曳引式電梯垂直振動(dòng)分析

嚴(yán)文磊 薛大猛

1鹽城工學(xué)院 鹽城 224000 2希姆斯電梯（中國）有限公司 無錫 214000

0 引言

根據(jù)國家市場監(jiān)管總局特種設(shè)備局統(tǒng)計(jì)，截至2019年底，注冊在運(yùn)行的電梯總量達(dá)到709.75萬臺(tái)，當(dāng)年新增81.92萬臺(tái)。電梯已經(jīng)同人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)，成為不可缺少的一部分。

振動(dòng)加速度是電梯乘運(yùn)質(zhì)量的關(guān)鍵評價(jià)指標(biāo)之一，GB/T 10058—2009《 電梯技術(shù)條件3.3.5中規(guī)定乘客電梯轎廂運(yùn)行在恒加速度區(qū)域內(nèi)的垂直（Z軸）振動(dòng)的最大峰峰值不應(yīng)大于0.3 m/s2，A95峰峰值不應(yīng)大于0.2 m/s2。本文通過對試驗(yàn)塔內(nèi)某臺(tái)電梯進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，找出影響振動(dòng)加速度的關(guān)鍵因素。

1 動(dòng)力學(xué)建模

試驗(yàn)塔內(nèi)電梯梯速為2.5 m/s，額定載重為1 600 kg，曳引比為2:1，轎廂質(zhì)量為750 kg，轎架質(zhì)量為700 kg，對重質(zhì)量為2 250 kg，曳引機(jī)質(zhì)量為480 kg，鋼絲繩根數(shù)為7根，直徑為0.01 m，線密度為0.407 kg/m，彈性模量為8×1010Pa，繩頭彈簧剛度為2.12×105N/m，轎底減震橡膠剛度為5×105N/m，曳引輪，對重輪和導(dǎo)向輪直徑為0.4 m。其結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 電梯結(jié)構(gòu)示意圖

假定位移向上為正方向，角位移逆時(shí)針為正，對電梯建立動(dòng)力學(xué)模型，其動(dòng)力學(xué)模型見圖2。

圖2 電梯動(dòng)力學(xué)模型

在圖2中，m1為轎廂和額定載荷質(zhì)量，m2為轎架和部分補(bǔ)償鏈、隨行電纜等效質(zhì)量，m3為對重和部分補(bǔ)償鏈等效質(zhì)量，m4為曳引機(jī)和導(dǎo)向輪等效質(zhì)量，I1為曳引輪和導(dǎo)向輪等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r1為曳引輪半徑，m5轎頂輪和鋼絲繩等效質(zhì)量，I2為轎頂輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r2為轎頂輪半徑，m6為對重輪和鋼絲繩等效質(zhì)量，I3為對重輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r3為對重輪半徑，k1為轎底減震橡膠等效剛度，c1為轎底減震橡膠阻尼，k2為轎頂輪彈簧等效剛度，c2為轎頂輪彈簧阻尼，k3為對重輪彈簧等效剛度，c3為對重輪彈簧阻尼，k4為承重梁和主機(jī)減震墊等效剛度，c4為承重梁和主機(jī)減震墊阻尼，kr1為轎頂輪到繩頭彈簧之間鋼絲繩和繩頭彈簧的等效剛度，cr1為轎頂輪到繩頭彈簧之間鋼絲繩和繩頭彈簧的阻尼，kr2為轎頂輪到曳引機(jī)之間鋼絲繩等效剛度，cr2為轎頂輪到曳引機(jī)之間鋼絲繩阻尼，kr3為對重輪到曳引機(jī)之間鋼絲繩等效剛度，cr3為對重輪到曳引機(jī)之間鋼絲繩阻尼，kr4為對重輪到繩頭彈簧之間鋼絲繩和繩頭彈簧的等效剛度，cr4為對重輪到繩頭彈簧之間鋼絲繩和繩頭彈簧的阻尼，kT為曳引機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度，cT為曳引機(jī)阻尼。

參考文獻(xiàn)[2]認(rèn)為，當(dāng)電梯提升高度大于50 m時(shí)，鋼絲繩自重對垂直振動(dòng)影響較大，需要考慮其質(zhì)量，而當(dāng)提升高度較低時(shí)，鋼絲繩質(zhì)量可以忽略不及。參考文獻(xiàn)[3]通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，將鋼絲繩離散成4段可以得到較為穩(wěn)定的結(jié)果。為了考慮鋼絲繩的質(zhì)量，同時(shí)減少模型的自由度，本文通過對鋼絲繩分布質(zhì)量作近似計(jì)算，得到其等效質(zhì)量。

