一類代數(shù)紐結(jié)或鏈環(huán)的棍棒數(shù)估計方法

孫平爽，魏義婷

（1.長春建筑學院 基礎教學部，吉林 長春 130000；2.大連市沙河口區(qū) 綠波小學，遼寧 大連 116033）

1 知識準備

定義1纏繞的乘法：給定兩個纏繞T1和T2，則T1?T2即分別連接T1的SW點到T2的NW點，T1的SE點到T2的NE點。如圖1 所示。

圖1 纏繞的乘法示意圖

定義2設T是一個纏繞，先連接T的NW點與NE點，再連接T的SW點和SE點，稱上述操作為纏繞T的N構造（又稱分子構造），記為N(T)。如圖2 所示。

圖2 分子構造示意圖

引理1設T=是一有理纏繞，m為奇數(shù)，a i（i=1,…,m）為同號偶數(shù)，則

2 棍棒數(shù)估計

首先對有理纏繞進行多次乘法得到代數(shù)纏繞，然后構造代數(shù)纏繞相應的多邊形表示，做N 構造得到代數(shù)紐結(jié)和鏈環(huán)的多邊形表示，最后通過多邊形表示進行棍棒指標估計。

定理1設T1,T2,… ,Tn+1是n+1個有理纏繞，其中Ti=1≤i≤n+1，ji為奇數(shù)，aik(1≤k≤ji)為同號偶數(shù)，若

且對T進行N構造得到代數(shù)紐結(jié)或鏈環(huán)L，則

證明設aik(1≤k≤ji)均為負偶數(shù)，下面構造T=T1?T2? …?Tn+1的一個多邊形表示。

第一步，構造T1和T2如下的多邊形表示。

由引理1，知T1具有邊數(shù)為

的一個多邊形表示如圖3(a)，T2具有邊數(shù)為

的一個多邊形表示如圖3(b)，記纏繞T1的上述多邊形表示的四個端點分別為A1,B1,C1,D1，軸為l1，T2的上述多邊形表示的端點分別為A2,B2,C2,D2，軸為l2。

圖3 構造T1 和T2 的多邊形

第二步，構造T1?T2的多邊形表示。

延長端點C2和B1所在邊，并適當移動纏繞T2，使端點B1和C2重合，此時不需要增加新邊來連接端點C2,B1；延長D2和A1所在邊，且D2所在邊繞軸l2旋轉(zhuǎn)，則一定可使端點D2和A1重合，此時不需要增加新邊來連接D2和A1，兩個上述纏繞做一次乘法時，構造的多邊形表示的邊數(shù)除兩個纏繞本身棍棒數(shù)相加外，不再變化，故由T1?T2構造的多變形見圖4。上述多邊形表邊數(shù)計算公式為

圖4 由T1?T2 構造的多變形

第三步，構造T=T1?T2? …?Tn+1的多邊形表示。

依照第二步的方法易知，有理纏繞每進行一次乘法，得到的代數(shù)纏繞的多邊形表示的邊數(shù)除增加纏繞本身的棍棒數(shù)外，不再增加或減少。對其再做乘法得到的纏繞構造方法均與第二步相同。故上述有理纏繞做n次乘法得到代數(shù)纏繞T=T1?T2? …?Tn+1的上述多邊形表示的邊數(shù)為

對上述代數(shù)纏繞進行N構造如圖5 所示，設得到代數(shù)鏈環(huán)L。

圖5 代數(shù)纏繞到代數(shù)鏈環(huán)的多邊形表示構造過程

根據(jù)N構造定義可知，此時延長和適當偏轉(zhuǎn)端點C1和D1所在邊，需要用一條新邊連接端點C1和D1，若接著延長和適當偏轉(zhuǎn)端點Bn+1和An1+所在邊，就需用另一條新邊連接端點Bn1+和An+1，此時代數(shù)纏繞棍棒數(shù)加2……，于是得到代數(shù)鏈環(huán)L的一個多邊形表示。由紐結(jié)和鏈環(huán)的棍棒數(shù)定義有

證畢。