數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下STEAM教育與初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”相融合研究

馮 玲

（淮南市教育體育局 中小學(xué)教學(xué)教研室，安徽 淮南 232001）

一、問(wèn)題的提出

STEAM教育實(shí)踐源于20世紀(jì)80年代的美國(guó)，該教育理論的創(chuàng)始人亞克門（Georgette Yakman）認(rèn)為，STEAM教育就是用跨學(xué)科的方法教授科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)和數(shù)學(xué)的理論和實(shí)踐活動(dòng)的總稱。

目前世界上許多國(guó)家都開(kāi)始了對(duì)STEAM的研究，我國(guó)的起步較晚，2015年教育部發(fā)布文件明確指出：“有條件的地區(qū)要有效利用信息技術(shù)推進(jìn)創(chuàng)客空間的建設(shè)，探索創(chuàng)客教育、STEAM教育等新教育模式”，逐漸開(kāi)始了對(duì)STEAM的關(guān)注與研究［1］（P23-28）。但是，目前對(duì)STEAM教育的研究范圍仍然有一定的局限性，參與研究或?qū)嵤┑腟TEAM教育基本上都是創(chuàng)客教育與教育機(jī)構(gòu)，只有很少的中小學(xué)校參與其中。也就是說(shuō)STEAM教育還未能全面走進(jìn)中小學(xué)，也未能納入常態(tài)的課程與教學(xué)，研究進(jìn)程也相對(duì)緩慢，而且研究理論性的多，可操作性的少；STEAM教育是什么，STEAM教育的內(nèi)容是什么，STEAM教育以何種形式開(kāi)展，STEAM教育的理論支撐有哪些，仍需不斷拓展新認(rèn)識(shí)；理論研究尚浮在表面，對(duì)于STEAM課程教學(xué)實(shí)踐的研究具有較為寬廣的研究空間。

2018年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式界定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面［2］（P4）。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雖然沒(méi)有給出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的定義，但卻提出了在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想，還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，這就是義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科的“十個(gè)核心概念”［3］（P5-7）。核心概念與核心素養(yǎng)之間具有密切的聯(lián)系，如圖1所示。

圖1 數(shù)學(xué)核心概念與核心素養(yǎng)的關(guān)系

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需從義務(wù)教育階段做起，更離不開(kāi)課堂教學(xué)，教師在課堂教學(xué)中真正做到注重“十個(gè)核心概念”的滲透，實(shí)際上就是培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

“綜合與實(shí)踐”課程要求以問(wèn)題為載體、師生共同參與，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，運(yùn)用數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)和方法解決問(wèn)題。針對(duì)具體問(wèn)題，學(xué)生利用已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立研究或與同伴合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的科學(xué)探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與實(shí)踐之間、數(shù)學(xué)與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解［4］。

綜上所述，STEAM教育理念和“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課程之間有許多共通之處，二者的教育價(jià)值取向高度契合，體現(xiàn)在注重學(xué)科間的融合、注重活動(dòng)式學(xué)習(xí)方式（項(xiàng)目式學(xué)習(xí)）、注重本學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用、注重本學(xué)科與其他學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用。將STEAM教育理念融入初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程勢(shì)在必行，只有這樣，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升才能真正落到實(shí)處。

