高三二輪復(fù)習(xí)關(guān)注“五個(gè)梯度”
——記一節(jié)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課對(duì)二輪復(fù)習(xí)的思考

☉江蘇省海州高級(jí)中學(xué) 陶 飛

高三二輪復(fù)習(xí)關(guān)注“五個(gè)梯度”
——記一節(jié)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課對(duì)二輪復(fù)習(xí)的思考

☉江蘇省海州高級(jí)中學(xué) 陶 飛

高三二輪復(fù)習(xí)不再是簡(jiǎn)單的做題講題，二輪復(fù)習(xí)課要體現(xiàn)教師的水平，要上出有“深度”的課.本節(jié)課從高三二輪課堂教學(xué)要貫徹基礎(chǔ)性、綜合性、發(fā)展性、探究性和創(chuàng)造性等五個(gè)梯度對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行引領(lǐng).

一、設(shè)計(jì)意圖

1.通過對(duì)課前基礎(chǔ)知識(shí)的設(shè)置體現(xiàn)二輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)性，讓學(xué)生通過基礎(chǔ)知識(shí)練習(xí)掌握?qǐng)A中基本概念、基本方法以及高考考查形式.

2.通過基礎(chǔ)知識(shí)4的逐步變化延展體現(xiàn)了二輪復(fù)習(xí)的發(fā)展性和探究性，由一個(gè)簡(jiǎn)單的小題開始，逐步變換條件增加題目的復(fù)雜性與綜合性，讓學(xué)生在發(fā)展變化的過程中探究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生通過現(xiàn)象去尋找問題本質(zhì)的能力，而不是通過“類型+方法”這種機(jī)械記憶的方法去解題.

3.例1的一系列變化體現(xiàn)了二輪復(fù)習(xí)的綜合與探究性，通過三種方法的解決讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向——“數(shù)”與“形”，并通過連接高考與變式訓(xùn)練的研究讓學(xué)生探究到三個(gè)問題“形”的本質(zhì)就是圓.

4.例2的設(shè)置體現(xiàn)了二輪復(fù)習(xí)的創(chuàng)造性，前面問題的研究都是點(diǎn)在圓外，通過研究圓心到直線的距離得到的結(jié)論是：距離存在最小值，無最大值；角度存在最大值，無最小值.到了例2中變成了點(diǎn)在圓內(nèi)，整個(gè)性質(zhì)正好相反，讓學(xué)生體會(huì)條件略微變換可能產(chǎn)生截然不同的結(jié)果，創(chuàng)造出一個(gè)新的結(jié)果出來.

二、教學(xué)過程

前面幾個(gè)基礎(chǔ)題較為簡(jiǎn)單，對(duì)過答案后學(xué)生課下通過小組自主學(xué)習(xí)解決存在的問題.

基礎(chǔ)知識(shí)4：過直線x+y-2=0上點(diǎn)P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若∠APB=60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.

［生1］課前在黑板上板演基礎(chǔ)題4的解題過程：

解：連接OA，OP，易知三角形OPA為直角三角形，設(shè)點(diǎn)P（x，2-x），由∠APO=30°，所以O(shè)P=2.

［師］：這個(gè)題目你是如何分析轉(zhuǎn)化的？

［生1］：根據(jù)相切構(gòu)造Rt△APO，由∠APO=30°可知OP=2，進(jìn)而可以求出點(diǎn)P（2，0）或P（0，2）.

［師］：很好，（追問）為什么想到這樣轉(zhuǎn)化？

［生1］：圓心是圓的重要構(gòu)成，所以解決圓的問題一定要抓住圓心，就把條件轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)P到圓心O的距離問題.

［師］：很好，道出了圓問題的實(shí)質(zhì).

變式1：如果讓點(diǎn)P動(dòng)起來，當(dāng)點(diǎn)P在直線x+y-2=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)∠APO能等于60°嗎，請(qǐng)同學(xué)們思考？

［師］：∠APO的大小由誰決定呢，點(diǎn)P在變化時(shí)∠APO是如何變化的？

［師］：漂亮，把問題最終又轉(zhuǎn)化成到圓心的距離問題，抓住了問題的關(guān)鍵.

［師］：通過OP的變化，可以發(fā)現(xiàn)∠APO是如何變化的？

［生3］：當(dāng)點(diǎn)P在圓外直線上變化時(shí)∠APO存在最大值，不存在最小值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

［師］：剛才只是P點(diǎn)在變，如果我們讓點(diǎn)A也在圓上運(yùn)動(dòng)呢，這時(shí)∠APO又是怎樣一種情況呢？

［師］：當(dāng)點(diǎn)A在圓上變化時(shí)∠APO能等于60°嗎，為什么呢？

［生4］：當(dāng)點(diǎn)A是切點(diǎn)時(shí)∠APO已經(jīng)是最大了，點(diǎn)A向圓心方向運(yùn)動(dòng)時(shí)∠APO在變小，所以由上面的結(jié)論知在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)∠APO不可能等于60°.

