執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬對(duì)動(dòng)態(tài)逆方法的影響及解決方案

程艷青 朱紀(jì)洪

自上世紀(jì)80 年代起,控制界開(kāi)始采用非線性動(dòng)態(tài)逆(Nonlinear dynamic inversion,NDI,后面都簡(jiǎn)稱動(dòng)態(tài)逆)方法來(lái)設(shè)計(jì)多變量非線性系統(tǒng)的控制律,這是一種利用非線性狀態(tài)反饋的方式將一個(gè)非線性系統(tǒng)變成線性系統(tǒng),然后再利用我們熟知的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法對(duì)變換后的線性系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì),因此動(dòng)態(tài)逆方法又稱為反饋線性化方法.動(dòng)態(tài)逆最先應(yīng)用在飛行控制律設(shè)計(jì)方面,尤其是戰(zhàn)斗機(jī)大迎角超機(jī)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)[1?4],該方法可以通過(guò)逆模型來(lái)對(duì)消掉大迎角氣動(dòng)非線性和動(dòng)力學(xué)非線性,從而將一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)變成幾個(gè)獨(dú)立線性系統(tǒng)(最常見(jiàn)的為一階慣性系統(tǒng)),在線性化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了多通道的解耦,此外動(dòng)態(tài)逆方法還可應(yīng)用于航天飛行器的再入制導(dǎo)和控制[5?6],機(jī)械臂控制[7]和倒立擺控制[8?9](垂直起降火箭和平衡車).動(dòng)態(tài)逆方法采用非線性逆系統(tǒng)理論來(lái)設(shè)計(jì)控制律,在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)多變量系統(tǒng)解耦控制,用動(dòng)態(tài)逆方法設(shè)計(jì)的控制器可以對(duì)被控對(duì)象的控制變量在全過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性處理,以達(dá)到期望的特性[10].動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)方法在設(shè)計(jì)過(guò)程中避免了大量的調(diào)參工作,設(shè)計(jì)出來(lái)的控制律具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和通用性,不像基于特征點(diǎn)的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法,需要依據(jù)特征點(diǎn)的不同來(lái)調(diào)整控制律參數(shù).傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)逆方法都是采用逆模型來(lái)對(duì)消系統(tǒng)非線性,當(dāng)逆模型有較大不確定性時(shí),不僅系統(tǒng)非線性不能完全對(duì)消,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性也會(huì)受到影響,因此陸續(xù)提出了一系列的具有較好魯棒性的動(dòng)態(tài)逆控制方法,比如采用L1自適應(yīng)方法與動(dòng)態(tài)逆方法相結(jié)合[11?12],用動(dòng)態(tài)逆方法設(shè)計(jì)初步控制律,在此基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)律和一個(gè)低通濾波器來(lái)保證系統(tǒng)的魯棒性,文獻(xiàn)[13]則采用滑模變結(jié)構(gòu)方法和動(dòng)態(tài)逆方法相結(jié)合,實(shí)際控制輸入由兩部分組成:動(dòng)態(tài)逆控制律和滑模變結(jié)構(gòu)控制律,其中滑模變結(jié)構(gòu)控制律可有效抑制模型的不確定性影響.上述方法都是采用傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)逆與魯棒控制方法相結(jié)合來(lái)增強(qiáng)控制系統(tǒng)的魯棒性,本質(zhì)上還是以動(dòng)態(tài)逆方法為基礎(chǔ).文獻(xiàn)[14?16]中的增量非線性動(dòng)態(tài)逆(Incremental nonlinear dynamic inversion,INDI,后面簡(jiǎn)稱增量動(dòng)態(tài)逆)方法則是以狀態(tài)變化率作為反饋?lái)?xiàng),由于模型不確定性可通過(guò)狀態(tài)變化率直接體現(xiàn),因此增量動(dòng)態(tài)逆與傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆方法相比,魯棒性得到較大的提升.然而不管是傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)逆方法(包括與魯棒控制相結(jié)合)還是增量動(dòng)態(tài)逆方法,在設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)控制律時(shí)并不能有效考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性,尤其是當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬與閉環(huán)等效系統(tǒng)帶寬較為接近時(shí),執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)最后的閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性影響較大.在動(dòng)態(tài)逆控制律當(dāng)中,執(zhí)行機(jī)構(gòu)作為一個(gè)子系統(tǒng)處在逆系統(tǒng)和對(duì)象非線性系統(tǒng)之間,通過(guò)對(duì)非線性補(bǔ)償后的偽線性系統(tǒng)進(jìn)行再設(shè)計(jì)的方式并不能有效消除執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響,最為有效的方式是直接對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行補(bǔ)償,使補(bǔ)償后的子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)遠(yuǎn)高于閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài),從而消除因執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬較低給非線性系統(tǒng)控制帶來(lái)的不利影響.文獻(xiàn)[17?18]中在執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型已知的情況下,通過(guò)對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性補(bǔ)償器提高補(bǔ)償后子系統(tǒng)的期望動(dòng)態(tài)特性,本文則通過(guò)引入模型參考自適應(yīng)系統(tǒng),在執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型未知的情況下,將補(bǔ)償后的子系統(tǒng)帶寬提高到合適值,此外本文還給出了一種通過(guò)修正非線性反饋?lái)?xiàng)的方法來(lái)消除執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響,并將這種方法與前面單方面提高執(zhí)行機(jī)構(gòu)等效帶寬的方法進(jìn)行了對(duì)比.

