BL-代數(shù)的直覺模糊濾子度

彭家寅

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 四川 內(nèi)江 641100)

1 引言

模糊集[1]是機(jī)器學(xué)習(xí)和控制論的重要基礎(chǔ)理論, 為模糊邏輯推理提供了理論基礎(chǔ).比如, 文獻(xiàn)[2] 研究了正、負(fù)模糊規(guī)則系統(tǒng)、極端機(jī)器學(xué)習(xí)和圖像分類. 文獻(xiàn)[3] 提出了一種基于模糊熵的邊緣信息提取的分層多級閾值方法, 等等. 自文獻(xiàn)[4] 引入了模糊子群的概念以來, 各種代數(shù)結(jié)構(gòu)已被模糊化, 而且模糊代數(shù)在諸如數(shù)據(jù)分析、模糊控制、模糊識別、智能決策支持系統(tǒng)、專家系統(tǒng)等不確定信息處理中有廣泛的應(yīng)用[5-9].

文獻(xiàn)[5] 為了用代數(shù)方法研究多值邏輯引入了BL- 代數(shù), 其動機(jī)之一是給本邏輯提供對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu), BL- 代數(shù)體現(xiàn)了諸如ukasiewicz 邏輯、G?odel 邏輯以及乘積邏輯等一些最重要的多值邏輯的共性; 另一個動機(jī)是為研究[0,1] 上連續(xù)t- 模提供一種代數(shù)方法. 濾子理論在邏輯代數(shù)的研究中起著重要的作用, 從不確定信息的角度看, 相應(yīng)推理系統(tǒng)中的可證明公式集可以用這些代數(shù)語義的模糊濾子來描述[10]. 許多學(xué)者對BL-代數(shù)的濾子做了大量的研究[11-18], 特別是文獻(xiàn)[18] 將文獻(xiàn)[19] 提出的直覺模糊集應(yīng)用于BL- 代數(shù)中, 建立了BL- 代數(shù)的直覺模糊濾子理論, 研究幾種直覺模糊濾子的性質(zhì)和它們之間的一些關(guān)系.

文獻(xiàn)[20] 為研究一個模糊子集滿足模糊子群條件的程度, 引入了模糊子群度的概念, 討論了它的基本性質(zhì)及其等價刻畫. 文獻(xiàn)[21] 借助一般t- 模對模糊子群度進(jìn)行了重新定義, 研究其性質(zhì)或相關(guān)關(guān)系. 此后, 一些學(xué)者對不同模糊代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了度量化研究, 獲得一系列優(yōu)秀成果[22-26].

本文將上述模糊代數(shù)系統(tǒng)度量化的思想推廣到直覺模糊代數(shù)系統(tǒng)的情形, 引入BL-代數(shù)的直覺模糊濾子度的概念, 研究其性質(zhì)、刻畫和相關(guān)關(guān)系, 為其它直覺模糊系統(tǒng)的度量化提供參考與借鑒.

2 預(yù)備

定義2.1[11]一個(2,2,2,2,0,0) 型代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∧,∨,?,→,0,1) 叫做BL- 代數(shù),如果它滿足下列條件:

(1) (L,∧,∨,0,1) 為一個有界格, 0 和1 分別是最小與最大元;

(2) (L,?,1) 為一個阿貝爾幺半群, 即?是交換、結(jié)合的, 且x ?1 =x對任意x ∈L都成立;

(3)?和→為伴隨對, 即x ?y ≤z當(dāng)且僅當(dāng)x ≤y →z對任意x,y,z ∈L都成立;

(4)x ∧y=x ?(x →y) 且(x →y)∨(y →x)=1.

定義2.2[11]稱BL- 代數(shù)L的子集F為L的一個濾子, 如果1∈F且對任意x,y ∈F, 若x ∈F,x →y ∈F, 那么y ∈F.

記BL- 代數(shù)L的全體濾子構(gòu)成的集合為F(L). 設(shè)L和L′是兩個BL- 代數(shù), 若映射f:L →L′滿足對任意x,y ∈L, 且?∈{∧,∨,?,→}都有f(x ?y)=f(x)?f(y), 則稱f為從BL- 代數(shù)L到BL- 代數(shù)L′上的同態(tài)映射. 特別地, 當(dāng)f為雙射時, 稱之為同構(gòu)映射.

