基于模型預(yù)測(cè)的PMSM速度環(huán)PI自整定控制

彭穎濤， 陸 可

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(PMSM)具有體積小、效率高、功率密度大等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)和交流傳動(dòng)領(lǐng)域。其中矢量控制因?yàn)橹绷麟妷豪寐矢摺㈦娏髦C波分量小等特點(diǎn)受到廣泛關(guān)注[1]。模型預(yù)測(cè)控制(MPC)是一種比較先進(jìn)的基于模型的控制方法，主要分為連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制(CCS-MPC)和有限集模型預(yù)測(cè)控制(FCS-MPC)。FCS-MPC算法省略了脈沖寬度調(diào)制環(huán)節(jié)，直接產(chǎn)生開(kāi)關(guān)信號(hào)，控制更加簡(jiǎn)單快速，且比矢量控制可以得到更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能[2]。

傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制，通過(guò)離散化電流狀態(tài)方程選取最優(yōu)成本函數(shù)所對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)狀態(tài)作為輸出。由于性能表現(xiàn)一般，牛里等[3]提出魯棒電流預(yù)測(cè)算法，進(jìn)而提高電機(jī)魯棒性。模型預(yù)測(cè)磁鏈控制，通過(guò)對(duì)模型預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩控制進(jìn)行改進(jìn)，將求解轉(zhuǎn)矩和磁鏈幅值的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求磁鏈?zhǔn)噶康姆绞絹?lái)避免權(quán)重系數(shù)難以設(shè)計(jì)的問(wèn)題[4-6]。

在PMSM運(yùn)行過(guò)程中，難以避免的會(huì)因?yàn)楣ぷ鳡顩r或外界環(huán)節(jié)的改變而產(chǎn)生不同程度的擾動(dòng)，影響電機(jī)的動(dòng)靜態(tài)響應(yīng)性能。王喜蓮等[7-8]為降低轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，針對(duì)電流環(huán)采用小信號(hào)分析法、典型Ⅰ型系統(tǒng)整定法設(shè)計(jì)PI參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)器。王莉娜等[9-10]則針對(duì)傳統(tǒng)雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，從頻域模型角度分析開(kāi)環(huán)截止頻率和相角裕度來(lái)設(shè)計(jì)PI自整定控制器。

綜上所述，本文提出了一種改進(jìn)FCS-MPC系統(tǒng)，利用反饋控制減小電流差拍干擾的作用，所提FCS-MPC實(shí)現(xiàn)了較好的控制。為了增強(qiáng)對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾和參數(shù)擾動(dòng)的魯棒性，進(jìn)行轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)的自整定控制方案設(shè)計(jì)。針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中的電流約束問(wèn)題，仿真中設(shè)置限幅器對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，后續(xù)可以通過(guò)選取較大裕量元器件和結(jié)合程序控制中加入電流限制模塊實(shí)現(xiàn)電流的約束。

1 模型預(yù)測(cè)優(yōu)化控制

在傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制策略中，有近似式為

(1)

在離散化處理時(shí)利用式(1)近似處理狀態(tài)微分方程得到預(yù)測(cè)模型[11]。因此，雖然模型預(yù)測(cè)電流控制響應(yīng)迅速但是受到參數(shù)變動(dòng)的影響比較明顯[12]。而基于磁鏈的FCS-MPC，由于磁鏈與電流電感的關(guān)系也會(huì)一定程度地影響響應(yīng)性能[13]。本文在磁鏈預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上，將輸出狀態(tài)反饋輸入到電流預(yù)測(cè)模型以得到磁鏈模型對(duì)應(yīng)的k+1時(shí)刻電流值，再以此電流作為磁鏈預(yù)測(cè)控制的輸入，從而使得磁鏈微分近似式與變化阻感參數(shù)相乘得到的k+2時(shí)刻預(yù)測(cè)磁鏈變化相對(duì)平緩，開(kāi)關(guān)矢量輸出更加穩(wěn)定，達(dá)到增強(qiáng)穩(wěn)態(tài)性能的效果，構(gòu)成的控制框圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)FCS-MPC框圖

該方法中，通過(guò)將電機(jī)電壓方程轉(zhuǎn)化為電流的離散模型，再根據(jù)電流與磁鏈的關(guān)系進(jìn)一步得到磁鏈的離散狀態(tài)方程:

(2)

將電流模型預(yù)測(cè)值代入式(2)狀態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算，再選擇成本函數(shù)為

(3)

