具有角速度和輸入約束的航天器姿態(tài)協同控制

鄭重 李鵬 錢默抒

在航天器編隊飛行任務中,航天器系統(tǒng)依照特定的任務要求,通過信息交互協作完成共同目標,形成一個分布式空間系統(tǒng),從而完成傳統(tǒng)的單一大型航天器難以實現的復雜空間任務.由于航天器編隊系統(tǒng)具有魯棒性強、可靠性高、發(fā)射成本低等優(yōu)點,成為近年來研究的熱點[1].為了保證航天器編隊系統(tǒng)能夠完全實現特定的空間任務,需要利用航天器之間的相對信息進行協同控制.

姿態(tài)協同控制是航天器編隊在軌運行的一項重要的關鍵技術,目前國內外學者已對其進行了較多研究[2?12],取得了一定的研究成果.然而,這些結果大多是采用四元數或羅德里格參數表示姿態(tài),由于四元數表示姿態(tài)具有非唯一性,可能導致出現姿態(tài)展開現象[13],因此航天器在跟蹤外界姿態(tài)信號時,航天器相對姿態(tài)的一致性很難得到保持.對于采用羅德里格參數描述的姿態(tài)控制設計方法,同樣存在姿態(tài)展開問題[14].解決姿態(tài)展開問題一般有兩種方法,一種是采用四元數和修正羅德里格參數(Modified Rodrigues parameters,MRP)的切換系統(tǒng)混雜控制實現全局姿態(tài)跟蹤[15],但是這種控制算法是非連續(xù)的,很難直接應用于飛輪、磁力矩器、控制力矩陀螺等提供連續(xù)的控制信號的航天器執(zhí)行機構中;第二種是直接基于旋轉矩陣描述姿態(tài)運動并設計協同控制器.因為旋轉矩陣在描述姿態(tài)運動時是無奇異的,并且它與航天器姿態(tài)是一一對應的關系,所以基于旋轉矩陣描述姿態(tài),并設計姿態(tài)協同控制算法能夠有效避免上述姿態(tài)展開現象.文獻[16] 采用旋轉矩陣描述的姿態(tài)運動數學模型,在只需要相對姿態(tài)誤差的情況下設計了自主姿態(tài)協同控制方法.文獻[17] 利用系統(tǒng)無源控制方法提出了角速度控制律并證明了姿態(tài)的一致性,但是沒有考慮系統(tǒng)姿態(tài)動力學方程.文獻[18] 在僅利用了相對姿態(tài)誤差情況下給出了角速度控制策略,同時進一步分析了發(fā)生通信拓撲切換情況的系統(tǒng)穩(wěn)定性.文獻[19] 給出了基于旋轉矩陣的姿態(tài)運動學方程,在沒有參考信息情況下設計了姿態(tài)同步控制算法,并且分析了控制算法對于常值通信時滯的魯棒性.文獻[20] 采用旋轉矩陣描述航天器姿態(tài),在有向通信圖下設計了姿態(tài)協同控制算法,并且同時研究了通信時滯、外界擾動和模型不確定性的影響.

在航天器姿態(tài)控制過程中,往往需要角速度和控制輸入滿足一定的約束.如在XTE (X-ray timing explorer,X 射線定時探測器)航天器姿態(tài)機動過程中,角速度陀螺需要滿足幅值受限的要求[21],因此角速度最大值不能超過給定的范圍.同時,飛輪、磁力矩器等執(zhí)行機構只能提供有限的控制力矩,如果控制指令給出的控制力矩太大,則控制系統(tǒng)可能發(fā)生控制輸入受限問題,導致控制性能下降,甚至是整個編隊系統(tǒng)的失穩(wěn).針對此問題,Hu 等[22]采用非線性PD 控制使得航天器跟蹤期望的姿態(tài),滿足角速度有界的要求,同時考慮了執(zhí)行器不確定性.進一步,Hu 等在文獻[23] 中考慮了執(zhí)行器的死區(qū)非線性和姿態(tài)展開,在文獻[24] 中研究了角速度和輸入幅值受限情況下姿態(tài)跟蹤控制問題.Shen 等[25]采用勢函數方法設計了自適應姿態(tài)跟蹤控制器,保證姿態(tài)角和角速度都能夠在跟定的范圍內變化.Yu等[26]采用滑模控制設計姿態(tài)跟蹤控制算法,能夠實現角速度和控制輸入在給定的界內.然而,在采用旋轉矩陣的姿態(tài)協同控制中,目前還幾乎沒有學者同時考慮角速度和控制輸入受限問題,特別是航天器還受到外界擾動和通信時滯的影響等情況.