二、研究的理論框架

STEAM教學(xué)活動(dòng)通常借助“做中學(xué)”、基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、6E教育模式、科學(xué)探究的一般過(guò)程、工程設(shè)計(jì)的一般過(guò)程等理論與方法，它們?yōu)镾TEAM的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)提供理論支撐。STEAM活動(dòng)的“做中學(xué)”有五大特點(diǎn)，即跨學(xué)科性、體驗(yàn)性、情境性、協(xié)作性和技術(shù)增強(qiáng)性，“做”的要求更新穎，“學(xué)”的內(nèi)涵更豐富。STEAM學(xué)科的深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和接受事實(shí)，將新思想與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系并進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移（將已有的知識(shí)遷移到新的情境中），進(jìn)而做出決策并能解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)。基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)是以項(xiàng)目形式，圍繞問(wèn)題解決而展開(kāi)（項(xiàng)目本是由管理學(xué)科延伸出來(lái)教學(xué)領(lǐng)域），因此基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，一般有情境、內(nèi)容、活動(dòng)、結(jié)果等要素，STEAM教育活動(dòng)基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，要求必須有產(chǎn)品產(chǎn)出。6e教學(xué)模式是一種基于構(gòu)建主義教學(xué)理論的模式，它的構(gòu)成包括吸引、探究、解釋、設(shè)計(jì)（工程的主要體現(xiàn)）、拓展和評(píng)價(jià)。科學(xué)探究一般過(guò)程是通過(guò)科學(xué)探究的方法來(lái)解決問(wèn)題和完成項(xiàng)目的實(shí)踐，是促進(jìn)中小學(xué)生體驗(yàn)科研樂(lè)趣、養(yǎng)成良好科研習(xí)慣的方法。

STEAM教學(xué)活動(dòng)借助基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)方法時(shí)可能會(huì)運(yùn)用到科學(xué)探究一般過(guò)程的方法來(lái)解決問(wèn)題，也可能運(yùn)用到工程設(shè)計(jì)一般過(guò)程的方法來(lái)解決問(wèn)題，工程和技術(shù)是實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目任務(wù)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的理論基礎(chǔ)源自杜威的“在做中學(xué)”、皮亞杰的“活動(dòng)教學(xué)論”、布魯納的“發(fā)現(xiàn)法教學(xué)模式”。STEAM教學(xué)活動(dòng)中體現(xiàn)的理論與思想具有目標(biāo)性、社會(huì)性和合作性等特點(diǎn)，學(xué)生可以通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作完成項(xiàng)目任務(wù)。STEAM教育與“綜合與實(shí)踐”在某種意義上可以說(shuō)是同根同源。把STEAM教育理念融入初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑。

三、核心素養(yǎng)下STEAM“基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)”模式

STEAM的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)以其中一項(xiàng)理論為主展開(kāi)，并融入STEAM教育理論。常見(jiàn)的模式通常有“基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)”模式和“6E教育模式”。課題組選擇“基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)”模式，對(duì)人教版八年級(jí)“黃金矩形”進(jìn)行項(xiàng)目型學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)興趣與熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。這樣的選擇基于以下幾點(diǎn)考慮：一是項(xiàng)目工具容易獲得（矩形紙張），且與生活緊密聯(lián)系。二是便于操作，且體現(xiàn)了項(xiàng)目與技術(shù)、工程有著潛在的關(guān)聯(lián)，這是融入STEAM教育理念的契機(jī)。按照STEAM教育理念設(shè)計(jì)“項(xiàng)目型學(xué)習(xí)”課例進(jìn)行教學(xué)，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生人文素養(yǎng)（審美情趣）與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（運(yùn)算能力、邏輯推理）的形成與發(fā)展。該模式下，學(xué)生基于真實(shí)問(wèn)題情境（折疊黃金矩形）進(jìn)行科學(xué)探究，結(jié)合科學(xué)探究的思維與工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐，通過(guò)實(shí)踐體驗(yàn)、小組合作解決挑戰(zhàn)性任務(wù)，同時(shí)也整合了跨學(xué)科知識(shí)。

基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)是STEAM教育的主要方式，STEAM課程活動(dòng)通常以項(xiàng)目形式圍繞問(wèn)題解決而展開(kāi)，其構(gòu)成如圖2所示。

圖2 基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)的構(gòu)成

項(xiàng)目型學(xué)習(xí)為學(xué)生提供了真實(shí)情境，在情境中解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)各學(xué)科的概念和原理。在設(shè)計(jì)時(shí)要對(duì)項(xiàng)目給予必要的規(guī)定，如條件限制、任務(wù)目標(biāo)（學(xué)生掌握的知識(shí)技能）、參考標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)幫助學(xué)生了解他們?cè)谕瓿扇蝿?wù)方面的成長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)評(píng)估的基礎(chǔ)和依據(jù)），要在整個(gè)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)團(tuán)隊(duì)的協(xié)作、溝通與交流最終解決問(wèn)題，要在活動(dòng)中強(qiáng)化學(xué)生的高階思維，還要有語(yǔ)言、藝術(shù)等方面的支持。