1 問(wèn)題的描述

1.1 對(duì)常規(guī)動(dòng)態(tài)逆的影響

存在如下仿射非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):

式中:x為系統(tǒng)狀態(tài);u為控制輸入;y為期望的控制系統(tǒng)輸出.若系統(tǒng)相對(duì)階為r,對(duì)系統(tǒng)測(cè)量方程進(jìn)行r次微分,由系統(tǒng)相對(duì)階的定義,有下列條件成立:

因此通過(guò)r次微分后,可得到包含顯式系統(tǒng)控制輸入的方程:

若取如下控制規(guī)律:

其中v為虛擬控制量,符號(hào) (·)?R表示廣義右逆,若系統(tǒng)滿足條件相對(duì)階r=1 且 dim(x)=dim(u),比如常見(jiàn)飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),則動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆控制律可以表示為如下簡(jiǎn)易形式:

具體結(jié)構(gòu)如圖1 所示:

圖1 典型動(dòng)態(tài)逆的原理圖Fig.1 Schematic diagram of typical dynamic inversion

對(duì)于如圖1 所示的典型非線性動(dòng)態(tài)逆控制問(wèn)題,若執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入uc的頻率(取決于控制律的指令動(dòng)態(tài))遠(yuǎn)小于執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬ωa,則執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入uc近似等于執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出u,控制器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)以及被控對(duì)象的組合系統(tǒng)等價(jià)于單位陣,以此單位陣為基礎(chǔ),合理設(shè)計(jì)滿足品質(zhì)要求的狀態(tài)變化率指令,形成最終的動(dòng)態(tài)逆控制律.但是實(shí)際控制過(guò)程中,往往由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)本身物理特性限制,控制輸入uc的頻率與執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬ωa較為接近,此時(shí)輸入uc與輸出u在幅值和相位上都有較大的差異,控制輸入的頻率與執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬越接近,幅值和相位上的差異越大.

假定執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性為一階慣性環(huán)節(jié),則有下式成立:

經(jīng)過(guò)變形后上式可以表示成:

顯然從上式可以看出,若非線性反饋?lái)?xiàng)f(x)頻率與執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬ωa相近或超出,式(7)中的非線性項(xiàng)無(wú)法忽略掉.