本文主要采用旋轉矩陣描述的姿態(tài)跟蹤控制動力學模型,在有向通信結構下設計了能夠同時保證角速度和控制輸入有界的魯棒姿態(tài)協同控制算法.本文創(chuàng)新點包括:1)對于采用旋轉矩陣的閉環(huán)系統(tǒng)多個平衡點問題,給出了詳細的穩(wěn)定性分析,并證明了系統(tǒng)的幾乎全局漸近穩(wěn)定性;2)采用新的勢函數方法設計具有角速度限制的控制器,并且設計了新的濾波器補償控制輸入受限;3)考慮了可能存在信息傳輸時滯的情況,設計了對通信時滯具有魯棒性的姿態(tài)協同控制算法.

1 相關理論基礎

1.1 航天器姿態(tài)動力學模型

本文考慮n個航天器組成航天器編隊系統(tǒng),采用旋轉矩陣描述航天器姿態(tài)運動.假設航天器存在輸入飽和約束,則第i個航天器姿態(tài)運動學和動力學方程為[20]

式中:Ji∈R3×3表示航天器的轉動慣量矩陣;ωi∈R3為體坐標系表示下的角速度;ui,di∈R3分別表示控制力矩和擾動力矩,擾動的界可表示為‖di‖∞≤d0,d0>0 為未知常數;令ui=sat(τi),sat 為飽和函數,即對于向量y=[y1y2y3]T,

sgn(·)為符號函數,τ0>0 為控制輸入的上界.Ri∈SO(3)表示本體坐標系到慣性坐標系的旋轉矩陣;表示向量ωi=[ω1ω2ω3]T對應的反對稱陣,即

上述叉乘運算把三維向量映射為反對稱矩陣,設其逆運算為∨,則可得[20]

其中φ(A)=(A?AT)∨,x∈R3,A∈R3×3,R∈SO(3).

記期望的姿態(tài)為Rd∈SO(3),期望的角速度為ωd∈R3,并且滿足

本文的目的即為,設計控制器使得航天器在滿足角速度和控制約束下,實現協同一致地跟蹤期望的姿態(tài),即

并且當t→∞時,Ri→Rd,ωi→ωd.

1.2 圖論

圖是由若干給定的節(jié)點和連接兩個節(jié)點的邊集所構成的,記為G=(υ,?,C),它由節(jié)點集υ={υ1,υ2,···,υn}、邊集? ?υ×υ和加權鄰接矩陣C=[cij]∈Rn×n組成[27].如果節(jié)點υi能直接得到節(jié)點υj的信息,則圖中就包含一條從υj指向υi的邊,記為(υi,υj)∈?.加權鄰接矩陣C中的元素定義為:當(υi,υj)∈?時,cij >0;否則,cij=0.無向圖中要求cij=cji,即C是主對角元素為零的對稱矩陣;而有向圖中C則不一定是對稱的.如果對于i=1,2,···,n,有成立,則稱圖G是平衡的.

2 控制器設計

2.1 姿態(tài)協同控制器設計

定義姿態(tài)跟蹤誤差為

其中tr 表示矩陣的跡,顯然有0≤ei≤4 成立.由式(4)和式(7),ei的導數可計算為

利用式(3)～(5),的導數可進一步計算為

定義總誤差變量為

式中常數αi >0.在控制器設計之前首先給出下面引理1.

引理1.如果si∈L2且,則當t→∞時,.

證明.由式(11)可得

其中T >0.由式(13)且si∈L2,可得

因此δωi∈L2和成立.此外,由于si∈L∞,,可得δωi∈L∞,因此由式(12)可得,由可得∈L∞.因此由Barbalat 引理[28]可得,當t→∞時,δωi→0 且成立.

定義1.考慮如下非線性動態(tài)系統(tǒng)

其中U為狀態(tài)空間集合,并且系統(tǒng)存在某個平衡點xe.如果系統(tǒng)是Lyapunov 穩(wěn)定的,并且存在一個零測度集U0,對于與任意的x0∈UU0,成立

則稱平衡點xe是幾乎全局漸近穩(wěn)定的.