四、核心素養(yǎng)下STEAM“基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)”模式課例教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）項(xiàng)目型學(xué)習(xí)模式課例設(shè)計(jì)模型

我們?cè)谶M(jìn)行調(diào)研、教學(xué)實(shí)踐、研討交流的基礎(chǔ)上總結(jié)提升，提煉出將STEAM教育理念融入初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程的教學(xué)設(shè)計(jì)模型：“數(shù)學(xué)+技術(shù)+x”模型，即以數(shù)學(xué)為核心，以技術(shù)（尤其是信息技術(shù)）為手段，深度融合科學(xué)、工程和藝術(shù)。此模型旨在凸顯初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程的綜合性、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心性、STEAM教育理念的引領(lǐng)性與學(xué)科融合性。其具體框架如圖3所示。

圖3 項(xiàng)目型學(xué)習(xí)框架

此框架，并不僅僅只有簡(jiǎn)單的兩兩結(jié)合或三三結(jié)合，而是旨在追求多要素和諧結(jié)合，相互作用。本課題面向初中數(shù)學(xué)教師，服務(wù)于初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，這就決定了必須以數(shù)學(xué)為核心，以信息技術(shù)（辦公軟件、幾何畫(huà)板、音視頻處理軟件、繪圖軟件、電子白板等等）為主要手段，在課堂上呈現(xiàn)出科學(xué)、工程、藝術(shù)的相關(guān)知識(shí)，并將其完美的融入課堂，滲透進(jìn)課程之中。

“項(xiàng)目型學(xué)習(xí)”一般情況下由多個(gè)課時(shí)完成，本研究所探討的是現(xiàn)行教學(xué)體制下的課堂（45分鐘）教學(xué)模式。

下面以人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第18章數(shù)學(xué)活動(dòng)2“黃金矩形”為例進(jìn)行此教學(xué)模式的實(shí)踐探討。數(shù)學(xué)活動(dòng)“黃金矩形”的知識(shí)框架如圖4所示。

圖4 “黃金矩形”的知識(shí)框架

根據(jù)課程教學(xué)的實(shí)際要求，本文設(shè)計(jì)了“黃金矩形”的課例活動(dòng)教學(xué)計(jì)劃安排表，如表1所示。

表1 “黃金矩形”課例活動(dòng)教學(xué)計(jì)劃安排表

（二）課后追蹤與評(píng)價(jià)

按照數(shù)學(xué)活動(dòng)“黃金矩形”的課例活動(dòng)模型設(shè)計(jì)、實(shí)施了課堂教學(xué)之后。我們通過(guò)問(wèn)卷進(jìn)行追蹤得出如下數(shù)據(jù)分布。

圖5 課后追蹤與評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：

(1)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的核心知識(shí)掌握良好，學(xué)科素養(yǎng)得到提升。

第5題顯示出93%的學(xué)生能很好的掌握黃金矩形的概念，并做出判斷。第6題顯示出48%的學(xué)生能獨(dú)立思考完成課堂中折出的矩形是黃金矩形的證明（邏輯推理），48%的學(xué)生與小組成員交流后能完成證明。

(2)學(xué)生較好地完成了項(xiàng)目要求。

第4題顯示出77%的學(xué)生能很好地完成“折黃金矩形”，21%的學(xué)生基本完成“折黃金矩形”。第18題顯示，47%的學(xué)生能獨(dú)立完成禮品盒的制作，47%的學(xué)生和小組交流后能完成禮品盒的制作，6%的學(xué)生在老師的幫助下完成禮品盒的制作。

(3)基本實(shí)現(xiàn)STEAM教育主導(dǎo)的學(xué)科融合

第20題顯示，有92%的學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流，體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活的緊密聯(lián)系；通過(guò)實(shí)踐探索，切實(shí)感受到數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)的密切相關(guān)。

