關(guān)于塊Hadamard 積的Oppenheim 型不等式

劉俊同，沈亞光，李 龍

（1.阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.安徽省阜陽(yáng)第一中學(xué)，安徽 阜陽(yáng) 236000）

半正定（分塊）矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加惺种匾牡匚唬谖锢韺W(xué)、概率論、量子信息論以及優(yōu)化理論等諸多學(xué)科都有著重要的應(yīng)用。矩陣的Hadamard 積是一種特殊的矩陣乘積，被廣泛地應(yīng)用于量子計(jì)算、編碼理論、物理學(xué)和區(qū)組設(shè)計(jì)等問(wèn)題中?；谶@些重要的應(yīng)用背景，半正定（分塊）矩陣的Hadamard 積的特征值和行列式問(wèn)題一直備受國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的關(guān)注。

給定兩個(gè)n級(jí)矩陣A=（aij）和B=（bij），矩陣A和B的Hadamard 積（或Schur 積）用A?B=（a ij bij）表示。Oppenheim[1]281-290于1930 年證明了下述不等式：給定兩個(gè)n級(jí)半正定矩陣A和B，則有

上述不等式被稱為Oppenheim 行列式不等式。

Lynn[2]和Ando[3]分別推廣了不等式(1)，給定兩個(gè)n級(jí)半正定矩陣A和B，則有

等價(jià)地

Chen 在文獻(xiàn)[4]中推廣了上述不等式(2)，得到了如下更整齊的結(jié)果：給定兩個(gè)n級(jí)半正定矩陣A和B，則有

Gunther和Klotz[5]推廣Oppenheim行列式不等式(1)到分塊半正定矩陣得到如下結(jié)果：設(shè)

都是p×p分塊半正定矩陣且矩陣A和B是塊可交換的，矩陣A和B的每一塊都是n×n的，則有

這里A□B表示矩陣A和B的塊Hadamard 積，A□B的具體定義見(jiàn)下面的定義1。

Lin 進(jìn)一步推廣了Gunther 和Klotz 的行列式不等式(1)如下：設(shè)

都是p×p分塊半正定矩陣且A和B是塊可交換的，矩陣A和B的每一塊都是n×n的，則有

這里

分別是矩陣

的第k個(gè)順序主子矩陣。

本文將利用數(shù)學(xué)歸納法、半正定矩陣的基本理論以及不等式的構(gòu)造和放縮技巧推廣不等式（4）到更一般形式。

1 定義和引理

定義1[5]給定兩個(gè)分塊矩陣

其中每一塊都是n×n的，稱

為矩陣A和B的分塊Hadamard 積，這里Aαβ Bαβ表示矩陣Aαβ與Bαβ的普通矩陣乘積。

定義2[5]給定兩個(gè)分塊矩陣

其中每一塊都是n×n的，若矩陣A的每一個(gè)子塊和矩陣B的每一個(gè)子塊都可交換，則稱分塊矩陣A和B是塊可交換的。

為了陳述和證明主要結(jié)果，我們需要下述引理

引理1[1]477-485設(shè)

是n級(jí)半正定分塊矩陣，其中A11∈Mk，則有

特別地，有

其中Ak表示矩陣A的第k個(gè)順序主子矩陣。

引理2[5]若A和B是兩個(gè)n級(jí)半正定分塊矩陣，且塊可交換，則矩陣A□B也是半正定矩陣。

引理3設(shè)a和b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且有a≥1，b≥ 1，則有

證明因?yàn)閍≥1，b≥1，于是有

所以，有

2 主要結(jié)果

定理若

是一簇p×p分塊半正定矩陣且是塊可交換的，其中每一塊都是n×n的，則有

這里

是矩陣

的第k個(gè)順序主子矩陣。

證明由引理2，知A1□…□Am仍是半正定矩陣，我們對(duì)矩陣的個(gè)數(shù)k使用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)k=2時(shí)，定理歸結(jié)于Lin 的結(jié)果（4），假設(shè)當(dāng)

時(shí)，定理成立，即

成立，下證當(dāng)k=m時(shí)，定理也成立，即證

通過(guò)不等式(4)，我們有

應(yīng)用歸納假設(shè)，則有

記

應(yīng)用引理1，通過(guò)不等式(5)，有

因此有xk≥1,yk≥ 1，利用引理3，有

結(jié)合(7)、(8)、(9)和(10)，式(6)可進(jìn)一步化為det(A1□…□Am)

3 小結(jié)

本文結(jié)合半正定分塊矩陣的基本理論、矩陣Hadamard 積的性質(zhì)以及不等式的構(gòu)造和放縮技巧，證明了半正定分塊矩陣Hadamard 積行列式不等式的一個(gè)重要結(jié)果，推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)果。