通過(guò)成本函數(shù)中磁鏈的模差值計(jì)算可以得到期望的輸出狀態(tài)。計(jì)算得到最小成本函數(shù)下的開(kāi)關(guān)管狀態(tài)，使得控制效果達(dá)到最好。

2 轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)自整定

2.1 電機(jī)等效模型

分析一個(gè)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)整個(gè)控制過(guò)程穩(wěn)定運(yùn)行的重要基礎(chǔ)。而在PMSM閉環(huán)控制系統(tǒng)中，分析得到電機(jī)速度環(huán)的傳遞函數(shù)是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。在圖1中，可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，將整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)按照功能拆分，依次為電機(jī)模型、轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器、電流電壓位置信號(hào)采樣、FCS-MPC、三相逆變器這5個(gè)具體的小模型，通過(guò)簡(jiǎn)化處理得到各自的傳遞函數(shù)。進(jìn)而得到整個(gè)電機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)的的等效傳遞函數(shù)。

分析PMSM的電壓狀態(tài)方程，主要由阻感電壓和反電動(dòng)勢(shì)構(gòu)成:

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行分析，經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換得到頻域函數(shù)，電機(jī)輸入三相電壓信號(hào)，采集輸出得到各相的電流信號(hào)，從而可以得到該P(yáng)MSM的等效傳遞函數(shù)為

(5)

式中:L/R為電機(jī)時(shí)間常數(shù)。

式(5)為一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，組成整個(gè)控制環(huán)的一部分。

PI控制器部分可以簡(jiǎn)化為以下放大環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的組合，該速度環(huán)的PI控制器等效傳函為

(6)

式中:KP、KI為控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)。

采用的FCS-MPC和逆變器部分可以等效為類似SVPWM的一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，主要作用是將經(jīng)過(guò)PI環(huán)節(jié)處理得到的轉(zhuǎn)矩值經(jīng)過(guò)該環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換成電機(jī)的電壓電流值，因此該環(huán)節(jié)的等效傳函為

(7)

式中:K1為改進(jìn)FCS-MPC的增益系數(shù);Tcf為控制方法的時(shí)間常數(shù)。

電流電壓位置信號(hào)采樣環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)電流到轉(zhuǎn)矩的轉(zhuǎn)換，根據(jù)電機(jī)機(jī)械方程到轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)變過(guò)程，其傳遞函數(shù)為

(8)

式中:J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;K2為速度采樣的采樣系數(shù);K′t為負(fù)載轉(zhuǎn)矩系數(shù)，K′t=KtTL/TeN；TeN為額定轉(zhuǎn)矩。

整合上文的傳遞函數(shù)得到整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的等效框圖如圖2所示。

圖2 PMSM轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)框圖

綜合以上各小模型傳遞函數(shù)可以得到電機(jī)控制速度環(huán)的整個(gè)傳遞函數(shù)為

(9)

對(duì)該系統(tǒng)傳函進(jìn)行對(duì)應(yīng)的分析，進(jìn)而為轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)的自整定做準(zhǔn)備。

2.2 抗負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的PI自整定

2.2.1 負(fù)載轉(zhuǎn)矩辨識(shí)

電機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中，所處的工況不同，除開(kāi)空載狀況外，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化直接影響控制效果，因而速度環(huán)PI參數(shù)的自整定很大程度上就是基于負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化而進(jìn)行的。因此，進(jìn)行基于負(fù)載波動(dòng)的速度環(huán)PI參數(shù)自整定需要構(gòu)建負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器。PMSM機(jī)械方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(10)

(11)

采用構(gòu)建觀測(cè)器的方法進(jìn)行負(fù)載轉(zhuǎn)矩的實(shí)時(shí)觀測(cè)[14]，具體分析如下：根據(jù)dθ/dt=ωm和式(10)～式(11)分析構(gòu)建如下觀測(cè)器:

(12)

觀測(cè)器的輸入變量為機(jī)械角位置，狀態(tài)變量為機(jī)械角速度、機(jī)械角位置和負(fù)載轉(zhuǎn)矩，現(xiàn)只需實(shí)時(shí)觀測(cè)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，簡(jiǎn)化為

(13)

觀測(cè)器模型為

(14)

由式(13)和式(14)可得：

(15)

設(shè)系數(shù)矩陣為A，則有:

det[sI-A]=s2+(k1+B/J)s-k2/J=0

(16)

選取合適的期望極點(diǎn)α,β,使得系統(tǒng)保持穩(wěn)定,即:

s2-(α+β)s+αβ=0

(17)

聯(lián)立式(16)、式(17)求得：

(18)

由以上各式推導(dǎo)可以得到電機(jī)狀態(tài)方程:

(19)