五、核心素養(yǎng)下STEAM教育利用“技術(shù)”突破難點(diǎn)的實(shí)例

STEAM教育與“綜合與實(shí)踐”有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。讓STEAM教育理念融入初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程中是促進(jìn)核心素養(yǎng)培育的重要途徑。在具體的操作過(guò)程中需要注重學(xué)科間的融合，注重活動(dòng)式學(xué)習(xí)方式（項(xiàng)目式學(xué)習(xí)），注重本學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用，注重本學(xué)科與其他學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用，以更好地推動(dòng)課堂，突破教學(xué)中不易解決的難點(diǎn)問(wèn)題。 課題組以“最短路徑（將軍飲馬）問(wèn)題”為例，對(duì)STEAM教育理念與初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”相融合進(jìn)行了積極和有益的課堂教學(xué)探索。通過(guò)對(duì)該課堂案例進(jìn)行重新分析和審視反思，旨在引領(lǐng)一線教師在進(jìn)行“綜合與實(shí)踐”模塊的教學(xué)時(shí)，注重深度學(xué)習(xí)，注重跨學(xué)科學(xué)習(xí)，注重知識(shí)的綜合應(yīng)用，注重強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）借助平面鏡實(shí)驗(yàn)

在教學(xué)中,可利用物理光學(xué)的鏡像實(shí)驗(yàn)對(duì)“最短路徑（將軍飲馬）問(wèn)題”的難點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師：我們把河邊看做一條直線，將兩個(gè)村莊視為兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線上確定點(diǎn)使得兩點(diǎn)與確定點(diǎn)的距離和最?。▓D6）？

圖6 海倫光程最短原理

（啟發(fā)同學(xué)思考：如何能讓其中的一點(diǎn)，“穿越”到直線的另一側(cè),轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)在直線異側(cè)的最短路徑問(wèn)題？）

師：請(qǐng)看實(shí)驗(yàn)，把激光筆的光源點(diǎn)放在A處，直線l處放置平面鏡，A在鏡子里的虛像為A' 。如何找到虛像A' 點(diǎn)，完成A點(diǎn)的“穿越”呢？

生：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A' 。

師：這里的平面鏡在此視角下的視圖是一條直線，這條直線相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的什么工具呢？

生：對(duì)稱軸！

師：軸對(duì)稱有什么性質(zhì)，你們還記得嗎？

生：軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分。

師：線段的垂直平分線有什么性質(zhì)？

生：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。

師：如何在直線l上找一點(diǎn)P使A' B最短呢？

生：連接A' B交l于點(diǎn)P，P是所求點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短。

師：如何在直線l上找一點(diǎn)P使得PA+PB最短呢？說(shuō)明理由。

師生互動(dòng)：還是P點(diǎn)，因?yàn)閘是點(diǎn)A和點(diǎn)A' 的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸就是AA' 的垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的線段相等。

師：大家再觀察最短路線的做法，這像是物理中的……

生：（驚呼）這不是物理中的光的反射路線嗎？

師：光從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線l反射到B點(diǎn)所構(gòu)成的入射角等于反射角，于是根據(jù)光學(xué)作圖知識(shí)可知，取A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A' 點(diǎn)，連A' B交直線l于點(diǎn)P（B點(diǎn)作法同上),P就是所求作的點(diǎn)，因?yàn)楣庠谀撤N介質(zhì)沿直線傳播，而兩點(diǎn)之間線段最短，這就是著名的光程最短原理，后人把這條原理稱為海倫光程最短原理，也叫做海倫最短線。

設(shè)計(jì)理念：利用海倫光程最短原理，可以解決許多最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)和物理是科學(xué)上最重要的兩個(gè)分支，物理為數(shù)學(xué)思考提供了豐富的背景來(lái)源，在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，通過(guò)物理的光學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生依據(jù)光學(xué)作圖，容易聯(lián)想到軸對(duì)稱變換，將直線同側(cè)兩點(diǎn)，轉(zhuǎn)換成直線異側(cè)兩點(diǎn)，化折為直，形成解題策略。

（二）借助平面鏡成像

師：同學(xué)們，我們?cè)谏闲抡n之前首先回憶一個(gè)物理學(xué)實(shí)驗(yàn)。（圖7）

圖7 平面鏡成像

生：集體回答平面鏡成像的特點(diǎn)。

師：像和物關(guān)于平面鏡成什么對(duì)稱？

生：軸對(duì)稱!