定義2.3[19]設(shè)U為非空論域集, 稱A為U上的一個直覺模糊子集, 如果

其中, 模糊集μA:x →[0,1] 和模糊集νA:x →[0,1] 滿足: 對任意x ∈U, 都有0≤μA(x)+νA(x)≤1. 分別稱μA(x) 和νA(x) 為元素x ∈U的隸屬度與非隸屬度.

對于[0,1] 上的任意兩個實(shí)數(shù)a和b, 記a ∧b=min{a,b},a ∨b=max{a,b}. 設(shè)A和B都是U上的直覺模糊集,規(guī)定: 對任意x ∈U, ?α=(λ1,λ2)∈[0,1]2且λ1+λ2≤1,有

設(shè)f:L →L′是從BL- 代數(shù)L到BL- 代數(shù)L′上的映射,A和B分別是BL-代數(shù)L和BL- 代數(shù)L′上的直覺模糊集,A的象f(A) 和B的原象f?1(B) 分別定義為?x ∈L,?y ∈L′, 有

記D={(a,b)∈[0,1]2|a+b ≤1}, 則由文獻(xiàn)[3] 知D為[0,1]2的完備子格, 這里[0,1]2中的序≤由下式確定: (a1,a2)≤(b1,b2)?a1≤b1,a2≥b2. 容易知道, [0,1]2中最小元與最大元分別為?0=(0,1) 和?1=(1,0).

將文獻(xiàn)[27] 中模糊蘊(yùn)涵算子的定義推廣到直覺模糊邏輯中, 有

定義2.4設(shè)映射?I:D×D →D, 若?I關(guān)于第一變量不增, 關(guān)于第二變量不減, 并滿足?I(?1,?0)=?0 且?I(?0,?0)= ?I(?1,?1)=?1, 則稱?I為一個直覺模糊蘊(yùn)涵.

例如, 對任意?α,?β ∈D, 定義?I(?α,?β)=∨{?t ∈D| ?α ∧?t ≤?β}, 則?I為一個直覺模糊蘊(yùn)涵, 并稱它為?R- 直覺蘊(yùn)涵, 通常記為?α?→?β. 容易證明?R- 直覺蘊(yùn)涵具有如下性質(zhì):

引理2.1設(shè)I為指標(biāo)集, ?α,?β,?αi,?βi ∈D(i ∈I), 則

(2) 若?α1≤?α2, 則?α1?→?β ≥?α2?→?β;(3) 若?β1≤?β2, 則?α?→?β1≤?α?→?β2.

定義2.5[18]設(shè)L是BL- 代數(shù), 稱L上的一個直覺模糊集A為L的一個直覺模糊濾子, 如果它滿足: 對任意x,y ∈L, 有

(1)A(1)≥A(x);

(2)A(y)≥A(x)∧A(x →y).

注2.1定義2.5 的條件(1) 等價于μA(1)≥μA(x) 且νA(1)≤νA(x); 條件(2) 等價于μA(y)≥μA(x)∧μA(x →y) 且νA(y)≤νA(x)∨νA(x →y).

3 直覺模糊濾子度

定義3.1設(shè)A是BL- 代數(shù)L上的一個直覺模糊子集, 令

則稱mL(A) 為BL- 代數(shù)L的直覺模糊濾子度.

注3.1記mL(A)=(ml(μA),mr(νA)), 則

mL(A)是用來刻畫BL-代數(shù)的一個直覺模糊子集A是否是BL-代數(shù)的直覺模糊濾子的程度.具體地,ml(μA)表示直覺模糊子集A為BL-代數(shù)的直覺模糊濾子的程度,mr(νA)表示直覺模糊子集A不是BL- 代數(shù)的直覺模糊濾子的程度, 而1?ml(μA)?mr(νA)則表示直覺模糊子集A為BL- 代數(shù)的直覺模糊濾子的猶豫程度. 顯然, 當(dāng)A是模糊子集時,ml(μA)=m(A),mr(νA)=1?m(A), 這里m(A) 為類似文獻(xiàn)[26] 所定義的模糊濾子度, 這表明直覺模糊濾子度是模糊濾子度的推廣, 前者更加細(xì)膩地刻畫了模糊代數(shù)子系統(tǒng)保持模糊代數(shù)系統(tǒng)的程度.