［師］：∠APO能等于30°嗎，請(qǐng)看變式2.

變式2：已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P（x0，y0）在直線x+y-2=0上，圓O上是否存在一點(diǎn)A使得∠APO=30°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［生5］：由變式1可知，當(dāng)PA是圓的切線時(shí)∠APO取最大值，只要滿足∠APB≥30°即可；轉(zhuǎn)化成0

［師］：很好，請(qǐng)把這個(gè)方法再提煉一下.

［生5］：先轉(zhuǎn)化成極限相切情況，再轉(zhuǎn)化成OP長度問題.

［師］：轉(zhuǎn)化成相切是一個(gè)極限特殊位置問題，如果不取極限情況呢，當(dāng)點(diǎn)A變化時(shí)，PA與圓是什么關(guān)系，又可以怎么思考呢？

（通過設(shè)問把學(xué)生從切線垂直問題引到弦的垂直上，兩類問題最終統(tǒng)一到利用直角三角形轉(zhuǎn)化到圓心的距離問題上來）

［生6］：可以過圓心O向PA作垂線，垂足為M，在直角三角形OPM中，由∠APO=30°可得

又0

［師］：你是如何想到這種方法的？

［生6］：圓上除了切線直角三角形外，我們還常常用到弦的特征三角形，所以當(dāng)點(diǎn)A變化時(shí)，PA是圓的割線可以構(gòu)成弦，我就想到了構(gòu)造特征三角形求解，最終轉(zhuǎn)化成0

［師］：漂亮，通過點(diǎn)A的變化我們把切線與弦的問題最終都統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成與圓心O有關(guān)的距離問題.

［師］：如果我們?cè)龠M(jìn)一步在圓上構(gòu)造兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢，請(qǐng)看變式3.

變式3：已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P（x0，y0）在直線x+y-2=0上，圓O上是否存在兩點(diǎn)A、B使得∠APB=60°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（學(xué)生根據(jù)上述問題的求解思路很快把這個(gè)問題解決了）

小結(jié)思考：通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)4問題串的設(shè)置，由淺入深、循循善誘讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的生成發(fā)展過程，通過一題多變?cè)俚蕉囝}歸一，讓學(xué)生探究到了解決這類問題的核心思想就是轉(zhuǎn)化成到圓心的距離問題.并在解題中發(fā)現(xiàn)到一個(gè)結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在圓外直線上變化時(shí)，∠APO存在最大值，無最小值；OP存在最小值，無最大值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

例1 已知圓O的方程為x2+y2=1，若直線y=k（x-2）上存在一點(diǎn)P，過P作的圓的兩條切線切點(diǎn)為A、B，若∠APB=120°，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（［生7］提前在黑板上板演了解題過程）

［師］：存在性問題除了轉(zhuǎn)化成極限情況考慮還有哪些方法？（有兩位學(xué)生主動(dòng)站起來）

［生8］（主動(dòng)站出來）：可以把存在問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與方程思想，設(shè)點(diǎn)P（x，k（x-2）），由OP=則（1+k2）x2-4k2x+4k2-要存在這樣的點(diǎn)P只要方程有解，所以，由Δ≥0，解得

點(diǎn)評(píng)：我們解決問題一般從“數(shù)”、“形”兩個(gè)方面入手，三位同學(xué)很好地利用了這兩個(gè)方向把較為復(fù)雜的存在性問題，化歸到容易上手的角度去解決，尤其是第三位同學(xué)在充分理解了圓的定義、直線與圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)后，給大家提供了一個(gè)精彩的解法.圓的很多問題我們都可以轉(zhuǎn)化到“形”的角度去求解，這是它與圓錐曲線問題的一個(gè)不同之處.

［師］：在高考中我們也常考查這類問題.

鏈接高考：（2012年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________.

（學(xué)生利用例1掌握的方法很好地從“數(shù)”、“形”解決了這個(gè)問題）

［師］：剛才我們化“無形”為“有形”是抓住了圓的定義，我們是如何找到圓的呢？請(qǐng)同學(xué)們思考，并看變式.

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的方程為x2+y2= 4，P為圓O上一點(diǎn)，若存在一個(gè)定圓M，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線PA，PB切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得∠APB恒為120°，求圓M的方程.

［師］：要想確定圓的方程需要確定哪幾個(gè)量？

［生］：需要抓住圓心和半徑.

［師］：那么應(yīng)該選取哪個(gè)方向作為突破口？

［生10］：只要確定圓心M的位置就能很快地解題.假設(shè)圓心M與圓心O不重合，我們先不去解題，先考慮這樣一個(gè)問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的方程為x2+y2=4，P為圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)不同于O的一個(gè)定點(diǎn).大家能不能通過這個(gè)條件自己編個(gè)題目提出問題或者看到這個(gè)條件能不能聯(lián)想到曾經(jīng)解決過什么問題.