為了補償控制輸入飽和的影響,設計濾波器ξi為

式中常數λ1>0,Δτi=sat(τi)?τi表示輸入飽和約束下的有界控制與所設計的控制之差.因此由式(8)可得

式中:cij表示加權鄰接矩陣C中的元素;為擾動上界d0的估計值,且要求;常數γi >0;矩陣Ψi為

式中si=[si1si2si3]T,為si的上界,并且本文假設系統(tǒng)初值滿足,k=1,2,3.

定理1.對于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)和(2),定義集合,在濾波器式(16)、控制器式(18)和自適應律式(19)作用下,如果航天器之間的通信拓撲圖為平衡有向圖,則可得:

1)集合Pi中的任意一點都是不穩(wěn)定的平衡點;

2)閉環(huán)系統(tǒng)具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性,即對于除了一個測度為零的集合之外的系統(tǒng)初始狀態(tài),系統(tǒng)軌跡收斂到集合中,當t→∞時,Ri→Rd,δωi→0;

3)對于任意時刻,航天器角速度和控制輸入滿足約束‖ωi‖∞≤ω0,‖ui‖∞≤τ0.

證明.選取Lyapunov 函數為

把式(24)代入式(23)可得

因此V有界,并由式(22)可知si,∈L∞,對式(25)兩邊積分可得

因此si∈L2,由引理1 可得當t→∞時,δωi→0,.系統(tǒng)的平衡點為

下面利用旋轉矩陣的四元數表示證明結論1).設qd為Rd對應的期望四元數,qi表示Ri對應的四元數,誤差四元數定義為,其中表示四元數qd的共軛,°表示四元數乘法.對于四元數,相應的旋轉矩陣為,從而在集合Oi中,有=4qi1qiv=0,因此qi1=0 或者qiv=0.可得Pi==0,qi1=0},此時qi1的動力學方程可表示為

由于αi >0,因此平衡點qi1=0 是不穩(wěn)定的,并且si收斂到0,所以集合Pi中的任意點都是不穩(wěn)定的平衡點.由此證明了結論1).

由si→0 和αi >0,可得V0→0,因此qiv→0.由此可得集合Qi中任意點都是穩(wěn)定的平衡點.

同時,系統(tǒng)軌跡可能沿著變量si的穩(wěn)定中心流形逐漸收斂到集合Pi中.由文獻[29] 的結果可知,這些系統(tǒng)軌跡集合在整個狀態(tài)空間的測度為0,而且不穩(wěn)定的平衡點集合Pi在狀態(tài)空間R3×SO(3)上的測度也為0,這就證明了,如果初始狀態(tài)不在這個零測度集,則系統(tǒng)軌跡收斂到期望的平衡點中,即當t→∞時,Ri→Rd,δωi→0.由此證明了結論2).

當|sik|<時,有界,并且當|sik|→時,→∞,由于V有界,可知|sik(t)|<,所以是存在的并且不會出現奇異,并且

因此

并且

由此證明了結論3). □

2.2 通信時滯下的姿態(tài)協同控制器設計

為了實現姿態(tài)的協同控制,航天器需要獲取相對姿態(tài)信息,這些信息可以通過無線傳輸等通信方式得到.由于航天器通信距離較遠和信息傳輸設備的物理限制,信息傳輸過程中可能產生通信時滯.本節(jié)進一步研究航天器編隊系統(tǒng)中存在通信時滯的情況,則航天器只能得到時滯發(fā)生后的信息sj(t?Tij),此時控制器為

其中Tij(t)≥0 是時變的.假設時滯量Tij的精確值未知,但是的上界是已知的,并且滿足≤hij <1.則可以得到下面的定理2.

定理2.對于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)和(2),定義集合,在控制器式(16)、式(34)和式(19)的作用下,如果航天器的通信拓撲圖為平衡有向圖,且控制器參數滿足

式中常數ρ>1.則定理1 中的結論仍然成立.