根據(jù)狀態(tài)方程分析，選擇極點(diǎn)位置可得負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器觀測(cè)模型如圖3所示。

圖3 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器框圖

2.2.2 頻率特性分析法

為了使電機(jī)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變時(shí)仍能夠快速的響應(yīng)工作，需要對(duì)該轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。因此,在得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之后就可以通過(guò)頻率特性法結(jié)合最優(yōu)控制理論得到PI控制參數(shù)與控制穩(wěn)定性的關(guān)系，進(jìn)一步分析可以到到定量的解析計(jì)算式，從而實(shí)現(xiàn)完整的自整定控制過(guò)程。

(20)

不妨令

(21)

將式(9)進(jìn)行整理，分解成調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)和其他環(huán)節(jié)，因?yàn)?個(gè)慣性環(huán)節(jié)均是小慣性環(huán)節(jié)，可以近似合并為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。整理為

(22)

令

(23)

(24)

(25)

(26)

因而系統(tǒng)傳遞函數(shù)的總幅頻特性和相頻特性可表示為

(27)

∠Gs=-Qs-phase-Qs-p

(28)

(29)

(30)

通過(guò)式(30)便能得到基于模型的參數(shù)整定值。當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生波動(dòng)時(shí)，可自動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)滿足幅頻和相頻特性，使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能。

2.3 抗參數(shù)擾動(dòng)的PI自整定

2.3.1 阻感參數(shù)辨識(shí)

在負(fù)載轉(zhuǎn)矩跟蹤控制確定電機(jī)控制PI參數(shù)大致值確定的情況下，由于電機(jī)運(yùn)行狀況以及工作環(huán)境的不確定性，電機(jī)的阻感參數(shù)會(huì)隨著電機(jī)的運(yùn)行而發(fā)生一定的改變，這時(shí)需要對(duì)電機(jī)控制PI參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)使控制效果更加優(yōu)越。因此文中使用帶有遺忘因子的遞推最小二乘法進(jìn)行電機(jī)參數(shù)的在線辨識(shí)[15]。該方法的遞推結(jié)構(gòu)表達(dá)式為

(31)

式中:θ為待辨識(shí)參數(shù)矩陣;L為增益矩陣;P為協(xié)方差矩陣;λ為遺忘因子。

通過(guò)以上遞推算法的基本架構(gòu)，結(jié)合PMSM的電壓狀態(tài)方程，得到需要的狀態(tài)方程:

(32)

式中：θ為需要辨識(shí)的部分；y為輸出測(cè)量部分，y=xTθ；xT為需要的輸入量部分。

通過(guò)狀態(tài)方程式(32)，代入遞推最小二乘法的迭代式，就可以跟蹤到電機(jī)的電阻電感參數(shù)值，進(jìn)行后續(xù)的控制環(huán)節(jié)。

2.3.2 典型Ⅱ型系統(tǒng)分析法

為使電機(jī)在阻感參數(shù)擾動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的擾動(dòng)盡可能小，需要對(duì)該轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。因此,在得到了完整的傳遞函數(shù)之后，通過(guò)典型系統(tǒng)分析方法得到PI控制參數(shù)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的關(guān)系，進(jìn)一步分析可以得到定量的控制解析表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)整個(gè)完整的自整定控制方案，使得電機(jī)的參數(shù)魯棒性提高。

圖4為典型Ⅱ型系統(tǒng)的幅頻特性圖，典型傳遞函數(shù)表示為

圖4 典型Ⅱ型系統(tǒng)幅頻特性圖

(33)

式中:τ和T為時(shí)間常數(shù)。采用“振蕩指標(biāo)法”中的閉環(huán)幅頻特性峰值最小準(zhǔn)則，可以找到2個(gè)時(shí)間常數(shù)的最佳配合，即τ=hT。

將系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)等效轉(zhuǎn)換為

(34)

因而可將整個(gè)傳遞函數(shù)式(9)校正成典型Ⅱ型系統(tǒng)的形式為

(35)

K是增益集合，表達(dá)式為

(36)

由典型Ⅱ型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)抗擾性能指標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系可知，取h的值為4時(shí)動(dòng)態(tài)抗擾性能最佳，參數(shù)關(guān)系符合最小Mr準(zhǔn)則[16]；將系統(tǒng)校正成三階“最佳”系統(tǒng)，則:

(37)

聯(lián)立式(36)、式(37)可得：

(38)

