例談求線段長(zhǎng)的方法

鄧元?jiǎng)?/p>

【摘要】在初中階段，無(wú)論在數(shù)學(xué)課本或數(shù)學(xué)考試的試題中常常會(huì)出現(xiàn)求線段長(zhǎng)的問(wèn)題，掌握求線段長(zhǎng)的方法是初中學(xué)生的基本技能，本文通過(guò)舉例闡述了求線段長(zhǎng)的幾種方法，并對(duì)如何靈活使用這幾種方法提出自己的看法和體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);舉例;線段長(zhǎng);方法

求線段長(zhǎng)的方法分散在初中不同階段的教材中，由于學(xué)生學(xué)習(xí)求線段長(zhǎng)的方法比較零散，學(xué)習(xí)時(shí)間跨度比較大，所以學(xué)生往往對(duì)求線段長(zhǎng)的方法掌握得不好，在九年級(jí)中考復(fù)習(xí)第二階段—專題復(fù)習(xí)中，設(shè)求線段長(zhǎng)的方法作一個(gè)專題復(fù)習(xí)，對(duì)于學(xué)生靈活掌握求線段長(zhǎng)的方法很有必要，當(dāng)考試中碰到求線段長(zhǎng)的題目時(shí)才能得心應(yīng)手，并且課本中沒(méi)有把求線段長(zhǎng)的各種方法充分展示，因此需要教師幫助學(xué)生對(duì)該方法進(jìn)行歸納和提煉，達(dá)到靈活掌握目的。下面，筆者介紹幾種求線段長(zhǎng)的方法：

一、利用直角三角形求線段長(zhǎng)

直角三角形中三邊滿足勾股定理，知道其中兩邊可以求第三邊，邊與角之間存在三角函數(shù)關(guān)系，知道一個(gè)銳角和一條邊可以求剩下的兩邊，因此在直角三角形中可以有兩種思路來(lái)求線段長(zhǎng)：1. 勾股定理，2. 三角函數(shù)。在直角三角形中，若已知兩邊就用勾股定理來(lái)求第三邊，若已知一邊和一銳角就用三角函數(shù)求另一邊。

但是有些題目的圖形中，常常沒(méi)有直角三角形，需要添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，因此如何構(gòu)造直角三角形往往成為解題的關(guān)鍵。現(xiàn)在來(lái)談一下構(gòu)造直角三角形的幾種輔助線方法：

方法1：通過(guò)連線段來(lái)構(gòu)造

在人教版九年級(jí)上冊(cè)《圓》這一章與切線有關(guān)的計(jì)算題中，往往需要利用切線的性質(zhì)定理“圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑”來(lái)構(gòu)造直角三角形。

例1.如圖1，已知在△OAB中，OA=OB，AB=6，∠A=30°，⊙O與 AB相切于點(diǎn)C，則⊙O的半徑等于 ? ? ? ? ? ?.

解題方法：如圖2，連接OC，構(gòu)造直角△OAC（或△OBC），由等腰三角形性質(zhì)得AC=3，再運(yùn)用三角函數(shù)得，OC=AC·tan30°= ?3 ，從而求出⊙O的半徑為 ?3 。

方法2：通過(guò)畫垂線來(lái)構(gòu)造

通過(guò)畫垂線來(lái)構(gòu)造直角三角形是初中階段最常見的一種輔助線的方法，在多邊形（通常是四邊形）背景下有關(guān)邊的計(jì)算題中常常需要畫垂線，把多邊形轉(zhuǎn)化為若干個(gè)直角三角形，從而把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形求邊長(zhǎng)問(wèn)題來(lái)解決。

例2.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=4，AD=6，BC=9，求CD的長(zhǎng).

解題方法：如圖4，可以過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E， 構(gòu)造直角△DEC，先求出DE=4，CE=3，再通過(guò)勾股定理，CD= ?DE2+CE2 ?，求得CD的長(zhǎng)為5。

當(dāng)然，本題也可以過(guò)點(diǎn)A作AF∥CD， 構(gòu)造直角△ABF，先用勾股定理求出AF的長(zhǎng)，再利用AF=CD求得結(jié)果，這是后面所講的其中一種方法。

方法3：通過(guò)作變換來(lái)構(gòu)造

初中數(shù)學(xué)的幾何變換有平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等，對(duì)于一些比較綜合的題目，有時(shí)需要把題目的圖形的某一部分作幾何變換，把原來(lái)是分散的三邊構(gòu)造在一個(gè)直角三角形，利用直角三角形把問(wèn)題解決，旋轉(zhuǎn)變換是一種比較常見的幾何變換，通常要把某三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到新位置，把已知邊和所求邊構(gòu)造在一個(gè)直角三角形。

例3.如圖5，AB=AC，∠CAB=90°，

∠ADC=45°，AD=4，CD=3，求BD的長(zhǎng).

解題方法：如圖6，把△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接DE，得△ADC≌△ABE，△ADE是等腰直角三角形，用勾股定理求出DE=4 2 ，因?yàn)椤螦ED=∠AEB=45°， ?所以∠DEB=90°，從而構(gòu)造出直角△DBE，利用勾股定理就可以求出BD的長(zhǎng)為 41 ，解決本題的關(guān)鍵是作旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造出直角三角形，旋轉(zhuǎn)變換的口訣是“等邊長(zhǎng)共端點(diǎn)”。

二、利用列方程求線段長(zhǎng)

運(yùn)用列方程求線段長(zhǎng)是一種常見的方法，這種方法的步驟：把線段長(zhǎng)看作為一個(gè)未知數(shù)，找出等量關(guān)系建立方程，通過(guò)解方程得到所求的線段長(zhǎng)。這種求線段長(zhǎng)方法最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是找出等量關(guān)系建立方程，等量關(guān)系往往不是已知條件，需要自己去發(fā)掘，這是解題的難點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，求線段長(zhǎng)有以下幾種建立方程的方法：

方法1：通過(guò)線段相等建立方程

這種方法主要通過(guò)兩條線段相等或一條線段長(zhǎng)等于幾條線段長(zhǎng)的和或差來(lái)建立方程 。

例4. 如圖7，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，BC=2， AC=3，AB=4，則AF的長(zhǎng)是 ? ? ? ? ?。

解題方法：設(shè)AF=AD=x，則BD=BE=4-x，CF=CE=3-x，由BC=CE+BE，建立方程：2=3-x+4-x，解得：x=2.5，得到AF的長(zhǎng)是2.5。本題是通過(guò)一條線段長(zhǎng)等于幾條線段長(zhǎng)的和建立方程 。

方法2：通過(guò)面積相等建立方程

這種方法主要通過(guò)兩個(gè)圖形面積相等或一個(gè)圖形面積等于幾個(gè)圖形的面積和或差來(lái)建立方程 ，通常稱為“等積法”，有時(shí)也會(huì)由一個(gè)圖形面積的不同計(jì)算方法來(lái)建立方程。

例5. 如圖8，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC= ?5 ，則CD的長(zhǎng)是 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解題方法：先用勾股定理求出AB的長(zhǎng)為3，再利用△ABC面積的不同計(jì)算方法，建立方程：

S△ABC= ? AB·CD= ? ?AC·BC，建立方程：