設(shè)鋼絲繩的長度為l，單位長度的質(zhì)量為p，假定鋼絲繩的變形與固定點(diǎn)的距離ξ正比，鋼絲繩端點(diǎn)的位移為x，將微元長度dξ的動(dòng)能在整個(gè)鋼絲繩長度范圍內(nèi)積分，以計(jì)算鋼絲繩的動(dòng)能

式中：mr為鋼絲繩質(zhì)量，mr＝pl，r為曳引比，mrr2/3為鋼絲繩的等效質(zhì)量，將其加到轎頂輪或?qū)χ剌喩稀ｄ摻z繩分布質(zhì)量系統(tǒng)見圖3。

圖3 鋼絲繩分布質(zhì)量系統(tǒng)

此外，參考文獻(xiàn)[2]認(rèn)為，曳引機(jī)－曳引輪之間為完全剛性傳動(dòng)，故曳引輪的扭轉(zhuǎn)剛度為0。由于在模型中需使用此參數(shù)，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)存在剛體模態(tài)，在矩陣分解時(shí)會(huì)造成計(jì)算困難，故取一個(gè)很小的數(shù)值。參考文獻(xiàn)[3]認(rèn)為當(dāng)電梯采用有齒輪曳引機(jī)時(shí)，在曳引機(jī)輸出軸到曳引輪軸之間有蝸輪蝸桿減速器，故兩者之間非剛性傳動(dòng)，存在扭轉(zhuǎn)剛度。當(dāng)今的電梯中多采用永磁同步無齒輪曳引機(jī)，曳引機(jī)輸出軸與曳引輪軸直接相連，沒有減速器，故該過程可看作剛性傳動(dòng)，扭轉(zhuǎn)剛度為0。為了避免計(jì)算困難，同樣賦予其很小的數(shù)值。參考文獻(xiàn)[5]認(rèn)為，在電梯建模仿真過程中，如果抱閘處于釋放狀態(tài)，曳引輪可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，故扭轉(zhuǎn)剛度看作0。因此，在本文中的扭轉(zhuǎn)剛度取10-6Nm/deg。

根據(jù)拉格朗日方程可得

式中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢能，xi為系統(tǒng)第i個(gè)自由度的廣義位移，為系統(tǒng)第i個(gè)自由度的廣義速度，Qi為系統(tǒng)第i個(gè)自由度的廣義力。

其中，系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的勢能為

經(jīng)過簡化可以得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，C為系統(tǒng)的阻尼矩陣，K為系統(tǒng)的剛度矩陣，F(xiàn)為系統(tǒng)的激勵(lì)力列陣，X··為系統(tǒng)的廣義加速度列陣，X·為系統(tǒng)的廣義速度列陣，X為系統(tǒng)的廣義位移列陣。

由式（3）和式（4）得

在工程中，電梯的實(shí)際阻尼難以測量，考慮到電梯為小阻尼機(jī)械系統(tǒng)，采用Rayleigh阻尼模型進(jìn)行等效

式中：ac、bc為阻尼系數(shù)，參照文獻(xiàn)[6]，取ac=0.01，bc=0。

考慮電梯系統(tǒng)運(yùn)行中的慣性力和慣性力矩，曳引輪，對重輪、導(dǎo)向輪的旋轉(zhuǎn)失衡，激勵(lì)力列陣見式（10）。根據(jù)文獻(xiàn)[7]中曳引輪偏心實(shí)驗(yàn)，將曳引輪偏心質(zhì)量近似看作為1 kg，偏心距為0.15 m，轎頂輪及對重輪偏心質(zhì)量近似看作為0.2 kg，偏心距為0.15 m。

式中：mt為曳引輪轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量，mj為轎頂輪轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量，md為對重輪轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量，ωt為曳引輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，ωj為轎頂輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，ωd為對重輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；et為曳引輪偏心距，ej為轎頂輪偏心距，ed為對重輪偏心距，a為轎廂運(yùn)行加速度。

2 模態(tài)分析

無外力作用的多自由度系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，即產(chǎn)生自由振動(dòng)。其方程為