師：很棒!同學(xué)們對(duì)這個(gè)物理實(shí)驗(yàn)掌握的很好．如圖①（PPT），請(qǐng)你畫(huà)一條蠟燭通過(guò)平面鏡反射到眼睛的光路圖。

生：上黑板畫(huà)圖。（在學(xué)生畫(huà)完圖后，老師在屏幕展示圖②）

師：這位同學(xué)請(qǐng)來(lái)解釋一下你為什么這么畫(huà)？

生：光在同一種均勻介質(zhì)中是沿直線傳播的，所以我們眼睛感覺(jué)光是由反射光線的反向延長(zhǎng)線上的像S' 發(fā)出的，因此連接S' 和眼睛兩點(diǎn)之間的線段就能得到反射光線，再把線段與平面鏡的交點(diǎn)與物連接就得到入射光線。

師：這位同學(xué)回答的非常棒，為我們解釋了光路圖的由來(lái)，即費(fèi)馬提出的光行最短原理。

師：線段AS' 是點(diǎn)A和像S' 點(diǎn)之間最短的路徑嗎？

生：是的，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短。

師：很好，丙又用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋了這個(gè)兩點(diǎn)之間線段最短。

師：觀察圖②，線段PS和PS' 是否相等，為什么？

生：相等，因?yàn)镾和S' 關(guān)于玻璃板成軸對(duì)稱，即玻璃板是這兩點(diǎn)連線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離相等，所以PS等于PS' 。

師：根據(jù)你們的解釋老師得出結(jié)論：AP+PS=AS' ，是否正確？

生：正確。

師：這條光路是玻璃板上所有點(diǎn)與眼睛和物的連線段之和中最短的嗎？為什么？

生：是的，根據(jù)光行最短原理。

師：很好，我們今天也來(lái)研究一個(gè)最短路徑問(wèn)題（PPT展示）——引出課題“將軍飲馬”（圖8）

圖8 將軍飲馬

在學(xué)生思考時(shí)可以把圖②轉(zhuǎn)換成圖③，以方便學(xué)生觀察對(duì)比。

設(shè)計(jì)理念：知識(shí)的學(xué)習(xí)是不斷積累的過(guò)程，各學(xué)科的學(xué)習(xí)也不是一個(gè)獨(dú)立的過(guò)程，本節(jié)課“將軍飲馬”涉及的最短路徑和對(duì)稱變換不僅在前面學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)已經(jīng)了解和掌握，同樣在物理的幾何光學(xué)中也有涉及，所以作者認(rèn)為教授本節(jié)課時(shí)可以利用學(xué)科融合的理念：首先通過(guò)回憶物理學(xué)科平面鏡成像時(shí)像與物的關(guān)系（知道物與像是關(guān)于玻璃板成軸對(duì)稱的），把將軍飲馬問(wèn)題中的同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換成異側(cè)兩點(diǎn)，再利用光在同種均勻的介質(zhì)中是沿直線傳播的原理，明確從像點(diǎn)到眼睛的線段長(zhǎng)度等于光路的長(zhǎng)度，把將軍飲馬問(wèn)題的最短路徑的折線轉(zhuǎn)化為直線（線段）。這種引入不僅突破了“將軍飲馬”問(wèn)題中的難點(diǎn)“同側(cè)變異側(cè)”，同時(shí)也讓學(xué)生對(duì)光路最短有了幾何證明的根據(jù)，為物理光學(xué)作圖提供了理論依據(jù)。

（三）借助幾何畫(huà)板化折為直

師：打開(kāi)幾何畫(huà)板軟件（圖9），如圖①，C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拖動(dòng)點(diǎn)C，你能找到AC與BC的和最小時(shí)點(diǎn)C的位置嗎？動(dòng)手試一試。（學(xué)生操作實(shí)踐，找到最佳位置點(diǎn)C,如圖②所示）

