魚(yú)類群體運(yùn)動(dòng)的元胞自動(dòng)機(jī)模型中的最小勢(shì)能原理

陸興遠(yuǎn) 袁衛(wèi)鋒

群體運(yùn)動(dòng)是自然界中一種常見(jiàn)的生物行為.在過(guò)去的幾十年中,研究人員已經(jīng)對(duì)鳥(niǎo)群、獸群、魚(yú)群和細(xì)菌菌落等不同的社會(huì)有機(jī)體的群體現(xiàn)象進(jìn)行了廣泛的研究[1?5].眾多研究表明,某些規(guī)律對(duì)生物的群體行為起到關(guān)鍵作用.其中,“靠近被排斥,遠(yuǎn)離被吸引”的規(guī)則對(duì)群體的分散、聚合和避免個(gè)體間碰撞以及躲避天敵攻擊有重要作用[6?8];流體力學(xué)和動(dòng)力學(xué)原理也影響著群體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).例如,Dai 等研究發(fā)現(xiàn),魚(yú)類群體在運(yùn)動(dòng)中通過(guò)隊(duì)形來(lái)塑造能減小阻力的流場(chǎng),使得個(gè)體耗能最小[9].

生物的群體運(yùn)動(dòng)是一種個(gè)體間協(xié)同相互作用的結(jié)果,群體中個(gè)體的信息傳遞對(duì)群體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)起到重要作用[10].Gueron 和Couzin 等研究發(fā)現(xiàn),群體信息在群體間是通過(guò)逐層傳遞的,個(gè)體的行為決策會(huì)受到相鄰個(gè)體的影響[11?12].群體中個(gè)體間交互協(xié)同的思想為智能機(jī)器人集群的自動(dòng)控制提供了理論基礎(chǔ).例如,Li 等受到生物系統(tǒng)的啟發(fā),發(fā)明了群體顆粒機(jī)器人.雖然每個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)是單一隨機(jī)的運(yùn)動(dòng),但通過(guò)整個(gè)群體的協(xié)同,機(jī)器人群體可以朝著指定的激勵(lì)源方向移動(dòng)[13],雷斌受生物群體行為啟發(fā).應(yīng)用仿生方法研究群體機(jī)器人的編隊(duì)控制,目標(biāo)搜索,實(shí)現(xiàn)群體機(jī)器人間的協(xié)同控制[14].

在之前的研究中,研究人員大多在二維的假設(shè)條件下對(duì)群體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究,鮮有在三維的條件下研究群體運(yùn)動(dòng),這與真實(shí)的群體狀態(tài)不符,并且之前的研究者提出的模型大多比較復(fù)雜.本研究構(gòu)建了一個(gè)基于元胞自動(dòng)機(jī)方法和最小勢(shì)能原理的簡(jiǎn)潔三維模型,并通過(guò)數(shù)值模擬研究勢(shì)能在魚(yú)類群體中運(yùn)動(dòng)決策和個(gè)體間相互協(xié)同的作用以及對(duì)魚(yú)群在有限空間中形成旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的群體機(jī)制的影響.

1 模型

元胞自動(dòng)機(jī)是一種個(gè)體狀態(tài)由其鄰近個(gè)體狀態(tài)決定的算法[15].該方法已經(jīng)被應(yīng)用于流體力學(xué),人流疏散等復(fù)雜場(chǎng)景的研究中[16?17].Pattanayak 等通過(guò)類元胞自動(dòng)機(jī)方法的自航個(gè)體模型(Self-propelled particles)對(duì)群體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究[18].本研究假定魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)模式受勢(shì)能的支配,相應(yīng)提出了魚(yú)類個(gè)體運(yùn)動(dòng)的勢(shì)函數(shù)并將之融合到元胞自動(dòng)機(jī)中,建立了一種簡(jiǎn)潔的三維模型以模擬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng).在真實(shí)魚(yú)類群體中,個(gè)體會(huì)以一定的速度游動(dòng),且速度不是恒定不變的.本研究假設(shè)模擬的虛擬魚(yú)個(gè)體以隨機(jī)的速度運(yùn)動(dòng).虛擬魚(yú)的速度v定義為:v=v+α·Δv,其中α是[?1,1]的隨機(jī)數(shù).在本研究建立的元胞自動(dòng)機(jī)模型中,以半徑為v的球面上的點(diǎn)作為個(gè)體下一時(shí)間步可選擇的位置,如圖1 所示.個(gè)體將會(huì)選擇勢(shì)能最小的位置作為下一時(shí)間步的位置.本模型中每個(gè)位置的勢(shì)能均與個(gè)體的鄰居相關(guān).

