基于到達(dá)時(shí)間差的曲線交叉點(diǎn)測(cè)向算法研究*

劉青琨， 孫廣慧， 崔遜學(xué)

(安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

信號(hào)源目標(biāo)定位通過利用一些已知位置的基站或傳感器以及測(cè)得的信號(hào)特征值來求解目標(biāo)所在的位置。信號(hào)源目標(biāo)定位通過測(cè)量信號(hào)到達(dá)基站或傳感器的到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival， TOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival， TDOA)、入射角(Angle of Arrival， AOA )等參數(shù)，再根據(jù)相關(guān)的定位算法來估計(jì)目標(biāo)的位置[1]。在各種定位技術(shù)中，TDOA技術(shù)有著較好的定位性能，得到了研究人員的重視[2]。

基于到達(dá)時(shí)間差的TDOA測(cè)量方程中曲線交叉點(diǎn)參量的計(jì)算[3]是兩個(gè)非線性方程求解未知變量的重要問題。文獻(xiàn)[4]中，作者提出了一種思想，對(duì)于TDOA雙曲線解析方程，從笛卡爾坐標(biāo)系變換到極坐標(biāo)系，并通過極向旋轉(zhuǎn)的方法計(jì)算出兩條雙曲線交叉點(diǎn)的位置參量；文獻(xiàn)[5]假定已知三維空間中信源的高度，使得目標(biāo)位置限定在雙曲線上，且將TDOA雙曲線簡(jiǎn)化為一條相切的直線，由此確定兩條相切直線的交點(diǎn)，作為TDOA雙曲線交叉點(diǎn)的近似位置。這些方法雖然在一定程度上可以對(duì)交叉點(diǎn)進(jìn)行求解，但是計(jì)算的過程較為繁瑣，計(jì)算量也比較大，對(duì)交叉點(diǎn)的估計(jì)精度不高。計(jì)算出TDOA曲線交叉點(diǎn)參量后，接著就要研究如何確定權(quán)值與組合。文獻(xiàn)[6]提出每3個(gè)傳感器構(gòu)成一組，根據(jù)各傳感器至目標(biāo)的高度差以及測(cè)量的TDOA，先估計(jì)出目標(biāo)的二維坐標(biāo)，然后計(jì)算各組傳感器與初步估計(jì)的目標(biāo)坐標(biāo)構(gòu)成的幾何位置關(guān)系形成的CRLB，以此作為權(quán)重計(jì)算出目標(biāo)位置。但是這些方法并不能合理的確定交叉點(diǎn)的權(quán)值，因此，對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)并不理想。

針對(duì)傳統(tǒng)的基于到達(dá)時(shí)間差的曲線交叉點(diǎn)測(cè)向精度不高、權(quán)值確定困難的問題，提出一種采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系求出交叉點(diǎn)，根據(jù)幾何精度因子GDOP來加權(quán)不同交叉點(diǎn)參量的方法。從而改善了TDOA曲線交叉點(diǎn)計(jì)算過程繁瑣，對(duì)交叉點(diǎn)的估計(jì)精度不高的問題。采用GDOP指標(biāo)對(duì)各交叉點(diǎn)參量取權(quán)重綜合，很大程度提高了對(duì)目標(biāo)位置的定位精度。

1 到達(dá)時(shí)間差原理

圖1為TDOA的測(cè)向原理圖，設(shè)定位系統(tǒng)共有N號(hào)傳感器參與定位，其坐標(biāo)為si=[xi，yi，zi]T，接收到的信號(hào)傳播時(shí)間為ti。將距離信號(hào)源近的設(shè)為參考傳感器，同時(shí)將它的位置設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即s0=[x0，y0，z0]T。在以參考傳感器為原點(diǎn)，半徑為30 m的圓內(nèi)放置其他的傳感器[7]。

設(shè)s為去除參考傳感器后，其他傳感器組成的矩陣s=[s1，s2，…，sN-1]T，到達(dá)時(shí)間差向量τ=[τ1，τ2，…，τN-1]T，其中τi=ti-t0。信號(hào)源真實(shí)的位置坐標(biāo)γ=[φ，θ]T，φ為信號(hào)源的方位角，θ為信號(hào)源的俯仰角。

圖1 傳感器測(cè)向原理圖Fig. 1 Schematic diagram of sensor direction finding

L為信號(hào)傳播方向的一點(diǎn)，到基準(zhǔn)傳感器s0的距離約為1 km。傳感器si向s0L作垂線，交點(diǎn)為H。則有s0H長(zhǎng)度cτi等于si在s0L上的投影，c為波速。即有如下的TDOA關(guān)系：

cτi=sik

其中k為信號(hào)的方向[8]矢量。

寫成矩陣方程形式：

假定n=[n1，n2，…，nN-1]T為TDOA測(cè)量噪聲矢量，有

TDOA的協(xié)方差矩陣如下：

運(yùn)用最小二乘法來進(jìn)行計(jì)算，則目標(biāo)函數(shù)可表示為

根據(jù)最小二乘原理，W=Cov-1(n)為協(xié)方差矩陣求逆[9]，獲得以下的結(jié)果：

2 交叉點(diǎn)算法原理

2.1 TDOA曲線交叉點(diǎn)算法

假設(shè)TDOA測(cè)量基準(zhǔn)傳感點(diǎn)位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)，第i，j號(hào)傳感點(diǎn)是不屬于基準(zhǔn)的其他兩個(gè)傳感點(diǎn)，其位置分別為si=[xi，yi，zi]T和sj=[xj，yj，zj]T。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的方法如圖2所示。