圖9 借助幾何畫(huà)板化折為直

師：觀察圖②中的∠1與∠2,測(cè)量后你有何發(fā)現(xiàn)？

生：∠1=∠2。

師（追問(wèn)）：為什么∠1=∠2時(shí)，AC與BC的和最??？（學(xué)生可能一臉茫然）

師（引導(dǎo)）：目前學(xué)過(guò)的與線段最短有關(guān)的知識(shí)有哪些？同學(xué)們思考下。

生：垂線段最短。

師：可是，圖②中沒(méi)有涉及到垂線段，顯然AC與BC的和與“垂線段最短”無(wú)關(guān)聯(lián)，可以排除。還有哪些知識(shí)與線段最短有關(guān)呢？

生：兩點(diǎn)之間線段最短。

師（故作困惑狀）：可是，AC+BC是兩條線段的和，不是一條線段呀？

生：AC+BC看起來(lái)像是線段AB沿點(diǎn)C“折”起來(lái)了。

師：我們不妨把AC+BC稱為“折線段ACB”，那么你能把“折線段”ACB轉(zhuǎn)化成一條直的線段嗎？（學(xué)生自然聯(lián)想到化“折”為“直”）

生：如圖③所示，延長(zhǎng)AC至B' ,使B' C=BC。如圖④所示，延長(zhǎng)BC至A' ,使A' C=AC。

師：此時(shí)，B' 、B（或A' 、A）與直線l有何位置關(guān)系？

生：B' 、B（或A' 、A）關(guān)于直線l對(duì)稱。

師：由∠1=∠2，易得B' 、B（或A' 、A）關(guān)于直線l對(duì)稱，從而找到作出最佳位置點(diǎn)C的方法。下面請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考，為什么B' 、B（或A' 、A）關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，AC與BC的和最?。?/p>

設(shè)計(jì)理念：

1.遵循事物認(rèn)知的自然規(guī)律，道法“自然”。借助幾何畫(huà)板軟件動(dòng)手操作拖動(dòng)，讓最佳點(diǎn)C的位置自然“出現(xiàn)”，為后續(xù)探究將直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)做好鋪墊。

2.尊重學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),注重新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓新知在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)(兩點(diǎn)之間線段最短)之上“生長(zhǎng)發(fā)芽”,從而實(shí)現(xiàn)思維難點(diǎn)突破,使思維漸入佳境。

（四）借助幾何畫(huà)板“畫(huà)圓”

師：根據(jù)前面的分析，我們需要在直線l上找到P點(diǎn)，使得PA+PB最小！你認(rèn)為P點(diǎn)放在直線l的什么位置呢？請(qǐng)你借助電腦的幾何畫(huà)板軟件驗(yàn)證你的猜想，隨后在班級(jí)進(jìn)行交流（圖10）。

圖10 借助幾何畫(huà)板“畫(huà)圓”

生1：我覺(jué)得應(yīng)該過(guò)A點(diǎn)做直線l的垂線，P點(diǎn)應(yīng)該是垂足。這樣就可以利用垂線段最短。但是通過(guò)幾何畫(huà)板測(cè)量發(fā)現(xiàn)能找到更短的。

生2：我猜想作線段AB的垂直平分線，它與直線l的交點(diǎn)是P點(diǎn)。但是通過(guò)幾何畫(huà)板測(cè)量發(fā)現(xiàn)也能找到更短的。

師：你們能利用幾何畫(huà)板找到P點(diǎn)的真正位置嗎？

學(xué)生活動(dòng)：利用幾何畫(huà)板，拖動(dòng)P點(diǎn)，測(cè)量并計(jì)算PA+PB的值，確定最小值時(shí)P點(diǎn)位置。