視覺(jué)是動(dòng)物的共性,其對(duì)生物的群體行為和個(gè)體決策有著重要的影響.視覺(jué)影響個(gè)體感知周圍環(huán)境,是個(gè)體獲取信息的重要方式.研究表明,環(huán)境變化、鄰居數(shù)量和鄰居行為等都會(huì)影響個(gè)體行為決策[19].Ballerini 等研究發(fā)現(xiàn)個(gè)體在群體中與其他個(gè)體交流時(shí)并不是與整個(gè)群體交流,而是與其中的6～7 個(gè)鄰居交流[20].本研究假設(shè)個(gè)體的視覺(jué)為有限且不變的常值.如圖1 所示,Ri為個(gè)體的視覺(jué)距離;以θi為圓錐半角的圓錐體區(qū)域?yàn)閭€(gè)體的視角范圍,圓錐體以外的區(qū)域?yàn)閭€(gè)體的盲區(qū).在本模型中,個(gè)體只會(huì)把在其視覺(jué)范圍之內(nèi)距離其最近的N個(gè)鄰居作為參考鄰居,而不是整個(gè)魚(yú)群.個(gè)體在選擇參考鄰居時(shí),如果視覺(jué)范圍內(nèi)個(gè)體總數(shù)大于最大參考鄰居數(shù)N,就會(huì)以距離其最近的N個(gè)鄰居作為參考個(gè)體.

圖1 魚(yú)的模型Fig.1 Model of fish

研究人員發(fā)現(xiàn)個(gè)體在群體中會(huì)因?yàn)橄嗷ラg距離太近而相互排斥;如果個(gè)體間的距離太遠(yuǎn),個(gè)體間又會(huì)相互吸引.個(gè)體間存在相對(duì)穩(wěn)定的距離[6?8,21].本模型中,假設(shè)個(gè)體i和參考鄰居j相互之間存在一個(gè)最佳距離R0,在這個(gè)位置上,個(gè)體i的距離勢(shì)能最小.當(dāng)個(gè)體間距離小于R0時(shí),個(gè)體間距離越小,個(gè)體間相互排斥越強(qiáng)烈;相反,當(dāng)個(gè)體間距離大于R0時(shí),隨著距離的增大,個(gè)體間的相互吸引程度增強(qiáng),關(guān)系如式(2)和圖3 (a)所示.

式(1)中,N為個(gè)體i的參考鄰居數(shù)量.

式(2)中,H代表(Heviside)階躍函數(shù);uij=dij ?R0,R0為常數(shù).kd1

式(3)、(4)中,kh、kθ1、kθ2、均為系數(shù),θih表示個(gè)體i下一時(shí)間步的速度vi(T+1)矢量與水平面的夾角;θij表示個(gè)體i下一時(shí)間步的速度vi(T+1)和參考鄰居j當(dāng)前時(shí)間步的速度vj(T)的矢量夾角;θiL表示個(gè)體i下一時(shí)間步的位置B和參考鄰居j當(dāng)前時(shí)間步的位置C的連線與個(gè)體i下一時(shí)間步的速度vi(T+1)的夾角.關(guān)系如圖2 和圖3 (b)所示.圖2 (a)中為參考鄰居j當(dāng)前時(shí)間步的運(yùn)動(dòng)方向vj(T)的平移,與vi(T+1)相交.圖2 (b)中點(diǎn)劃線為vi(T+1)在水平面的投影.

圖2 三維空間中虛擬魚(yú)中的角度關(guān)系Fig.2 The angular relationship in the potential energy of the fish in three-dimension

圖3 勢(shì)能函數(shù)的定義Fig.3 Functions defined for potential

2 元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則

本文把時(shí)間離散為若干個(gè)時(shí)間步,并把虛擬魚(yú)個(gè)體的下一時(shí)間步可能移動(dòng)的空間范圍劃分為若干個(gè)位置點(diǎn).虛擬魚(yú)群在每個(gè)時(shí)間步中遵循相同的規(guī)則.本文定義元胞自動(dòng)機(jī)的規(guī)則如下面5 個(gè)步驟.