此方程的特解為

其中，Ф＝（φi）為各坐標(biāo)振幅組成的n階列陣，此特解表示系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)坐標(biāo)偏離平衡值時(shí)均以同一頻率ω和同一初相角θ做不同振幅的簡諧運(yùn)動(dòng)。

系統(tǒng)的固有頻率和振型化為矩陣K和M的廣義特征值和特征向量的問題，即

由于電梯垂直方向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡位置是隨遇的，故主振動(dòng)存在隨時(shí)間無限增大的剛體位移。顯然，系統(tǒng)的第一階固有頻率ω1＝0。通過模態(tài)分析，可求出電梯垂直振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，從而避免外激勵(lì)的頻率與固有頻率相同而形成共振。

在電梯空載時(shí)，求得二～六階固有頻率隨時(shí)間的變化如圖4～圖8所示。

圖4 空載電梯二階固有頻率

圖5 空載電梯三階固有頻率

圖6 空載電梯四階固有頻率

圖7 空載電梯五階固有頻率

圖8 空載電梯六階固有頻率

隨著電梯上升，二階固有頻率從6.4 Hz先上升再下降，波動(dòng)幅度約為0.5 Hz；三階固有頻率從15.1 Hz開始降低，降低幅度約為1 Hz；四階固有頻率從21.9 Hz先下降再上升，波動(dòng)幅度約為1 Hz；五階固有頻率從50 Hz先上升再下降，波動(dòng)幅度約為16 Hz；六階固有頻率從151 Hz開始先下降再上升，波動(dòng)幅度約為60 Hz。

電梯二～四階固有頻率隨著電梯上升波動(dòng)幅度不大。從第五階固有頻率開始，波動(dòng)范圍大幅增加。在此系統(tǒng)中，曳引機(jī)振動(dòng)頻率約為3.98 Hz，故不會(huì)出現(xiàn)曳引機(jī)振動(dòng)引起共振的情況。

3 動(dòng)力學(xué)方程求解

對多自由度動(dòng)力學(xué)方程的求解方法有多種，一般做法是將多自由度方程通過坐標(biāo)變化解耦成單自由度方程，再基于振型疊加法使用杜哈梅積分求解，但這種解法繁瑣且計(jì)算量大，本文中將通過Newmark-β法對多自由度方程求解。

Newmark-β法是一種數(shù)值分析方法，其基本原理是將時(shí)間離散化，在時(shí)間增量內(nèi)假定加速度變化規(guī)律計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)[8]。假設(shè)在ti和ti+1時(shí)刻的加速度值某一常量，記為a。有

為得到穩(wěn)定和高精度的算法，α也用另一控制參數(shù)β表示，即

通過在ti到ti+1時(shí)間段上對加速度積分，可得ti+1時(shí)刻的速度和位移

將式（14）代入式（16），式（15）代入式（17）得

式（18）、式（19）為Newmark-β的兩個(gè)基本遞推公式，可解得ti+1時(shí)刻的速度和加速度的計(jì)算公式，即

由式（20）和式（21）所示的運(yùn)動(dòng)滿足ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)控制方程為

將式（20）和式（21）代入式（22）得ti+1時(shí)刻位移xi+1得計(jì)算公式為

其中

在Newmark-β法中，控制參數(shù)β和γ的取值影響算法的精度和穩(wěn)定性，可以證明，只有當(dāng)γ＝1/2時(shí)，該方法才具有二階精度，故一般取γ＝1/2，β＝1/4。

4 測量及分析

使用EVA-625檢測儀對試驗(yàn)塔內(nèi)電梯進(jìn)行測試，其轎廂實(shí)際速度和加速度曲線見圖9、圖10。

圖9 實(shí)測速度曲線

由圖10可知，電梯由啟動(dòng)到制停共分為7個(gè)時(shí)間段。其中，0～t1時(shí)刻，加速度a從0上升到最大值am；t1～t2時(shí)刻，加速度a保持恒定；t2～t3時(shí)刻，加速度a由am下降至0；t3～t4時(shí)刻，加速度a保持為0；t4～t5時(shí)刻，加速度a由0下降至-am；t5～t6時(shí)刻，加速度a保持為-am；t6～t7時(shí)刻，加速度a～-am上升至0。其中je為加加速度，vm為速度最大值[9]。電梯轎廂的速度和加速度可表示為