例3.1設(shè)L={0,a,b,1},?和→的定義分別見表1 和表2, 這里0

表1 ?的運(yùn)算表

表2 →的運(yùn)算表

定理3.1設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集, 則A為L的直覺模糊濾子的充分必要條件是mL(A)=(1,0).

證明令

假設(shè)A為BL- 代數(shù)L的直覺模糊濾子, 則由定義2.5 及注2.1 可知, 對任意x,y ∈L,有

由ε的任意性知,μA(x)≤μA(1). 同理, 由∨C(x,y)=1 可得

由定義2.5 知,A是BL- 代數(shù)的直覺模糊濾子.

例3.2設(shè)L是例3.1 中所示的BL- 代數(shù), 定義L上的直覺模糊子集A如下:

容易驗(yàn)證A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊濾子, 通過計(jì)算也有mL(A)=(1,0).

注3.2在例3.1 中定義的直覺模糊子集A的度為mL(A) = (0.4,0), 依定理3.1知A不是直覺模糊濾子. 另一方面, 由μA(b) = 0.5> 0.4 =μA(1) 知,A不滿足定義2.5(1), 這也表明A不是L的直覺模糊濾子.

為了給出直覺模糊濾子度的等價刻畫, 先考慮如下引理.

引理3.1設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集, 則對于(a,b)∈D,mL(A)≥(a,b)的充分必要條件是?x,y ∈L, 都有

證明令

定理3.2設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集,mL(A)=(ml(μA),mr(νA)), 則

證明設(shè)mL(A)=(c,c′), 由引理3.1 知,?x,y ∈L, 有?x,y ∈L, 都有

記h=∨{a ∈[0,1]|?x,y ∈L,μA(x)∧a ≤μA(1),μA(x)∧μA(x →y)∧a ≤μA(y)},則h ≥c. 下證h ≤c. 事實(shí)上,?ε>0,?tε ≥0, 使得tε>h ?ε, 且

所以

由ε的任意性知,μA(x)∧h ≤μA(1),μA(x)∧μA(x →y)∧h ≤μA(y). 由引理3.1 得,c ≥h, 故c=h.

令h′=∧{b ∈[0,1]|?x,y ∈L,νA(x)∨b ≥νA(1),νA(x)∨νA(x →y)∨b ≥νA(y)},則h′≤c′. 下證h′≥c′. 事實(shí)上,?ε>0,?sε ≤1, 使得sε

于是,

由ε的任意性有,νA(x)∨h′≥νA(1),νA(x)∨νA(x →y)∨h′≥νA(y). 依引理3.1 知,c′≤h′, 故c′=h′. 總上所述,mL(A)=(h,h′), 故結(jié)論成立.

注3.3定理3.2 的結(jié)論可以簡單地表達(dá)如下:

定理3.3設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集,mL(A)=(ml(μA),mr(νA)), 則

證明為了討論方便, 令

情形1: 證明B= (B1)(B2). 事實(shí)上, 對于任意a ∈B, 則?x,y ∈L,都有μA(x)∧a ≤μA(1),μA(x)∧μA(x →y)∧a ≤μA(y), 所以a ∈B1∩B2, 于是a ≤∨B1,a ≤∨B2, 故a ≤(∨B1)∧(∨B2), 進(jìn)而∨B ≤(∨B1)∧(∨B2).

由ε的任意性知,

由引理3.1 得,ml(μA)≥即∨B ≥(∨B1)∧(∨B2). 綜上所述,∨B=(∨B1)∧(∨B2).

情形2: 證明∧B′=(∧B′1)∨(∧B′2):?b ∈B′, 則?x,y ∈L, 都有

由ε的任意性知,?x,y ∈L,νA(x)∨≥νA(1),νA(x)∨νA(x →y)∨≥νA(y). 由引理3.1 知,mr(νA)≤即∧B′≤(∧B′1)∨(∧B′2). 總之, ∧B′=(∧B′1)∨(∧B′2).

為了利用直覺模糊子集的截集和強(qiáng)截集來刻畫直覺模糊濾子度, 先給出如下引理.

引理3.2設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集,mL(A) = ?α> ?0, 則??β ∈(?0,?α],A[?β] =?或A[?β]是L的濾子.

證明記?α=(λ1,λ2),?β=(a1,a2), 則0a2≥λ2.

設(shè)x,x →y ∈A[?β], 則

因mL(A)= ?α, 依引理3.1 知,

所以1∈A[?β]且y ∈A[?β]. 由定義2.2 知,A[?β]是BL- 代數(shù)L的濾子.