1)假設(shè)當(dāng)前時(shí)間步為T.虛擬魚(yú)個(gè)體i確定視覺(jué)范圍內(nèi)所有的參考鄰居和下一時(shí)間步所有可能的移動(dòng)位置,如圖1 所示;

2)計(jì)算下一時(shí)間步T+1 所有可能移動(dòng)位置的勢(shì)能,每個(gè)位置的勢(shì)能關(guān)系均如式(1)～(4)所示;

3)比較步驟2)中所有位置的勢(shì)能,確定勢(shì)能最小的位置,并把該位置作為下一時(shí)間步T+1的位置;

4)使用規(guī)則1)～3)遍歷虛擬魚(yú)群中所有的個(gè)體;

5)更新所有個(gè)體的位置,并重復(fù)步驟1)～5).

3 實(shí)驗(yàn)

本研究對(duì)有限空間中紅斑馬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行研究,構(gòu)建了一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為120 cm,70 cm,80 cm 的玻璃缸和一個(gè)38 cm,25 cm,20 cm 的箱體,并購(gòu)置了360 條紅斑馬魚(yú),為了讓魚(yú)群適應(yīng)實(shí)驗(yàn)室的環(huán)境,在實(shí)驗(yàn)室里飼養(yǎng)超過(guò)一個(gè)月,利用攝像機(jī)對(duì)紅斑馬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行攝像記錄.值得注意的是,試驗(yàn)用的大小水箱被放置在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室中,除尺寸外其它條件相同.環(huán)境的變化對(duì)魚(yú)群是一種外來(lái)刺激,當(dāng)把紅斑馬魚(yú)群從大箱轉(zhuǎn)移到小箱中,或者從小箱轉(zhuǎn)移到大箱中時(shí),魚(yú)群都會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)圈的現(xiàn)象.如圖4 所示,當(dāng)把魚(yú)群從大箱體轉(zhuǎn)移到小箱體中時(shí),魚(yú)群會(huì)出現(xiàn)有序的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在實(shí)驗(yàn)中可以觀察到,紅斑馬魚(yú)群從無(wú)序的狀態(tài)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橛行虻臓顟B(tài),最后整個(gè)群體形成有序的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).從整個(gè)過(guò)程來(lái)看,魚(yú)群處于無(wú)序的混亂狀態(tài)下,群體中出現(xiàn)個(gè)別個(gè)體發(fā)起有序的運(yùn)動(dòng),然后加入有序運(yùn)動(dòng)的個(gè)體不斷增多,群體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從無(wú)序的混亂狀態(tài)變?yōu)榫植坑行虻膸钸\(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)大部分個(gè)體參與到有序的群體運(yùn)動(dòng)中時(shí),帶狀的群體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)首尾相連,整個(gè)魚(yú)群形成環(huán)狀的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).有序群體狀態(tài)開(kāi)始時(shí),帶狀的群體形態(tài)的前部個(gè)體數(shù)量較多,較為密集,而群體尾部個(gè)體數(shù)量較少,較為稀疏.當(dāng)最終形成環(huán)狀旋轉(zhuǎn)群體狀態(tài)時(shí),整個(gè)群體中個(gè)體分布較為均勻.

圖4 真實(shí)紅斑馬魚(yú)群中的旋轉(zhuǎn)群體狀態(tài)Fig.4 Whirling state in real fish schools of red zebrafish

4 模擬

本研究對(duì)真實(shí)的紅斑馬魚(yú)群觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)魚(yú)群從大的箱體轉(zhuǎn)移到小的箱體中時(shí),魚(yú)群會(huì)形成旋渦狀的群體形態(tài).為了研究這種群體運(yùn)動(dòng)形成的機(jī)理,本文提出了一種魚(yú)類個(gè)體運(yùn)動(dòng)的勢(shì)函數(shù),并基于最小勢(shì)能原理和元胞自動(dòng)機(jī)方法建立了一個(gè)三維模型,如式(1)～(3)所示,通過(guò)數(shù)值模擬與紅斑馬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)形態(tài)對(duì)比,以驗(yàn)證模型的合理性.