生：我找到了，PA+PB的最小值等于5.04。

師：同學(xué)們，我們不能只依靠作圖軟件解決問(wèn)題，大家想一想，能不能通過(guò)作圖的辦法找到P點(diǎn)呢？

師：如果讓你改變B點(diǎn)位置，你能得到一個(gè)你可以解決的問(wèn)題嗎？

生：如果B點(diǎn)在直線l的下面，就可以利用兩點(diǎn)之間線段最短，直接連線段AB，AB與直線l的交點(diǎn)就是P點(diǎn)。

師：非常好！A、B在直線l的異側(cè)就行了！那么你能不能想辦法把我們這個(gè)將軍飲馬的問(wèn)題改成兩點(diǎn)在異側(cè)的問(wèn)題嗎？需要滿足什么條件呢？

生：要保證PA+PB等于5.04！

生：要保證A、P、B三個(gè)點(diǎn)在一條直線上！

師：大家說(shuō)的都有道理！怎么才能保證PA+PB等于5.04呢？

生：以A為圓心，5.04為半徑做一個(gè)圓，圓上的點(diǎn)都可以。

師：圓上的點(diǎn)都可以嗎？

生：老師，我覺(jué)得應(yīng)該是這個(gè)圓與直線的交點(diǎn)作為點(diǎn)才可以。

師：請(qǐng)大家做出這個(gè)新的B點(diǎn)，我們把它命名為B1，你認(rèn)為B點(diǎn)和B1點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系？能不能用幾何畫(huà)板驗(yàn)證一下。

生：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱。我做B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，剛好B1與之重合。

師：通過(guò)剛才的分析和驗(yàn)證，你能不能總結(jié)將軍飲馬問(wèn)題的解法？也就是如何找到P點(diǎn)？

生：做B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1，交直線l于P！

設(shè)計(jì)理念：學(xué)生通過(guò)在七年級(jí)及八上第12章的學(xué)習(xí)，有了幾何畫(huà)板的初步使用經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課學(xué)生對(duì)幾何畫(huà)板充分運(yùn)用，逐步探究、層層深入，利用信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)“猜想驗(yàn)證—操作探究—邏輯分析—作圖驗(yàn)證”的過(guò)程，在老師的耐心引導(dǎo)下，自主探索，得出將軍飲馬問(wèn)題的解決方案，突破了本節(jié)課的難點(diǎn)。課堂上，教師帶領(lǐng)學(xué)生多次使用幾何畫(huà)板軟件，展開(kāi)探究活動(dòng)、判斷分析結(jié)論、利用工具驗(yàn)證，最后縝密推理論證，體現(xiàn)了技術(shù)在數(shù)學(xué)課程中的作用。學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)了實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的方法，同時(shí)也獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，有利于進(jìn)一步理解有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力。

（五）借助“折紙”

問(wèn)題1：如圖①，A為馬廄，B為帳篷。 某一天牧馬人要從馬廄A出發(fā)，牽馬到一條筆直的河邊l飲馬，然后蹚水過(guò)河，回到對(duì)岸的帳篷B。牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使馬所走的路線全程最短？（圖11-1）

圖11-1 折紙實(shí)驗(yàn)

師：你能將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生：如圖②，點(diǎn)A、B是直線l異側(cè)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的什么位置時(shí)，PA+PB的和最??？

師：你能找到滿足條件的點(diǎn)P嗎？

生：連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。

師：你能說(shuō)出P點(diǎn)為所求點(diǎn)的理由嗎？

生：因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”，

圖③中PA+PB＜AP1+P1B，PA+PB＜AP2+P2B。

問(wèn)題2：牧馬人覺(jué)得蹚水過(guò)河很不方便，決定將帳篷搬到河的另一側(cè)，即與馬廄A位于河的同側(cè)。如圖④，牧馬人從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B地。到河邊什么地方飲馬，可使馬所走的路線全程最短？（圖11-2）

圖11-2 折紙實(shí)驗(yàn)

師：你能將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生：如圖⑤，點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的什么位置時(shí)，PA+PB的和最??？（圖11-3）

圖11-3 折紙實(shí)驗(yàn)

師：①這個(gè)問(wèn)題與前面的問(wèn)題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？②能否抓住它們之間的聯(lián)系與區(qū)別解決這個(gè)問(wèn)題？

