解三角形最值問題的兩種轉(zhuǎn)化策略分析

玉素貞

摘 要：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（新課標(biāo)）提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析處理，這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在高考試題中體現(xiàn)出來。解三角形高考題中涉及最值的問題經(jīng)常出現(xiàn)，以解三角形為載體，考查最值問題是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要考查方式，這類問題常常令許多考生沒有解題思維，導(dǎo)致失分。文章從兩個維度來處理此類問題，給出兩種轉(zhuǎn)化策略。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);三角形;基本不等式;化邊為角;最值

教育部于2014年3月30日發(fā)布的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中提出研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。2015版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出六大核心素養(yǎng)，具體為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。指引教育準(zhǔn)確把握當(dāng)今人才培養(yǎng)方向，引導(dǎo)考試評價更加準(zhǔn)確反映當(dāng)下人才培養(yǎng)的要求，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系成為數(shù)學(xué)教育研究者和一線教師的關(guān)注焦點。關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論研究日趨完善。受傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式和考試評價的長期影響，數(shù)學(xué)教育存在著一些共性問題，課堂教學(xué)過分追求高考分?jǐn)?shù)、重視高升學(xué)率，教師往往重視課堂結(jié)果、忽視認(rèn)知過程，重視試題結(jié)果忽視了實際應(yīng)用，導(dǎo)致高中生只能死記硬背教材內(nèi)容，自身邏輯能力較差。

隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，一線教師普遍感覺到新課改對教師和學(xué)生的要求相比以前都有明顯提高。課時量減少了但是教材的內(nèi)容卻增加了，考試題目看似常規(guī)簡單但是需要學(xué)生認(rèn)真審題靈活運用已掌握的知識和方法技能，這就要求必須進(jìn)一步提高課堂效率，需要教師在實際課堂教學(xué)中，在學(xué)生熟悉基本數(shù)學(xué)知識方法的前提下，加強(qiáng)學(xué)生科學(xué)思維能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不僅能利用正確的科學(xué)思維來處理數(shù)學(xué)中遇到的問題，更能讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得到提高。

解三角形高考題中涉及最值的問題經(jīng)常出現(xiàn)，以解三角形為載體，考查最值問題是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要考查方式，這類問題常常令許多考生沒有解題思維，導(dǎo)致失分。文章從兩個維度來處理此類問題，給出兩種轉(zhuǎn)化策略。

一、 利用基本不等式和三角形的幾何性質(zhì)求最值

【例1】 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA=13。

（1）略;

（2）若a=3，求bc的最大值。

分析如下：因為a2=b2+c2-2bccosA，∴3=b2+c2-23bc。

由基本不等式b2+c2≥2bc有3≥2bc-23bc，即43bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等，∴bc≤94，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=32時（bc）max=94。

點評：在這一問題的分析過程中，我們需要透過題目信息，挖掘考查的本質(zhì)內(nèi)涵所在，以此為突破口，進(jìn)行分析和解答。首先，根據(jù)題給信息可以看出，本題主要結(jié)合了基本不等式和解三角形相關(guān)的最值或范圍問題，對學(xué)生的綜合能力進(jìn)行考查。此題利用余弦定理結(jié)合不等式b2+c2≥2bc轉(zhuǎn)化為有關(guān)bc的不等式進(jìn)而求出bc的范圍。綜合而言，在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)這類問題，其主要的特點是涉及的知識面廣、靈活性大、綜合性強(qiáng)，需要教師在解題的過程中注重對學(xué)生的引導(dǎo)估計，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識。

【例2】 在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，其中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。

（1）求角C的大小;

（2）求a+bc的取值范圍。

分析如下：（1）由正弦定理及已知條件，化角為邊得：a2+b2-ab=c2，∴cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，C=60°。

（2）在△ABC中，a+b>c，∴a+bc>1。又c2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b≥2ab，∴ab≤a+b22，則c2≥（a+b）2-34（a+b）2=14（a+b）2，從而（a+b）2c2≤4， 即a+bc≤2，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等），綜上所述，1

點評：此題利用余弦定理及基本不等式a+b≥2ab把a(bǔ)b轉(zhuǎn)化為有關(guān)a+b的不等式進(jìn)而求a+bc的最大值，再利用三角形基本性質(zhì)，兩邊的和大于第三邊，得a+b>c則a+bc>1。

例1和例2都是利用余弦定理，結(jié)合基本不等式及其推論求解最值。這種解題策略需要學(xué)生對兩個正數(shù)的和與積的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了其數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的能力。

二、 化邊為角轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題

三角函數(shù)中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有一個最基本也是最重要的特征——有界性，這是求解三角最值問題的常用方法。利用正弦定理化邊為角將多元問題降元，轉(zhuǎn)化為一元問題，再利用三角函數(shù)的有界性可求解出最值。

【例3】 在△ABC中，B=60°，AC=3，則AB+2BC的最大值為??? 。

分析：∵asinA=csinC=bsin60°=2，∴a=2sinA，c=2sinC，∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin（120°-C）=2sinC+4sin120°，cosC=4cos120°sinC=4sinC+23cosC=2727sinC+37cosC=27sin（C+φ）（其中cosφ=27，sinφ=37，0°<φ<90°），∵0°

點評：此題利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變化轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最值問題。

同樣的，例2第（2）問也可以利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，從而轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最值問題。