地修改曲線形狀，使之滿足實際需要[9-10]。在實際教學過程中，這種在差商和反差商的構造過程中增加參數(shù)的思路學生易于接受，能培養(yǎng)學生用于探索的科研精神。

1.5 基于差商的插值法進一步拓展方法研究

在1.1-1.4節(jié)中，基于遞歸計算的差商方法，我們探討構造了幾種一元基于反差商和含參數(shù)的差商(反差商)的插值方法。事實上，基于1.1-1.4節(jié)中差商表的構造方法，我們可以繼續(xù)引導學生對差商進行拓展，構造混合差商、關聯(lián)差商、差商指、基于塊的差商等多種新型差商，進而得到出多種一元混合有理插值公式[3,7-11]。此外，在實際應用中，多元插值出現(xiàn)較為普遍，因此在教學過程中，引導學生將二元插值看成先沿x方向的插值再沿y方向的插值，或者看成先沿y方向的插值再沿x方向的插值，基于上述各種擴展思路可以構造多種二元混合有理插值[3,8,11]。在實際教學過程中，我們還可以將標準的Hermite插值問題都歸結到Newton插值公式上[12-13]，而且可以高效的解決問題。此外，在一些實際的插值問題中，如果已知的插值數(shù)據(jù)在一部分節(jié)點處給出了函數(shù)值和導數(shù)值，在另一部分節(jié)點處只給出了函數(shù)值，仍屬于Hermite插值問題，一般稱之為不完全Hermite插值或者間接Hermite插值或非標準Hermite插值問題。對于這種問題學者們給出一些求解方法，但都較為復雜，不利于理解。事實上，對于非標準Hermite插值[12-13]，我們可以通過引入?yún)?shù)構造重節(jié)點差商的方法，使非標準Hermite插值轉(zhuǎn)化為標準Hermite插值進而求解。

構造法是一種技巧性很高的處理問題方法，可以化抽象為直觀，化復雜為簡單，加深學生對插值教學內(nèi)容的理解和掌握。插值法拓展使用的構造法是計算思維中的一種經(jīng)典的處理問題方法，核心是通過聯(lián)想和劃歸的思想，根據(jù)題設條件的特征恰當構造一種新的方法來解決問題[14]。插值法公式特別多，學生學習掌握起來有一定的難度，為此，在教學實踐過程中，通過引入構造法思想結合最新的插值理論科研成果，加深學生對教學內(nèi)容的理解，激發(fā)學生的學習興趣。在插值構造過程中讓學生比較不同插值方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，學生能夠較為容易的掌握大量繁瑣公式。

2 數(shù)值例子

本節(jié)給出一個簡單的數(shù)值例子說明第2節(jié)中幾種基于差商的插值法拓展公式的有效性。

例.設給定一元插值數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 插值數(shù)據(jù)

根據(jù)差商公式[2]可得差商表如表6所示。

表6 差商表

根據(jù)含參數(shù)差商公式(12)-(17)可得含單參數(shù)差商表如表7所示。

表7 含參數(shù)差商表

根據(jù)差商公式(2)-(4)可得反差商表如表8所示。

表8 反差商表

根據(jù)差商公式(6)-(10)可得含單參數(shù)反差商表如表9所示。

表9 含參數(shù)反差商表

由差商表6可得到Newton插值多項式，如式(14)所示。

(14)

由差商表7可得到含單參數(shù)Newton插值多項式，如式(15)所示。

(15)

易證P(xi)=P1(x) (i=0,1,2)。

由反差商表8可得到Thiele連分式有理插值，如式(16)所示。

(16)

由于r(x0)=r(2)=0≠1，(2,1)是一個不可達點。

利用文中1.3節(jié)算法，增加節(jié)點的重數(shù)，引入?yún)?shù)λ(λ≠0)，得到如表9所示的含單參數(shù)反差商表，可以得到參數(shù)化Thiele型連分式有理插值，如式(17)所示。

(17)

易證R2(xi)=fi(i=0,1,2)。

因此通過選擇不同的參數(shù)λ，新構造的有理函數(shù)R2(x)總是滿足插值條件。由于新構造的滿足插值條件的Thiele連分式插值函數(shù)中均含有參數(shù)，R2(x)實際上是多個有理函數(shù)，如果我們選擇λ=-1，則如式(18)所示。

(18)

如果我們選擇λ=3，則如式(19)所示。

(19)

我們還可以選擇其他的參數(shù)α，λ，參數(shù)化插值P1(x)和R2(x)可以變?yōu)槠渌暮瘮?shù)，方便在實際中使用。

3 結論

針對計算方法課程中Newton插值多項式方法的特點，本文對差商的幾種改進方法從構造思路上進行拓展，研究探討了構造法在插值理論教學實踐中的應用，得到了Thiele有理插值、含參數(shù)Newton插值多項式和Thiele連分式有理插值方法。闡述了如何利用計算思維中的構造法思想培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高學生解決實際問題的能力，形成和發(fā)展學生數(shù)學思維，提高插值與逼近法的教學質(zhì)量。數(shù)值算例使學生更加深刻的理解插值構造過程，通過教學實踐和最新的插值理論研究科研成果演示，基于構造法的插值理論拓展與教學方法有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新和團結協(xié)作精神，訓練學生科學思維方法，提升學生的創(chuàng)新思維和探索精神，激發(fā)學生科技報國的使命擔當和家國情懷。