1.2 對(duì)增量動(dòng)態(tài)逆的影響

為解決常規(guī)動(dòng)態(tài)逆方法魯棒性較差的問(wèn)題,Smith 博士將增量思想引入到動(dòng)態(tài)逆方法當(dāng)中[14],用于完整的飛行控制律設(shè)計(jì),具體思想是將狀態(tài)方程在某個(gè)鄰域內(nèi)泰勒展開(kāi),得到非線性系統(tǒng)的增量模型,仍然以上節(jié)相對(duì)階為1 的非線性系統(tǒng)為例,則控制機(jī)構(gòu)增量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系如下[15]:

其中:

若執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬和控制頻率足夠高,則上式中的f′(x)(x ?x0)項(xiàng)可以忽略,增量動(dòng)態(tài)逆控制結(jié)構(gòu)如下圖所示:

圖2 增量動(dòng)態(tài)逆的原理圖Fig.2 Schematic diagram of incremental dynamic inversion

依據(jù)上面的增量動(dòng)態(tài)逆原理圖,有下式成立:

將式(9)代入上式,可以得到

若控制頻率足夠高,有x0≈x,u0≈u成立,上式可以等價(jià)為:

顯然此式與常規(guī)動(dòng)態(tài)逆一樣,說(shuō)明在滿足控制頻率足夠高這一條件的情況下,執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)最終閉環(huán)系統(tǒng)的影響是一樣的,都存在一個(gè)非線性干擾項(xiàng).式(12)也從另外一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了增量動(dòng)態(tài)逆方法雖然對(duì)系統(tǒng)本體模型不確定性或擾動(dòng)有一定的抑制能力,但是對(duì)于高于執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的部分并不能有效抑制.

2 非線性影響因素的消除方法

依據(jù)上一節(jié)的分析,不管是常規(guī)動(dòng)態(tài)逆方法還是增量動(dòng)態(tài)逆方法,執(zhí)行結(jié)構(gòu)的低帶寬特性(這是相對(duì)的概念)都會(huì)導(dǎo)致經(jīng)非線性反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)不能等價(jià)于一個(gè)理想的線性系統(tǒng),而是有一個(gè)非線性干擾項(xiàng)的差異.動(dòng)態(tài)逆方法(包括增量動(dòng)態(tài)逆)的基本思想就是通過(guò)非線性反饋形成一個(gè)理想的偽線性系統(tǒng),再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行線性系統(tǒng)設(shè)計(jì),非線性干擾項(xiàng)的存在使動(dòng)態(tài)逆方法無(wú)法獲得理想的偽線性系統(tǒng),因此要使用動(dòng)態(tài)逆方法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì),必須消除非線性干擾項(xiàng).從第1 節(jié)的分析結(jié)果看,消除非線性項(xiàng)的影響,可以從兩個(gè)方向入手,一個(gè)是通過(guò)模型參考自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)補(bǔ)償器提高執(zhí)行機(jī)構(gòu)子系統(tǒng)的帶寬,即保證補(bǔ)償器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)混合系統(tǒng)的等效帶寬遠(yuǎn)高于非線性反饋?lái)?xiàng)f(x)頻率,這個(gè)與文獻(xiàn)[17?18]中的思想類似,另一個(gè)思路則是直接在非線性反饋?lái)?xiàng)中引入補(bǔ)償項(xiàng),直接對(duì)消掉非線性干擾項(xiàng),下面就這兩類方法展開(kāi)討論.

2.1 提高等效帶寬

參照第1 節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果,若將補(bǔ)償器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)混合系統(tǒng)的等效帶寬設(shè)定為遠(yuǎn)高于非線性反饋?lái)?xiàng)f(x)頻率,則采用動(dòng)態(tài)逆控制律(包括增量動(dòng)態(tài)逆)的閉環(huán)系統(tǒng)可以表示成:

進(jìn)一步狀態(tài)變化率指令相對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬而言也是低頻量,則上述動(dòng)態(tài)逆控制系統(tǒng)等效為單位陣.補(bǔ)償器采用一階模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn),如圖3所示:

圖3 執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償框圖Fig.3 Dynamic compensation block diagram of actuator