生：……

師：如果我們將同學(xué)們剛才作圖的草稿紙，沿直線l對(duì)折，如圖⑥，點(diǎn)B落在了什么位置？

生：落在了直線l的另一側(cè)，點(diǎn)A、B成為了直線l同側(cè)的兩點(diǎn)。

師：剛才圖中PB，P1B，P2B的位置隨之發(fā)生了變化，它們的長(zhǎng)度發(fā)生變化了嗎？

生：沒(méi)有，折疊只改變了PB，P1B，P2B的位置，沒(méi)有改變它們的長(zhǎng)度。

師：那么PA+PB，AP1+P1B，AP2+P2B的值變化了嗎？

生：沒(méi)有。

師：PA+PB，AP1+P1B，AP2+P2B的大小關(guān)系變化了嗎？

生：沒(méi)有，仍然是PA+PB＜AP1+P1B，PA+PB＜AP2+P2B。

師：通過(guò)“折紙”，我們確定的點(diǎn)P，是否能夠滿足題意？

生：是的。

師：如圖⑦，原來(lái)位置的點(diǎn)B如果被記為B' ,那么點(diǎn)B和點(diǎn)B' 有什么關(guān)系？（圖11-4）

圖11-4 折紙實(shí)驗(yàn)

生：點(diǎn)B和點(diǎn)B' 是關(guān)于直線l的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)。

師：現(xiàn)在你們能通過(guò)作圖解決“點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的什么位置時(shí)，PA+PB的和最?。俊边@一問(wèn)題嗎？

生：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B' ；

（2）連接AB' ，與直線l相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。

師：“作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B' ”在這個(gè)問(wèn)題的解決中起到了什么作用？

生：（1）轉(zhuǎn)移點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)移線段。

設(shè)計(jì)理念：STEAM教育能夠培養(yǎng)學(xué)生用跨學(xué)科的知識(shí)與技能解決問(wèn)題的能力與合作創(chuàng)新的能力。但有一部分教師和同學(xué)會(huì)認(rèn)為，融入STEAM教育理念的教學(xué)必須是和科學(xué)技術(shù)手段如多媒體、教學(xué)專用軟件等相關(guān)的，而折紙不僅是歷史最悠久、最具人類精神的創(chuàng)新游戲，也是STEAM教育的重要組成部分。在生物科技、新材料、機(jī)器人與人工智能、航空航天等領(lǐng)域，折紙不僅是游戲，更是實(shí)驗(yàn)室實(shí)際進(jìn)行的探索手段,它們包括但不限于：（1）折紙的科學(xué)研究；（2）折紙和折疊的數(shù)學(xué)方法，包括計(jì)算數(shù)學(xué)；（3）折紙和/或折疊結(jié)構(gòu)的技術(shù)應(yīng)用；（4）折紙?jiān)诮虒W(xué)教育中的用途；（5）利用科學(xué)折紙或技術(shù)折紙?jiān)瓌t進(jìn)行的藝術(shù)設(shè)計(jì)。

六、結(jié)語(yǔ)

STEAM教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)模式從知識(shí)、情境、內(nèi)容、素養(yǎng)、活動(dòng)、結(jié)果（評(píng)價(jià)）角度，體現(xiàn)了STEAM教育的理念，凸顯初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程的綜合性、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心性、STEAM教育理念的引領(lǐng)性與學(xué)科融合性。 STEAM不只是在多學(xué)科的基礎(chǔ)上將知識(shí)融合起來(lái)，它更強(qiáng)調(diào)主題之下的理念、概念及一些基本技能的融合，也即我們常說(shuō)的“知識(shí)技能”?！叭诤稀笔恰爸R(shí)技能”的精髓。 運(yùn)用技術(shù)手段解決數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于更深層次地理解數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，即“技術(shù)融合”。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)融入STEAM教育理念是一個(gè)重要的研究和實(shí)踐的課題，即“理念融合”。根據(jù)不同年級(jí)階段學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和思維水平，不僅要從現(xiàn)實(shí)生活題材中引入數(shù)學(xué)，而且要注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的聯(lián)系，打破傳統(tǒng)的學(xué)科限制，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用的多學(xué)科性，即“學(xué)科融合”。