基于復(fù)值稀疏貝葉斯的Hilbert變換計算方法

謝偉翔，莫 艷

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

Hilbert變換是信號分析與處理中的重要理論工具。由于復(fù)值Cauchy核在原點的奇異性，所以關(guān)于實部的Hilbert變換的計算是一項艱巨的任務(wù)[1-2]。計算Hilbert變換最常用的方法是快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform， FFT)。最近，在文獻[1-2]中給出了一些計算Hilbert變換的新方法。對于L2空間中的連續(xù)函數(shù)及C3∩L2的函數(shù)，學(xué)者們分別提出了兩種樣條的方法去計算Hilbert變換，從逼近精度上兩種樣條方法均優(yōu)于FFT。隨后，在文獻[3]中首次使用復(fù)解析方法，提出了利用自適應(yīng)傅里葉分解(Adaptive Fourier Decomposition， AFD)方法來計算Hilbert變換，充分利用解析空間中信號的實部和虛部是由Hilbert變換相關(guān)聯(lián)的實值函數(shù)的特點來計算Hilbert變換。此方法適用于一般的非光滑和非連續(xù)信號，并提供顯式的有理函數(shù)逼近，Takenaka-Malmquist (TM)系在有理函數(shù)逼近中起了重要的作用。雖然利用AFD計算Hilbert變換取得了較好效果，但其基于最大選擇原理來自適應(yīng)地選擇最佳參數(shù)時，需要窮盡單位開圓盤中所有點，非常耗時。

近年來，稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法成為機器學(xué)習(xí)中的一個研究熱點，它是貝葉斯優(yōu)化中十分重要的一類，是在貝葉斯理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，改進后的貝葉斯理論在文獻[4]中也有提到。建立在稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)機器稱為相關(guān)向量機(Relevance Vector Machine， RVM)，由Tipping[5]在2000年提出。它能夠利用數(shù)據(jù)自身的特性對信號和圖像實現(xiàn)最優(yōu)的稀疏表示，已應(yīng)用到智能檢索、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。大多數(shù)基于稀疏貝葉斯的算法處理的是實值數(shù)據(jù)，然而在實際應(yīng)用中還有許多復(fù)值信號需要處理。在文獻[6]中利用同一信號實部與虛部具有相同的稀疏形式提出了復(fù)值貝葉斯壓縮感知算法。本文將提出基于Szeg?核的復(fù)值稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法(Complex Relevance Vector Machine， CRVM)，構(gòu)造基于Szeg?核的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的Hilbert變換計算方法?；赟zeg?核的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，可以得到稀疏的有理逼近。事實上，由于TM系可通過對Szeg?核做Gram-Schmidt正交化過程得到，因而基于Szeg?核的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法也可以看成自適應(yīng)傅里葉分解的一種，相比于AFD， 它的優(yōu)勢在于不需要窮盡單位開圓盤所有點去選擇參數(shù)，并且最終所得到的模型是稀疏的。

對于給定能量有限信號s，由著名的Plemelj公式[7]有

如果s(t)是給定的實信號，那么有

解析信號形成L2(R)的一個封閉的子空間，即Hardy空間H2(R)。相應(yīng)的上半平面的解析函數(shù)構(gòu)成了Hardy空間H2(C+)。 Hardy空間H2(R)和H2(C+)是等距同構(gòu)的。

對于周期信號，也有類似的理論。對于一個有限能量的周期信號s，有

有限能量的周期解析信號構(gòu)成了L2(?D)的一個閉子空間，稱其為單位圓周的Hardy空間，記為H2(?D)， 單位圓周的Hardy空間H2(?D)與單位圓盤的Hardy空間是H2(D)同構(gòu)的。本文將討論單位圓周的情況。

1 基于Szeg?核的CRVM

有理正交系，也稱為TM系，在自適應(yīng)傅里葉分解中起了十分重要的作用，在單位開圓盤空間D中，TM系定義為

CRVM將基于貝葉斯公式進行推導(dǎo)，它研究的是將一個函數(shù)運用貝葉斯模型概率表示為多個基本函數(shù)的線性疊加。稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)與支持向量機都具有共同的核函數(shù)形式，然而稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)可通過迭代優(yōu)化刪除大量的訓(xùn)練樣本和核函數(shù)且不需要進行參數(shù)控制，僅根據(jù)訓(xùn)練樣本自動調(diào)整，它能夠充分挖掘和利用數(shù)據(jù)的先驗信息，不僅可以減少異常值的影響，而且可以“剔除”大量不必要的基。

訓(xùn)練目標(biāo)值的似然分布通過對權(quán)值變量進行積分，即

2 收斂性

基于Szeg?核的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)采用最大期望算法(EM算法)或第二類最大似然估計進行參數(shù)的迭代，由算法的性質(zhì)可以保證每次迭代都降低成本函數(shù)，直到達到一個穩(wěn)定點。因而基于Szeg?核的稀疏貝葉斯算法是全局收斂的。

3 實驗

下面將以一個例子來說明該方法的有效性。本文研究了文獻[3]中的單位圓盤內(nèi)的奇異函數(shù)：

顯然s+是一個解析信號或說是在H2(D)內(nèi)解析的信號。由于解析信號的虛部是其實部的Hilbert變換，當(dāng)有理解析函數(shù)序列逼近一個解析信號時，該序列中函數(shù)的實部和虛部分別逼近原始的實值信號及實值信號的Hilbert變換。圖1、圖2和圖3分別給出了利用CRVM、FFT及AFD求Hilbert 變換的結(jié)果。

圖1 s +(z)的虛部與CRVM得到的Hilbert變換比較Fig.1 Comparison of the imaginary part of s +(z) and the Hilbert transform given by CRVM

圖2 s +(z)的虛部與FFT得到的Hilbert變換比較Fig.2 Comparison of the imaginary part of s +(z) and the Hilbert transform given by FFT

圖3 s +(z)的虛部與用AFD得到的Hilbert變換比較Fig.3 Comparison of the imaginary part of s +(z) and the Hilbert Transform given by AFD

近似結(jié)果顯示，所提方法CRVM效果優(yōu)于AFD和FFT。在解析信號s+(z)虛部的高振蕩部分，CRVM和AFD逼近效果優(yōu)于FFT， 而且CRVM和AFD能給出逼近函數(shù)的解析表達式，便于后續(xù)應(yīng)用，而FFT只能得到一組近似的離散數(shù)據(jù)。比較AFD和CRVM，顯然CRVM所用基的個數(shù)少于AFD，而且其逼近效果優(yōu)于AFD。另外，CRVM由于不需要每一步在單位圓盤內(nèi)根據(jù)最大選擇原理選擇參數(shù)，所用計算時間及復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于AFD。

4 總結(jié)

本文提出了基于復(fù)值稀疏貝葉斯定理近似計算Hilbert變換的方法。該方法是一種復(fù)解析方法，適用于所有能量有限的信號，能夠在計算Hilbert變換的同時給出解析信號的稀疏有理逼近。與AFD方法相比，所提方法不需要窮盡單位圓盤的點去尋找參數(shù)，運算速度快且具有稀疏性。實驗結(jié)果驗證了所提方法的有效性。