很多同學(xué)在下面響應(yīng)：求圓上點(diǎn)到點(diǎn)M距離的最大值和最小值.

［生10］：大家題目編完就發(fā)現(xiàn)了什么問題了？

［生］：你的假設(shè)不成立，所以圓心M與圓心O是重合的.

［生10］：得到圓心M與圓心O是重合的，那么問題我們就解決了，剩下的就是簡(jiǎn)單的計(jì)算了.假設(shè)圓M的半徑為r，由當(dāng)兩個(gè)圓心重合時(shí)即所以圓M：x2+y2=3.

［師］：太漂亮了，通過一個(gè)假設(shè)、一個(gè)設(shè)問在不知不覺中就把這個(gè)問題解決了.

小結(jié)思考：例1問題串的設(shè)置，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)4的再發(fā)展，基礎(chǔ)知識(shí)4是把問題轉(zhuǎn)成“到圓心的距離”問題后圍繞距離來進(jìn)行解題，例1問題把這個(gè)“到圓心的距離”再發(fā)展成圓把復(fù)雜的變化問題化歸到圓的定義，再從“形”入手使得抽象的問題圖形化，解決起來更加直觀、簡(jiǎn)潔明了，在解題中也體現(xiàn)了上述的結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在圓外直線上變化時(shí)∠APO存在最大值，無最小值；OP存在最小值，無最大值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

［師］：上述題目都是點(diǎn)在圓外問題，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)又會(huì)發(fā)生怎樣的變化，請(qǐng)看例2.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內(nèi)，動(dòng)直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為16，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（［生11］板書）：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-m）2+（y-2）2= 32，由點(diǎn)P在圓內(nèi)，得

由題意存在∠ACB=90°，此時(shí)圓心C到直線AB的距離d=4，

在學(xué)生講解思路前設(shè)置兩個(gè)問題：

問題1：直線變化時(shí)∠ACB是如何變化的，受誰影響？

問題2：∠ACB是否存在最值？如果存在請(qǐng)指出相應(yīng)位置.

在學(xué)生充分思考、展示的基礎(chǔ)上，通過幾何畫板進(jìn)一步揭示∠ACB的變化規(guī)律以及與CP的關(guān)系.

［師］：A的面積最大值能為16的關(guān)鍵是什么？又是如何轉(zhuǎn)化解題的？

［生11］：∠ACB能等于90°（也即圓心C到直線AB的距離能等于4），想到這一點(diǎn)后，原問題就轉(zhuǎn)化成|CP|≥4.

（直接用該生的方法可以求得∠ACB=90°是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，若用S=d·當(dāng)且僅當(dāng)d=4時(shí)取等號(hào)，也可以得到）

［師］：很好，通過研究∠ACB的變化規(guī)律揭示了弦心距與CP的關(guān)系.

小結(jié)思考：例2是對(duì)前面研究的延伸和鞏固，思想方法是一脈相承的，都是轉(zhuǎn)化成到圓心的距離后，針對(duì)存在性進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化求解.

在用幾何畫板把例2和前面題目的對(duì)比中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，角存在最小，無最大值；距離存在最大值無最小值.這體現(xiàn)了高三二輪復(fù)習(xí)的探究性和創(chuàng)造性——條件略作改變就得到一個(gè)截然相反的結(jié)論.

三、教學(xué)反思

本節(jié)課主要解決的問題是，把圓上切線、弦長、垂直等有關(guān)問題化歸到與圓心的距離上進(jìn)行求解，化歸后和學(xué)生一起從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面進(jìn)行解題.第一個(gè)問題串讓學(xué)生體會(huì)到圓上問題的核心是圓心，把條件轉(zhuǎn)化到圓心上就能很快解題，第二個(gè)問題串的設(shè)立是對(duì)第一個(gè)的發(fā)展與提升，把圓心的問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成圓的問題，透過圓從“形”的角度解決問題更簡(jiǎn)潔明了，例2的設(shè)立一方面是對(duì)前面轉(zhuǎn)化方法的鞏固提升，另一方面讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的創(chuàng)造性.

通過幾個(gè)問題串的設(shè)立和訓(xùn)練，學(xué)生思維得到充分的鍛煉，認(rèn)識(shí)到知識(shí)的發(fā)展性，在發(fā)展中探究，在發(fā)展中創(chuàng)造，擺脫高三教學(xué)機(jī)械的“類型+方法”這種桎梏學(xué)生思維的模式，讓學(xué)生透過顯現(xiàn)抓本質(zhì)，從容應(yīng)對(duì)靈活多變的高考.