執(zhí)行機(jī)構(gòu)的補(bǔ)償器分為兩種形式,一種是執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型已知,另一種是執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型結(jié)構(gòu)已知但參數(shù)未知.對(duì)于模型已知的情況,和Ku可通過(guò)下式得到:

對(duì)于模型未知的情況,則需要采用模型參考自適應(yīng)的方式在線調(diào)整參數(shù)和Ku,為設(shè)計(jì)兩控制參數(shù)的自適應(yīng)更新律,引入如下引理:

引理 1.考慮兩個(gè)信號(hào)α和φ,它們之間有如下動(dòng)態(tài)關(guān)系:

其中,α(t)為標(biāo)量輸出信號(hào),H(p)是嚴(yán)格正實(shí)的傳遞函數(shù),k是符號(hào)已知的未知常數(shù),φ(t)是關(guān)于時(shí)間t的m×1維向量,v(t)是可測(cè)量的m×1 維向量.如果向量φ(t)服從如下規(guī)律:

γ是正常數(shù).α(t)和φ(t)全局有界,而且,如果v(t)有界,那么當(dāng)t→∞時(shí),α(t)→0.引理的具體證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[19].

記跟蹤誤差為:

參數(shù)誤差定義為控制器參數(shù)與理想?yún)?shù)的差:

其中理想?yún)?shù)可以表示為如下形式:

根據(jù)上圖中的補(bǔ)償原理,umi和ui的動(dòng)態(tài)特性可用下式表示:

將式(18)和式(19)代入上式中,可得到跟蹤誤差e滿足如下微分方程:

上式寫(xiě)成頻域形式為:

下面就上述執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償規(guī)律,證明整個(gè)自適應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定性(包含外面的動(dòng)態(tài)逆環(huán)節(jié)),具體證明思路是先利用李亞普洛夫方法證明跟蹤誤差ei有界全局漸近收斂,然后再證明整個(gè)閉環(huán)動(dòng)態(tài)逆非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在證明之前先做兩項(xiàng)假設(shè):

假設(shè) 1.函數(shù)矩陣G(x)各元素全局有界;

假設(shè) 2.設(shè)定等效帶寬遠(yuǎn)高于非線性系統(tǒng)頻率.

對(duì)于假設(shè)1,大多數(shù)物理系統(tǒng)都能夠滿足假設(shè)1,比如飛行控制系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng),對(duì)于假設(shè)2 則直接與等效帶寬方法的思想吻合.

選取如下李亞普洛夫函數(shù):

對(duì)李亞普洛夫函數(shù)沿系統(tǒng)軌線求導(dǎo):

將式(22)和式(24)代入上式可以得到:

因此執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償子系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的,即信號(hào)ei、都有界,依據(jù)Barbalat 引理,可知跟蹤誤差ei全局漸近收斂.

下面以跟蹤誤差e有界且全局漸近收斂為基礎(chǔ)來(lái)證明整個(gè)自適應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根據(jù)跟蹤誤差的定義有下式成立:

參照動(dòng)態(tài)逆控制律有:

參照?qǐng)D3,有下式成立:

將式(30)和式(31)代入式(28)中可得:

參照文中等效帶寬思想,即假設(shè)2,則上式可以簡(jiǎn)化為:

根據(jù)上面的證明結(jié)果可知,跟蹤誤差e有界且全局漸近收斂,且函數(shù)矩陣G(x)各元素全局有界(假設(shè)1):

其中D為一正實(shí)數(shù),參照上式顯然有下列條件成立:

由上式可以得出

因此系統(tǒng)狀態(tài)x有界,且當(dāng)e→0時(shí),有x→xc成立.

若采用增量動(dòng)態(tài)逆控制律,則式(16)變?yōu)?

式(19)則變?yōu)?

由假設(shè)2,上式變?yōu)?

若增量動(dòng)態(tài)逆控制頻率一般都足夠高,因此有x0≈x,u0≈u成立,上式可變?yōu)?