本模型假設(shè)參考鄰居j分別通過(guò)θiL、θij、uij影響個(gè)體i的位置、方向和相互之間的距離,并假設(shè)θih與個(gè)體i在深度方向上傾斜游動(dòng)的角度相關(guān).當(dāng)相關(guān)系數(shù)處于適當(dāng)?shù)闹禃r(shí),模擬的虛擬魚(yú)群最終會(huì)演化成為旋渦狀的群體形態(tài).模型中的各系數(shù)綜合地影響虛擬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),只有當(dāng)各系數(shù)處于合適的取值范圍內(nèi)時(shí),模擬結(jié)果才會(huì)與觀察現(xiàn)象較好地吻合.本文中,對(duì)長(zhǎng)寬高分別為30a,30a,20a的方形箱體中的500 條體長(zhǎng)為a的虛擬魚(yú)進(jìn)行數(shù)值模擬.當(dāng)系數(shù)分別設(shè)置為kd1=4.0×105,kd2=2.2×109,kθ1=1.8×109,kθ2=9.0×109,kh=7.0×1010,R0=1.5a,且虛擬魚(yú)群中所有個(gè)體的位置和運(yùn)動(dòng)方向的初始狀態(tài)都隨機(jī)設(shè)置時(shí)(如圖5,第1 步),虛擬魚(yú)群經(jīng)過(guò)若干時(shí)間步的運(yùn)動(dòng)后,演化為旋轉(zhuǎn)的群體形態(tài),如圖5 所示.從整個(gè)演化過(guò)程看,虛擬魚(yú)群開(kāi)始時(shí)處于隨機(jī)無(wú)序狀態(tài),運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后群體中會(huì)形成局部有序的狀態(tài),然后參與到有序運(yùn)動(dòng)的個(gè)體逐漸增多,原來(lái)帶狀的群體形態(tài)逐漸變長(zhǎng),最后帶狀群體形態(tài)首尾相連形成環(huán)形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形態(tài),最終大部分個(gè)體參與到有序的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中,整個(gè)虛擬魚(yú)群形成比較穩(wěn)定的旋渦狀群體運(yùn)動(dòng)狀態(tài).值得注意的是,最終的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不是所有的個(gè)體一直參與其中,而是存在個(gè)別個(gè)體脫離群體,運(yùn)動(dòng)到群體外部,也存在個(gè)別個(gè)體在脫離群體后,重新加入到旋轉(zhuǎn)的群體運(yùn)動(dòng)中.對(duì)比虛擬魚(yú)群與真實(shí)的紅斑馬魚(yú)群的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其形成過(guò)程,表明了本模型的模擬現(xiàn)象與真實(shí)魚(yú)群現(xiàn)象相符.

圖5 數(shù)值模擬過(guò)程中旋轉(zhuǎn)的群體狀態(tài)Fig.5 Whirling state in numerical simulation