(1) 旋轉(zhuǎn)過程中坐標(biāo)原點(diǎn)o保持不動(dòng)，原x軸旋轉(zhuǎn)后形成的x′軸，指向并通過坐標(biāo)si。

(2) 在以o，si，sj等3點(diǎn)構(gòu)成的平面上，在垂直于x′軸的直線上過o點(diǎn)，按右手系確定y′軸的正向。

(3) 在x′oy′平面過o點(diǎn)的垂直線上，按右手系確定z′軸。

圖2 坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)示意圖Fig. 2 Diagram of coordinate axis rotation

根據(jù)所設(shè)計(jì)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)方式，可確定出坐標(biāo)變換矩陣Φ，其中Φ矩陣的各列分別是3個(gè)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)軸的方向余弦。

(1)

k=Φk′

(2)

(3)

算法兩條TDOA測(cè)量方程曲線的交叉點(diǎn)的算法

輸入：si，sj，τi，τj，c；

設(shè)置零點(diǎn)近似范圍的微小正數(shù)ζ；

fori=1 ：N-1

forj=i+1 ：N

計(jì)算法線向量ax，ay，az，Φ(：，1)，Φ(：，3)，Φ(：，2)；

無解

else

end

end

end

2.2 GDOP加權(quán)測(cè)向算法

假設(shè)共有N+1個(gè)傳感器，令第N+1號(hào)傳感器為TDOA的測(cè)量基準(zhǔn)傳感器，并位于坐標(biāo)系原點(diǎn)，并假定第i，j，N+1號(hào)傳感器與信號(hào)源構(gòu)成的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的精度因子為GDOPi，j，令向量g為[g]l=1/GDOPi，j，其中i=1，…，N-1；j=i+1，…，N；l=1，…，N(N-1)/2。將歸一化后的GDOPi，j；加權(quán)向量記作ρ，則[ρ]l=[g]l/‖g‖1，l=1，…，N(N-1)/2。

(4)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 參數(shù)設(shè)置

均方根誤差(RMSE)顯示了計(jì)算得到的估計(jì)位置結(jié)果與真實(shí)位置結(jié)果之間的偏差[10]?？死懒_下界[11](CRLB)是衡量一種定位算法的性能的指標(biāo)。將求出的均方根誤差與CRLB進(jìn)行比較[12]，以此來判斷定位算法的性能。

對(duì)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置：使用Matlab進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)為50 000次。實(shí)驗(yàn)采用6個(gè)傳感器進(jìn)行測(cè)向，傳感器在半徑為30 m的圓形區(qū)域內(nèi)，傳感器z軸的坐標(biāo)在[-5，+5]的區(qū)間內(nèi)。TDOA測(cè)量誤差服從高斯分布[13]，標(biāo)準(zhǔn)偏差在0～25 ms之間。系統(tǒng)誤差服從高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)偏差在0～15 m之間。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖形中圖例的含義分別是：LLS為線性最小二乘法、TS為泰勒級(jí)數(shù)展開法、EWI法為均等加權(quán)的交叉點(diǎn)估計(jì)結(jié)果、BGI法為最大權(quán)重對(duì)應(yīng)的交叉點(diǎn)估計(jì)結(jié)果、WI法為根據(jù)GDOP確定的綜合權(quán)重對(duì)應(yīng)的交叉點(diǎn)估計(jì)結(jié)果。

如圖3所示，隨著信號(hào)噪聲的增加，所有算法的方位角均方根誤差都在不斷地增加。LLS和TS的均方根誤差較大，在EWI法、BGI法和WI法中，WI法的均方根誤差要低于EWI法和BGI法，并且WI法最接近CRLB。

如圖4所示，在信號(hào)噪聲較小時(shí)，所有算法的俯仰角均方根誤差都比較接近。在信號(hào)噪聲較大時(shí)，LLS和TS的均方根誤差都比較大，EWI法、BGI法和WI法的均方根誤差十分的接近，但WI法要低于其他兩種算法。

圖3 方位角RMSEFig. 3 Azimuth RMSE

圖4 俯仰角RMSEFig. 4 Elevation RMSE

實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出，根據(jù)GDOP確定的綜合權(quán)重對(duì)應(yīng)的交叉點(diǎn)估計(jì)結(jié)果WI法要比均等加權(quán)的EWI法和取最大權(quán)重對(duì)應(yīng)的BGI法有著更小的定位誤差，算法的定位性能要優(yōu)于其他的方法。因此采用綜合加權(quán)估計(jì)的WI法更能接近克拉美羅下界，提高了對(duì)交叉點(diǎn)估計(jì)的精度，具有較高的定位性能。所以，選擇WI法作為最終的交叉點(diǎn)估計(jì)結(jié)果。

4 結(jié)束語

研究了兩條TDOA曲線交叉點(diǎn)的坐標(biāo)參量計(jì)算，這是由兩個(gè)非線性方程求解兩個(gè)未知變量的典型難題。針對(duì)這一問題，通過坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，獲得兩個(gè)非線性方程關(guān)于兩個(gè)未知變量的解析解，即方位角和俯仰角，改善了曲線交叉點(diǎn)測(cè)向精度不高的問題；與傳統(tǒng)的加權(quán)方法相比，采用GDOP指標(biāo)綜合加權(quán)估計(jì)的WI法對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)更加準(zhǔn)確，有著更好的定位性能。由于參與定位傳感器之間的幾何排布結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生定位誤差，下一步研究將改變傳感器的數(shù)量和改進(jìn)傳感器的幾何排布結(jié)構(gòu)來獲得更高的定位性能。