圖10 實(shí)測加速度曲線

當(dāng)je＝0.8 m/s3、am＝ 0.8 m/s2、vm=2.5 m/s時(shí)，模型的速度和加速度曲線見圖11和圖12。

圖11 模型速度曲線

圖12 模型加速度曲線

電梯轎廂在運(yùn)行過程中，通過EVA-625檢測儀對其垂直（Z軸）振動(dòng)進(jìn)行檢測。其原始Z軸信號(hào)見圖13。

圖13 原始Z軸信號(hào)

由圖13可知，電梯啟制動(dòng)前后一段時(shí)間內(nèi)，開關(guān)門機(jī)對信號(hào)影響甚大，應(yīng)予以忽略。根據(jù)GB/T 24474—2009《電梯乘運(yùn)質(zhì)量測量》5.2.1中規(guī)定[10]：加速度和減速度值應(yīng)通過對原始Z軸信號(hào)進(jìn)行10 Hz低通濾波后計(jì)算。其濾波后的信號(hào)見圖14。

圖14 10 Hz濾波后Z軸信號(hào)

由圖14可知，可知其振動(dòng)加速度最大峰峰值為0.265 m/s2，A95 峰峰值為 0. 261 m/s2。

EVA-625檢測儀有3種濾波方式：ISO、高通和低通。其中ISO濾波器是振動(dòng)分析中最有力的一個(gè)工具。ISO濾波器會(huì)依據(jù)IS08041標(biāo)準(zhǔn)將測試數(shù)據(jù)處理成標(biāo)準(zhǔn)中描述的人類能感受的垂直和水平方向的振動(dòng)[11]。經(jīng)過ISO濾波后的振動(dòng)曲線如圖15所示。

圖15 ISO濾波垂直（Z軸）振動(dòng)曲線

對經(jīng)過ISO濾波后的最大峰峰值進(jìn)行FFT（快速傅里葉轉(zhuǎn)換）分析，可以得到振動(dòng)的振幅和頻率數(shù)據(jù)信息，快速傅里葉轉(zhuǎn)換后見圖16。為對比不同速度對電梯垂直系統(tǒng)固有頻率的影響，在其他條件不變的情況下，將速度從2.5 m/s改為1.75 m/s，其最大峰快速傅里葉轉(zhuǎn)換后見圖17。

圖16 2.5 m/s最大峰快速傅里葉轉(zhuǎn)換

從圖16和圖17可以看出，對振幅影響最大的頻率為6 Hz，與上文模態(tài)分析中系統(tǒng)的第二階模態(tài)基本吻合，并且不隨速度而變化。在圖16中，頻率4 Hz對振幅影響較大，這是曳引機(jī)振動(dòng)的頻率。此外的一些低頻信號(hào)，可能是由電梯系統(tǒng)變剛度引起的自激振動(dòng)[12]，也可能由電梯運(yùn)行時(shí)空氣阻力引起的振動(dòng)[13]。

圖17 1.75m/s最大峰快速傅里葉轉(zhuǎn)換

通過Newmark-β法對動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，可知其振動(dòng)加速度峰值約為0.3 m/s2，高出實(shí)際測量值12%左右。模型中峰值加速度出現(xiàn)在變減速開始的階段，而實(shí)測中峰值加速度出現(xiàn)在變加速結(jié)束的階段，兩組值相差不大。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其峰值加速度出現(xiàn)的位置很大程度上取決于現(xiàn)場實(shí)際情況?？紤]到計(jì)算時(shí)做了部分假設(shè)和簡化，故其值在實(shí)際工程中可以接受。Newmark-β法振動(dòng)曲線見圖18。

圖18 Newmark-β法計(jì)算振動(dòng)曲線

5 結(jié)論

綜上所述，在不同速度下電梯系統(tǒng)的基頻是不變的，且為振動(dòng)的最主要成分。若基頻發(fā)生變化，可能是電梯發(fā)生共振所致。當(dāng)電梯發(fā)生共振時(shí)，可通過改變減震墊和繩頭彈簧等的剛度改變系統(tǒng)固有頻率以避免共振。

通過更改模型的參數(shù)，可知當(dāng)曳引比為2:1時(shí)，反繩輪中存在的偏心質(zhì)量，將對振動(dòng)加速度產(chǎn)生相當(dāng)大的影響；降低鋼絲繩的彈性模量，可整體降低振動(dòng)加速度；適當(dāng)增加轎廂或者轎架的質(zhì)量可有效降低振動(dòng)加速度。