證明.選取Lyapunov 函數為

對上式求導可得

注意到

把式(38)和式(39)代入式(37)可得

因此si∈L2,由引理1 可得當t→∞時,δωi→0,→0.接下來的證明與定理1 的證明過程類似,同樣可以得到定理1 中的3 條結論,在此不再贅述. □

3 數值仿真

本節(jié)采用MATLAB 進行數值仿真以驗證所提出控制算法的有效性,為了簡便考慮,只對具有通信時滯的控制器(34)進行驗證.假設四個航天器組成編隊系統(tǒng),航天器受到的擾動為

航天器的轉動慣量矩陣設為

航天器的初始角速度設為0,初始姿態(tài)設為

期望角速度取為

期望旋轉矩陣的初始值取為

控制器(34)的加權鄰接矩陣C選取為

控制器(34)的參數選取為αi=0.1,ki=15,λ1=0.2,自適應律式(16)和式(19)參數分別選取為ξi(0)=[0.1 0.1 0.1]T,=0.001 N·m,γi=0.00005.時變的通信時滯取為

要求的角速度和控制輸入上界分別取為

令常數ρ=3,則顯然在所選取的控制器參數下,式(35)能夠得到滿足.

定義航天器的姿態(tài)角誤差σi為

顯然當σi=0 時,Ri=Rd,表明實現了航天器的姿態(tài)同步跟蹤.控制器(34)的仿真結果如圖1～5所示.圖1 給出了航天器的姿態(tài)誤差角的變化曲線,可以看出姿態(tài)誤差角最終收斂到零,表明航天器姿態(tài)最終收斂到期望的姿態(tài).圖2 給出了航天器角速度誤差的曲線,航天器角速度跟蹤誤差也能收斂到零.圖3 和圖4 給出了航天器角速度和控制力拒的變化曲線,可以看出角速度和控制力矩都能夠滿足事先所給定的有界性約束.圖5 給出了濾波器ξi的曲線,從圖中可以看出ξi最終收斂到0.

圖1 控制器(34)下的姿態(tài)角誤差Fig.1 Attitude angle error with controller (34)

圖2 控制器(34)下的角速度誤差Fig.2 Angular velocity error with controller (34)

圖3 控制器(34)下的角速度Fig.3 Angular velocity with controller (34)

圖4 控制器(34)下的控制力拒Fig.4 Control torque with controller (34)

圖5 控制器(34)下的濾波器ξiFig.5 The filter ξi with controller (34)

為了進一步研究本文提出控制方法的性能,把控制器(34)和如下未考慮角速度和輸入約束的控制器作對比

控制器(42)的仿真結果如圖6～8 所示.圖6 給出了控制器(42)下的姿態(tài)誤差角的變化曲線,對比圖1 和圖6 可以看出,兩種控制器下姿態(tài)誤差角都在大約30 s 收斂到零附近.圖7 給出了控制器(42)下的角速度,從圖中可以看出角速度y軸分量已經超過角速度上界ω0=0.5 rad/s,說明控制器(42)無法滿足角速度約束.圖8 為控制器(42)下的控制力矩,同樣從圖中可以看出控制力矩y軸分量超過控制輸入上界τ0=5 N·m,控制器(42)也無法滿足控制輸入約束.因此,提出的控制器(34)與常規(guī)控制器(42)具有相當的控制性能,并且滿足角速度和輸入約束.

圖6 控制器(42)下的姿態(tài)角誤差Fig.6 Attitude angle error with controller (42)

圖7 控控制器(42)下的角速度Fig.7 Angular velocity with controller (42)

圖8 控制器(42)下的控制力拒Fig.8 Control torque with controller (42)

4 結論

在通信圖是有向的情況下,設計了基于旋轉矩陣描述的自適應魯棒姿態(tài)協同控制算法,保證了系統(tǒng)角速度和控制輸入滿足有界性的約束,并分析了系統(tǒng)的Lyapunov 穩(wěn)定性,證明了閉環(huán)系統(tǒng)在期望的平衡點具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性.當外界擾動存在時,提出了自適應算法估計外界擾動的上界,并且設計濾波器補償控制輸入飽和的影響,對于所設計的控制算法,通過穩(wěn)定性分析,證明了對于除了一個測度為零的集合之外的系統(tǒng)初始狀態(tài),系統(tǒng)誤差能夠收斂到0;進一步把結果推廣到時變通信時滯情況,仍然能夠保證系統(tǒng)具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性,以及對通信時滯的魯棒性.仿真結果進一步表明系統(tǒng)在所設計的控制算法下具有較好的性能.