定理3.4設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集, 則

證明令mL(A) = ?γ,B={?α ∈D ?{?0}|??β ∈(?0,?α],??=A[?β]∈F(L)}. 由引理3.2 知, ?γ ∈B, 所以?γ ≤∨B. 下面分兩種情況來證明mL(A)≥∨B.

(1)??α=(a1,a2)∈B,?x ∈L, 有

若不然,?x0∈L,使得μA(x0)∧a1>μA(1)或νA(x0)∨a2<νA(1). 取b1=μA(x0)∧a1,b2=νA(x0)∨a2, 則

故?β=(b1,b2)∈(?0,?α],x0∈A[?β], 即x0∈A[?β]且μA(1)b2.

另一方面,依引理3.2 知,當(dāng)?β ∈(?0,?α]時,A[?β]是BL-代數(shù)L的濾子,所以1∈A[?β],從而μA(1)≥b1且νA(1)≤b2, 這與μA(1)b2矛盾.

同理可證:

(2)??α=(a1,a2)∈B,?x,y ∈L, 有

結(jié)合(1) 和(2), 由引理3.1 可得,mL(A)≥?α. 由?α在B中具有任意性, 所以mL(A)≥∨B. 綜上所述,mL(A)=∨B, 故結(jié)論正確.

引理3.3設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集,mL(A) = ?α> ?0, 則??β ∈[?0,?α),A(?β)=?或A(?β)是L的濾子.

證明記?α=(λ1,λ2),?β=(a1,a2), 則0≤a1≤λ1且1≥a2≥λ2.

設(shè)x,x →y ∈A(?β), 則

又mL(A)= ?α, 依引理3.1 知,?x,y ∈L, 有

所以μA(1)≥μA(x)∧λ1>a1. 同理,μA(y)>a1,νA(1)

定理3.5設(shè)A是BL- 代數(shù)L的直覺模糊子集, 則

證明令mL(A) = ?γ,B={?α ∈D ?{?0}|??β ∈[?0,?α),??=A(?β)∈F(L)}. 由引理3.3 知, ?γ ∈B, 所以?γ ≤∨B. 下面證明mL(A)≥∨B.

(1)??α=(a1,a2)∈B,?x ∈L, 有

另一方面, 依引理3.3 知, 當(dāng) ?β ∈[?0,?α) 時,A(?β)是BL- 代數(shù)L的濾子, 所以1∈A(?β), 矛盾, 故(1) 為真.

同理可證:

(2)??α=(a1,a2)∈B,?x,y ∈L, 有

結(jié)合(1) 和(2), 由引理3.1 可得,mL(A)≥?α. 由?α在B中具有任意性, 所以mL(A)≥∨B. 綜上所述,mL(A)=∨B, 故結(jié)論正確.

4 直覺模糊濾子度的性質(zhì)

以下討論直覺模糊子集運(yùn)算的直覺模糊濾子度的性質(zhì), 這里的運(yùn)算是指“交”, “直積”, “同態(tài)” 或“同構(gòu)”.

定理4.1設(shè)Ai為BL- 代數(shù)L上的直覺模糊子集(i ∈I,I為任意指標(biāo)集), 則

證明與定理4.1 的證明類似, 從略.

定理4.3設(shè)f:L →L′是BL- 代數(shù)L到BL- 代數(shù)L′上的同態(tài)映射,A′為BL-代數(shù)L′上的直覺模糊子集, 則

證明由定義3.1 及f:L →L′為同態(tài)映射可知

即,mL′(A′)≤mL(f?(A′)), 故結(jié)論成立.

注4.1定理4.3 中的映射f:L →L′是同構(gòu)映射時,則有mL′(A′)=mL(f?(A′)).

定理4.4設(shè)f:L →L′是BL- 代數(shù)L到BL- 代數(shù)L′上的同構(gòu)映射,A為BL-代數(shù)L上的直覺模糊子集,mL(A)>?0, 則mL(A)=mL′(f(A)).

證明由定理3.2 可知

注意到f:L →L′是同構(gòu)映射, 對?x′,y′′∈L′及1′∈L′, 分別存在唯一的x,y,i ∈L,使得f(x)=x′,f(y)=y′,f(1)=1′,且f(x →y)=f(x)→′f(y)=x′→′y′, 故