上式與式(20)相同,因此同樣可以證明在增量動(dòng)態(tài)逆控制律的作用下,系統(tǒng)狀態(tài)x有界,且當(dāng)e→0時(shí),有x→xc成立.

2.2 直接補(bǔ)償方法

對(duì)于動(dòng)態(tài)逆控制方法,若將非線性反饋?lái)?xiàng)由f(x)改為下式:

即在原來(lái)的非線性反饋?lái)?xiàng)之外再補(bǔ)償一個(gè)微分項(xiàng),再代入式(6),原動(dòng)態(tài)逆閉環(huán)系統(tǒng)等效為如下的一階慣性環(huán)節(jié):

對(duì)于增量動(dòng)態(tài)逆控制方法,將狀態(tài)速率反饋?lái)?xiàng)變?yōu)?

同樣在原來(lái)的反饋?lái)?xiàng)之外再補(bǔ)償一個(gè)微分項(xiàng),代入式(10),則增量動(dòng)態(tài)逆閉環(huán)系統(tǒng)同樣等效為如式(42)所示的一階慣性環(huán)節(jié).

這種直接補(bǔ)償方法需要用到微分信號(hào),擬采用韓京清提出的非線性跟蹤微分器來(lái)實(shí)現(xiàn)[20],這種微分器利用二階最速開(kāi)關(guān)系統(tǒng)跟蹤連續(xù)輸入信號(hào)并提取近似微分信號(hào).存在如下形式的二階系統(tǒng):

取如下最速控制:

x1可以最快速地跟蹤信號(hào)v,當(dāng)x1充分接近v時(shí),x2可以作為信號(hào)v的近似微分,形成如下的最速跟蹤微分器:

上述的跟蹤微分器在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)容易產(chǎn)生高頻顫振,將符號(hào)函數(shù) sgn 改為飽和線性函數(shù) sat 也不能完全避免,因此本文中采用如下改進(jìn)形式的跟蹤微分器(為便于實(shí)際應(yīng)用直接給出離散形式):

其中U=fst(x1(k)?v(k),x2(k),r,T),fst最速控制綜合函數(shù),具體描述如下:

其中

上式中T為時(shí)間間隔,參數(shù)r與信號(hào)本身頻率和噪聲頻率相關(guān),可依據(jù)實(shí)際情況選取.

3 仿真驗(yàn)證

采用如下的單入單出的非線性系統(tǒng)為研究對(duì)象:

若動(dòng)態(tài)逆的動(dòng)態(tài)指令信號(hào)由下式生成:

則對(duì)于方法1 (提高等效帶寬),補(bǔ)償后的理想動(dòng)態(tài)特性由如下傳遞函數(shù)表示:

對(duì)于方法2 (直接補(bǔ)償),補(bǔ)償后的理想動(dòng)態(tài)特性由如下傳遞函數(shù)表示:

3.1 非線性干擾項(xiàng)的影響仿真

首先我們來(lái)對(duì)采用動(dòng)態(tài)逆控制方法時(shí),因執(zhí)行機(jī)構(gòu)低帶寬導(dǎo)致的非線性干擾項(xiàng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證,具體干擾機(jī)理見(jiàn)式(7)和式(12),分別對(duì)應(yīng)常規(guī)動(dòng)態(tài)逆方法和增量動(dòng)態(tài)逆方法.仿真時(shí)動(dòng)態(tài)逆控制參數(shù)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型參數(shù)分別取為ωc=2 rad/s 和ωa=20 rad/s.對(duì)ωn分別取 1 rad/s,10 rad/s ,20 rad/s,由低到高三個(gè)值,采用常規(guī)的動(dòng)態(tài)逆控制方法進(jìn)行仿真,圖4 是三種情況下f(x)的功率譜密度,圖5是不同干擾項(xiàng)的仿真結(jié)果,可見(jiàn)當(dāng)f(x)含有越多高頻能量時(shí),實(shí)際控制響應(yīng)與預(yù)期的控制響應(yīng)相差越大.