由等效轉(zhuǎn)換式(34)可知KI=KP/τ,從而根據(jù)該P(yáng)I整定解析計(jì)算式得到需要的整定參數(shù)值。

3 仿真分析

3.1 負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化驗(yàn)證

仿真時(shí)給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩為10 N·m，t=2 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩從10 N·m突變?yōu)?0 N·m，t=4 s時(shí)變?yōu)?0 N·m，t=6 s時(shí)再變?yōu)?5 N·m，仿真時(shí)長(zhǎng)為10 s，并調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速PI到合適值使跟蹤較快且無(wú)超調(diào)。

通過(guò)觀察仿真圖5，在傳統(tǒng)矢量控制中，為了保證初始響應(yīng)的性能，往往設(shè)置較小的PI參數(shù)值，這樣在面對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變時(shí)會(huì)發(fā)生抖動(dòng)且不能快速恢復(fù)。圖6采用改進(jìn)的FCS-MPC相對(duì)矢量控制在抖動(dòng)幅度上有一定改善但調(diào)節(jié)時(shí)間還是較長(zhǎng)。在轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器下得到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化如圖7所示。圖8中采用基于負(fù)載轉(zhuǎn)矩的頻率法轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)自整定控制，設(shè)置和改進(jìn)FCS-MPC一樣的初始控制參數(shù)，后續(xù)控制參數(shù)由整定解析式計(jì)算得到，可以看出在轉(zhuǎn)矩發(fā)生波動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)速波動(dòng)變小且恢復(fù)時(shí)間短。同時(shí)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)模型中，因?yàn)檗D(zhuǎn)速變化率的影響，所以當(dāng)轉(zhuǎn)速以一定斜率緩慢變化時(shí)，觀測(cè)到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生了誤差，因而需要避免長(zhǎng)時(shí)間的轉(zhuǎn)速斜坡變換。

圖5 負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)下矢量控制轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖6 負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)下改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖7 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)圖

圖8 抗轉(zhuǎn)矩波動(dòng)PI自整定轉(zhuǎn)速圖

3.2 參數(shù)變化自整定控制驗(yàn)證

仿真時(shí)給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，初始阻感參數(shù)分別設(shè)置為3 Ω、0.01 H，t=3 s時(shí)定子電阻從3 Ω突變?yōu)?.5 Ω，t=4 s時(shí)電感從0.01 H變?yōu)?.015 H，t=5 s時(shí)電阻再突變?yōu)? Ω，t=7 s時(shí)定子電阻變?yōu)? Ω，t=8 s時(shí)電感變化為0.012 H，仿真時(shí)長(zhǎng)為10 s。

在負(fù)載轉(zhuǎn)矩等大擾動(dòng)驗(yàn)證結(jié)束的情況下，對(duì)阻感參數(shù)擾動(dòng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。觀察圖9可以看出相較于負(fù)載波動(dòng)，阻感參數(shù)的擾動(dòng)使轉(zhuǎn)速波動(dòng)減小，且方向均與阻感變化方向相反，大小與變化幅度正相關(guān)。然后圖10中采用改進(jìn)FCS-MPC，幅度減小，但調(diào)節(jié)時(shí)間依舊較長(zhǎng)?；谶f推最小二乘法的電機(jī)阻感參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如圖11、圖12所示。觀察基于典型Ⅱ型系統(tǒng)校正法得到的轉(zhuǎn)速環(huán)PI參數(shù)自整定控制，如圖13所示，因阻感參數(shù)擾動(dòng)引起的轉(zhuǎn)速抖動(dòng)變得很小且恢復(fù)很快，魯棒性得到明顯提升。

圖9 參數(shù)擾動(dòng)下矢量控制轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖10 參數(shù)擾動(dòng)下改進(jìn)模型預(yù)測(cè)控制轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖11 電阻參數(shù)辨識(shí)圖

圖12 電感參數(shù)辨識(shí)圖

圖13 抗參數(shù)擾動(dòng)PI自整定轉(zhuǎn)速圖

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)2種電機(jī)實(shí)際工作中可能遇到的變動(dòng)工況進(jìn)行自整定控制方案的仿真驗(yàn)證。當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變時(shí)，采用基于頻率法的PI參數(shù)自整定控制使整個(gè)系統(tǒng)的頻率特性帶寬和相角裕度保持穩(wěn)定，能夠得到更加優(yōu)良的響應(yīng)性能。在針對(duì)電機(jī)參數(shù)的小擾動(dòng)工況分析中，采用校正為典型Ⅱ型系統(tǒng)的方法進(jìn)行分析，確定PI自整定控制參數(shù)的解析式，同樣從仿真結(jié)果中可以得知有較明顯的效果，驗(yàn)證了理論控制策略的正確性和有效性。