幾道上海高考數(shù)學(xué)填空壓軸題賞析

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (330022) 汪美樂

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出：高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).《中國高考評價體系》強(qiáng)調(diào)高考評價由“一核”“四層”“四翼”組成，其中“四層”為“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”的考查內(nèi)容.隨著教育改革的深入，聚焦核心素養(yǎng)是教育發(fā)展的必然趨勢.高考數(shù)學(xué)如何更好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，一直是數(shù)學(xué)教育研究的重要課題.本文擷取近年上海高考數(shù)學(xué)中的幾道填空壓軸題，就試題中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行賞析.

圖1

賞析：本題的求解融合了“函數(shù)圖像與性質(zhì)”、“函數(shù)與方程”、“直線與曲線的位置關(guān)系”、“分段函數(shù)”等眾多知識，綜合性較強(qiáng)，突出了用平面解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題的考查目標(biāo)，要求學(xué)生具有一定的分析問題和解決問題的能力，并應(yīng)具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運算能力.解答過程應(yīng)用了“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化與化歸”等數(shù)學(xué)思想方法，較好地聚焦了“數(shù)學(xué)運算”、“直觀想象”、“邏輯推理”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

圖2

賞析：本題以平面向量知識為載體，考查學(xué)生能將題中的代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，并要求能將與圓的定義聯(lián)系起來，進(jìn)而將題目條件轉(zhuǎn)化為圓與圓之間交點的個數(shù)情況.因此，解題的關(guān)鍵在于學(xué)生能夠有意識的將數(shù)與形結(jié)合以此來分析問題.故本題對數(shù)形結(jié)合的思想方法及對基礎(chǔ)知識的綜合運用要求較高，同時也考查到學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

例3(2017年上海卷12題)如圖3，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1、P2、P3、P4以及四個標(biāo)記為“▲”的點在正方形的頂點處，設(shè)集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點P∈Ω，過P作直線lp，使得不在lp上的“▲”的點分布在lp的兩側(cè).用D1(lp)和D2(lp)分別表示lp一側(cè)和另一側(cè)的“▲”的點到lp的距離之和.若過P的直線lp中有且只有一條滿足D1(lp)=D2(lp)，則Ω中所有這樣的P為.

圖3

圖4

賞析：本題以點與線的位置關(guān)系為背景，同時數(shù)學(xué)符號較多，題目較長，加大解題的難度，實際上，本題主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)理解的能力及數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力，充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維.求解的關(guān)鍵在于將題目轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的四邊形.同時，求解中對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及直觀想象素養(yǎng)要求也較高.

圖5

賞析：本題考查到圓、向量的數(shù)量積、點到直線的距離等相關(guān)知識的掌握程度，要求學(xué)生應(yīng)熟悉掌握這些知識點，并能以形定數(shù)，再以形助數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.解題的關(guān)鍵在于借助梯形中位線定理轉(zhuǎn)化為求中點到直線的距離最大值問題，運用到轉(zhuǎn)化與化歸思想.進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

綜上可見，近年上海高考數(shù)學(xué)卷中的這幾道填空壓軸題對學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行較好的考查，有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.由此啟示我們應(yīng)注重過程教學(xué)，在過程中理解數(shù)學(xué)知識，夯實基礎(chǔ)知識；加強(qiáng)思維能力的訓(xùn)練，注重通性通法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)閱讀能力及問題轉(zhuǎn)化能力；重視數(shù)學(xué)語言，加強(qiáng)數(shù)學(xué)不同語言的表征；加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解，掌握數(shù)學(xué)思想方法.只有這樣，才能真正將提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實處.