圖4 非線性干擾項(xiàng) f(x)功率譜密度Fig.4 Power spectral density of nonlinear interference term f(x)

圖5 不同干擾影響的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of different interference effects

參照前面的分析,增量動(dòng)態(tài)逆與常規(guī)動(dòng)態(tài)逆在不考慮狀態(tài)速率測(cè)量誤差和控制頻率足夠高的情況下,式(7)和式(12)的形式完全一樣,即最終的閉環(huán)系統(tǒng)是一致的(線性項(xiàng)和非線性干擾項(xiàng)都一樣),仿真結(jié)果如圖6 所示,因此本節(jié)不再做增量動(dòng)態(tài)逆控制方法的非線性干擾分析,后面章節(jié)中關(guān)于非線性干擾項(xiàng)的消除仿真中,只給出常規(guī)動(dòng)態(tài)逆的仿真結(jié)果.

圖6 常規(guī)和增量動(dòng)態(tài)逆仿真結(jié)果Fig.6 Conventional and incremental dynamic inverse simulation results

3.2 提高等效帶寬方法仿真驗(yàn)證

本節(jié)主要通過(guò)仿真對(duì)第2.1 節(jié)中所提出的非線性干擾抑制方法進(jìn)行驗(yàn)證,即提高等效帶寬方法,首先考慮如下三種情況的仿真:Case1、Case2和Case3 對(duì)應(yīng)的等效帶寬 (ωam)為20 rad/s、40 rad/s 和100 rad/s,其他仿真參數(shù)為ωc=2 rad/s、ωn=20 rad/s、ωa=20 rad/s.

從圖7 的仿真結(jié)果看,當(dāng)?shù)刃捜?0 rad/s時(shí),非線性干擾項(xiàng)的影響完全無(wú)抑制,40 rad/s 時(shí),跟蹤誤差減小,而等效帶寬為 100 rad/s 時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)與預(yù)期響應(yīng) ?Expect基本一致,可以認(rèn)為非線性干擾項(xiàng)的影響得到了很好的抑制.

圖7 等效帶寬方法仿真結(jié)果(ωa 已知)Fig.7 Simulation results of equivalent bandwidth method (ωa Known)

對(duì)于ωa未知的情況,考慮如下四種情況的仿真:Case4、Case5、Case6和Case7,其中Case4和Case6對(duì)應(yīng)的ωa=10 rad/s,Case5和Case7 對(duì)應(yīng)的ωa=30 rad/s,Case4和Case5 沒(méi)有引入等效帶寬方法,Case6和Case7則是在ωa未知的情況下,引入模型參考自適應(yīng)控制(Model reference adaptive control,MRAC)方法來(lái)提高執(zhí)行機(jī)構(gòu)的帶寬,其他仿真參數(shù)為ωc=2 rad/s、ωn= 20 rad/s、ωam=100 rad/s.

從圖8 的仿真結(jié)果看,對(duì)于相同的ωn,未實(shí)施提高等效帶寬措施的情況下,越小的ωa的非線性干擾影響越大,而引入模型參考自適應(yīng)方法后,Case6和Case7的系統(tǒng)狀態(tài)與預(yù)期響應(yīng)?Expect基本一致.

圖8 等效帶寬方法仿真結(jié)果(ωa 未知)Fig.8 Simulation results of equivalent bandwidth method (ωa unknown)