群體運(yùn)動(dòng)是個(gè)復(fù)雜的自然現(xiàn)象.仿真雖然可以總體上得到與觀察相吻合的現(xiàn)象,但是在仿真中將個(gè)體的運(yùn)動(dòng)與實(shí)際觀察進(jìn)行定量比較是非常困難的[6],因此,本文通過(guò)對(duì)魚(yú)類群體運(yùn)動(dòng)的定性分析闡明所提出的模型的合理性.必須說(shuō)明的是,勢(shì)能公式中權(quán)重系數(shù)的取值對(duì)魚(yú)群運(yùn)動(dòng)的模擬結(jié)果具有的影響,只有當(dāng)權(quán)重系數(shù)選取合適時(shí),才能達(dá)到模擬結(jié)果和試驗(yàn)觀察吻合的情況.例如,參數(shù)kd2在范圍“8.0×108～3.0×109”區(qū)間時(shí),數(shù)值模擬能夠呈現(xiàn)魚(yú)群轉(zhuǎn)圈的現(xiàn)象,超出這個(gè)范圍,魚(yú)群運(yùn)動(dòng)很難出現(xiàn)穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)狀態(tài).如圖6 所示,在同一個(gè)時(shí)刻(第730 時(shí)間步),當(dāng)kd2處于較小的值時(shí),群體出現(xiàn)過(guò)于密集的狀態(tài);而當(dāng)kd2處于較大的值時(shí),群體狀態(tài)較為混亂無(wú)序;只有當(dāng)kd2處于合適的范圍內(nèi)時(shí),模擬的效果與觀察到的現(xiàn)象比較吻合.另一方面,kd2參數(shù)取值區(qū)間跨越一個(gè)數(shù)量級(jí),說(shuō)明利用本文模型對(duì)魚(yú)群定性研究時(shí),模擬結(jié)果對(duì)參數(shù)的具體數(shù)值不敏感,這種穩(wěn)定性有利于通過(guò)模擬獲取魚(yú)群運(yùn)動(dòng)的共有特性.在本文模型的基礎(chǔ)上,不同的權(quán)重系數(shù)取值會(huì)導(dǎo)致模擬中出現(xiàn)更多的魚(yú)群運(yùn)動(dòng)形態(tài),從而有可能為群體運(yùn)動(dòng)研究提供新的關(guān)注點(diǎn).從這個(gè)意義上講,結(jié)合最小能量原理而建立的元胞自動(dòng)機(jī)模型可以被看作一個(gè)描述魚(yú)類群體運(yùn)動(dòng)的理論框架,而模型中具體參數(shù)的確定,需要更加廣泛和深入的研究.

圖6 kd2 取值不同時(shí)虛擬魚(yú)群在第730 時(shí)間步的狀態(tài)Fig.6 The status of fish schools at 730th time step subject to different kd2 values

5 結(jié)論

本文對(duì)紅斑馬魚(yú)群在有限空間中的運(yùn)動(dòng)形態(tài)進(jìn)行研究,假設(shè)魚(yú)群中每個(gè)個(gè)體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總是試圖保持自身的勢(shì)能最小,相應(yīng)提出了魚(yú)類個(gè)體運(yùn)動(dòng)的勢(shì)函數(shù)并將之融合到元胞自動(dòng)機(jī)中以模擬魚(yú)群的運(yùn)動(dòng).本研究發(fā)現(xiàn):1)參考鄰居j分別通過(guò)θiL、θij、uij影響個(gè)體i的位置、方向和相互之間的距離;θih與個(gè)體i在深度方向上傾斜游動(dòng)的角度相關(guān).當(dāng)相關(guān)系數(shù)處于適當(dāng)?shù)闹禃r(shí),虛擬魚(yú)群最終可能演化成為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).2)參考鄰居數(shù)量N的值與群體中個(gè)體數(shù)量有關(guān),個(gè)體數(shù)量增多,參考鄰居的個(gè)體數(shù)量也會(huì)增多.當(dāng)參考鄰居數(shù)量N在4～10 個(gè)個(gè)體之間時(shí),魚(yú)群均可能出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).本研究實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象與數(shù)值模擬現(xiàn)象具有較好的一致性,并且本模型具有較好的魯棒性,二者證明了本模型能夠正確反映有限空間中魚(yú)類群體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的形成機(jī)理.本模型有望應(yīng)用于智能水下機(jī)器人或空中無(wú)人機(jī)集群控制中.

本文將能量最小原理和元胞自動(dòng)機(jī)結(jié)合,提出了一種數(shù)值模型,通過(guò)調(diào)試模型中各參數(shù)的數(shù)值,能夠模擬出魚(yú)群運(yùn)動(dòng)的一些規(guī)律,說(shuō)明能量最小原理有可能是魚(yú)類群體運(yùn)動(dòng)需要遵守的一個(gè)基本原理.本研究的意義在于該模型為研究魚(yú)類或其他生物的群體運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)數(shù)值計(jì)算的理論框架,有助于后續(xù)研究在此框架的基礎(chǔ)上進(jìn)一步揭示群體和其所處環(huán)境之間的物理關(guān)系對(duì)群體運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律.本文僅針對(duì)包含同種個(gè)體的魚(yú)群的運(yùn)動(dòng)形態(tài)進(jìn)行了研究,而自然界中常有不同魚(yú)類群體共存的現(xiàn)象,對(duì)不同生物群體間相互作用機(jī)理的研究將更具挑戰(zhàn)性和理論價(jià)值.