3.3 直接補(bǔ)償方法仿真驗(yàn)證

本節(jié)主要通過(guò)仿真對(duì)第2.2 節(jié)中所提出的非線性干擾抑制方法進(jìn)行驗(yàn)證.通過(guò)修正非線性反饋?lái)?xiàng)(Modified nonlinear feedback,MNF)的方式,對(duì)非線性干擾項(xiàng)直接進(jìn)行補(bǔ)償,補(bǔ)償過(guò)程需要用到f(x)項(xiàng)的微分信號(hào),鑒于微分過(guò)程對(duì)噪聲有放大效應(yīng),因此除考慮各反饋信號(hào)無(wú)測(cè)量誤差的情況外,還考慮了測(cè)量噪聲對(duì)非線性干擾項(xiàng)補(bǔ)償效果的影響.首先考慮無(wú)噪聲,狀態(tài)速率和f(x)項(xiàng)的微分信號(hào)都采用實(shí)際值,采用兩種仿真狀態(tài)進(jìn)行對(duì)比,Case1和Case2 ,仿真參數(shù)為ωc=2 rad/s、ωn=20 rad/s、ωa=20 rad/s,其中Case1 沒(méi)有對(duì)非線性干擾項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償,Case2 則采用修正非線性反饋?lái)?xiàng)的方式對(duì)非線性干擾性進(jìn)行補(bǔ)償.從圖9 的仿真結(jié)果看,修正非線性反饋?lái)?xiàng)方式可以很好地消除非線性干擾項(xiàng)影響.

圖9 直接補(bǔ)償方法仿真結(jié)果(不考慮噪聲)Fig.9 Simulation results of direct compensation method (Without consideration of noise)

上述方法雖然可以較好地消除非線性干擾項(xiàng),但是由于狀態(tài)變化率通常不能直接測(cè)得,在獲取f(x)項(xiàng)微分信號(hào)過(guò)程中需要用到的狀態(tài)變化率是通過(guò)狀態(tài)測(cè)量信號(hào)微分得到,具體方法是第2.2 節(jié)中的非線性跟蹤微分器,依據(jù)文獻(xiàn)[20],在采樣頻率足夠高的情況下,跟蹤微分器的帶寬與速度因子r的關(guān)系如下:

因此在反饋信號(hào)有用信息盡可能保留的同時(shí),濾掉更多高頻噪聲,確保微分信號(hào)相對(duì)平滑.仿真分四種情況,Case3、Case4、Case5和Case6,仿真參數(shù)為ωc=2 rad/s、ωn=20 rad/s 、ωa=20 rad/s,不同的是Case3和Case5 雖然引入了跟蹤濾波器,但信號(hào)無(wú)噪聲,Case4和Case6則引入了標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.01、均值μ=0的高斯白噪聲,Case3和Case4 跟蹤濾波器的速度因子r=30,而Case5和Case6 則取為r=100.

從圖10 的仿真結(jié)果看,基于跟蹤微分器的直接補(bǔ)償方法很好地消除了非線性干擾項(xiàng)的影響,測(cè)量噪聲的存在只是略微增加了控制誤差,較低的跟蹤濾波器帶寬 (r=30)由于濾掉了部分有用信息,控制誤差相對(duì)較大,較大的r則完全保留了反饋信號(hào)的有用信息,補(bǔ)償效果較好,但是會(huì)使過(guò)多測(cè)量噪聲進(jìn)入到反饋信號(hào)中,增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)負(fù)擔(dān),所以實(shí)際使用過(guò)程中依據(jù)情況選擇一個(gè)居中合理值.

圖10 直接補(bǔ)償方法仿真結(jié)果(考慮噪聲)Fig.10 Simulation results of direct compensation method (With consieration of noise)

4 結(jié)論

本文針對(duì)非線性動(dòng)態(tài)逆控制中較低執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬導(dǎo)致的非線性干擾項(xiàng),從非線性干擾項(xiàng)的影響機(jī)理出發(fā),提出了兩類消除非線性干擾項(xiàng)的方法,并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證.不管是提高等效帶寬方法還是直接補(bǔ)償方法,都能較好地消除非線性干擾,兩者不同之處在于,直接補(bǔ)償方法是精確的消除了上面的非線性影響,而提高等效帶寬方法則是一個(gè)近似方法.直接補(bǔ)償方法需要用到f(x)項(xiàng)的微分信號(hào),可通過(guò)非線性跟蹤微分器得到,只是這類方法嚴(yán)格依賴于系統(tǒng)模型和執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型.提高等效帶寬的方法則在執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型未知的情況,可引入模型參考自適應(yīng)方法來(lái)克服模型不確定性.