解密轉盤游戲中的數(shù)學原理

◆湖北省赤壁市第一中學 謝雅蘭 定 涵

一天上午，我們在路邊看到這樣一個游戲：攤販前面放一張畫有轉盤的白紙，獎品擺在轉盤的周圍，有氣球、鉛筆、橡皮擦、鐘表、溜冰鞋等，然后，攤販拿出一副撲克牌讓玩客任意抽出兩張，并事先說好向哪個方向轉，將抽出的兩張撲克的數(shù)字相加（J、Q、K分別為11、12、13，A為1），得到數(shù)字n，就從n開始按照事先說好的方向轉n-1步，轉到哪個數(shù)字，那個數(shù)字前的獎品就歸玩客。但唯有轉到數(shù)字“1”的位置時，如圖1，就必須付2元錢，轉到其他位置都不必付錢。

圖1

通過一段時間的觀察我們發(fā)現(xiàn)，所有參與游戲的玩客不是轉到要付2元錢的位置即數(shù)字“1”，就是轉到一些價值較小的獎品位置，而擺放鐘表、溜冰鞋等貴重獎品的位置沒有一個玩客轉到過。

轉盤上有26個位置，獲獎的可能性有25/26，需要付2元錢的可能性只有1/26，怎會沒有人中大獎呢？其中是不是有“機關”？我們對此展開了探究。

一、用觀察法解密

1.過程

從轉盤上的任何一個數(shù)字開始向左轉或向右轉，按照小攤販設定的轉法，轉到付2元錢的位置所轉過的最少步數(shù)恰好比這個數(shù)字少1（比如數(shù)字6，逆時針轉5步到付2元錢的位置“1”，順時針轉5步到數(shù)字17）。因此，抽到的撲克數(shù)字之和無論是多少，或者左轉或者右轉，按照游戲規(guī)定的轉法，只有兩種結果，一個方向是轉到付2元錢的位置；另一個方向是轉到奇數(shù)的位置，絕對不會轉到偶數(shù)的位置。

因為如果抽出的兩張撲克牌的數(shù)字相加是奇數(shù)n，從這個數(shù)字開始轉n-1（為偶數(shù)）步，相當于增加了“偶數(shù)”，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；如果抽出的兩張撲克牌的數(shù)字相加是偶數(shù)n，從這個數(shù)字開始轉n-1（為奇數(shù)）步，相當于增加了“奇數(shù)”，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。

我們觀察轉盤上獎品的分布發(fā)現(xiàn)，鐘表、溜冰鞋這類價格高的獎品都放在偶數(shù)字前，而奇數(shù)字前只有氣球、鉛筆等價值較小的獎品。因為按照攤販規(guī)定的游戲玩法，無論怎么轉也轉不到偶數(shù)字的位置，所以玩客就得不到價格高的獎品了。

2.結論

通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)了游戲的騙人“機關”：每轉一次只有兩種可能，要么轉到付2元錢的位置，要么轉到奇數(shù)字位置，玩客付2元錢與得到小獎品的概率都是1/2，相當于將每件價值幾角錢的小物品用2元錢的價格賣出去。因此，玩客玩的次數(shù)越多，輸?shù)目赡苄跃驮酱蟆?/p>

二、用歸納法解密

1.過程

因為n是兩張撲克牌的數(shù)字之和，所以1

當n為奇數(shù)時，從n開始轉n-1步得到的數(shù)要么是1，要么是其他奇數(shù)。其他的奇數(shù)有如下兩種情形：當1＜n≤13時，最終轉到的奇數(shù)為2n-1；當13＜n≤25時，最終轉到的奇數(shù)為2n-27。觀察轉盤可知，若事先規(guī)定朝逆時針方向轉，奇數(shù)n轉n-1步后得到的數(shù)是奇數(shù)2n-1（1＜n≤13）或奇數(shù)2n-27（13＜n≤25），永遠不可能轉到位置“1”處；若事先規(guī)定朝順時針方向轉，奇數(shù)n轉n-1步后得到的數(shù)都是付2元錢的位置“1”，不可能轉到其他位置。

當n為偶數(shù)時，從n開始轉n-1步得到的數(shù)要么是1，要么是其他奇數(shù)。其他的奇數(shù)也有如下兩種情形：當2≤n≤14時，最終轉到的奇數(shù)為29-2n；當16≤n≤26時，最終轉到的奇數(shù)為55-2n。

觀察轉盤可知，若事先規(guī)定朝逆時針方向轉，偶數(shù)n轉n-1步后得到的數(shù)都是要付2元錢的位置“1”，不可能轉到其他位置；若事先規(guī)定朝順時針方向轉，偶數(shù)n轉n-1步后得到的數(shù)是奇數(shù)29-2n（2≤n≤14）或 奇 數(shù)55-2n（16≤n≤26 ），永遠不可能轉到位置“1”處。

注意：29-2n=55-2n-26，可見，兩種情形的數(shù)學關系式有深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

2.結論

綜合以上兩種情況，對游戲轉盤而言，若事先規(guī)定朝逆時針方向轉，奇數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)都是奇數(shù)2n-1（1＜n≤13）或奇數(shù)2n-27（13＜n≤25），偶數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)都是位置“1”；若事先規(guī)定朝順時針方向轉，奇數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)都是位置“1”，偶數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)都是奇數(shù)29-2n（2≤n≤14）或奇數(shù)55-2n（16≤n≤26 ）。

三、用代數(shù)法解密

1.過程

能否從數(shù)學的嚴密性要求出發(fā)，給出一般性的邏輯論證來得到結論？答案是肯定的。因為轉盤可朝順時針與逆時針兩個方向旋轉，所以將轉盤上的數(shù)進行排列時，也應分順時針方向排列與逆時針方向排列兩種情況。

這里我們研究了逆時針方向排列的情況，順時針方向排列的情況可采用相同的方法研究。

圖2 轉盤數(shù)字按逆時針方向排列

轉盤的旋轉過程中不變形，有些數(shù)在轉動后會循環(huán)出現(xiàn)前面的數(shù)，所以這個數(shù)列是以1、26、3、24、5、22……25、2為基礎循環(huán)排列的，所以當項數(shù)n超過26時，就有an=an-26。

根據(jù)數(shù)列的排列規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)項數(shù)n與對應項an之間有如下關系：

按照轉盤規(guī)定的轉法，當抽出兩張撲克牌的和為an時，如果事先約定沿逆時針方向轉，則轉an-1步后，到達以上數(shù)列的第（n+an-1）項位置。

（1）當an為奇數(shù)時，由上面通項公式知an=n，從而n+an-1=n+n-1=2n-1（奇數(shù)）。再由上面通項公式得：

亦即奇數(shù)an（實際上就是奇數(shù)n），沿逆時針方向轉an-1步后（即轉n-1步后），到達以上數(shù)列的第（n+an-1）項位置，此位置對應的數(shù)是2n-1。

注意，以上結果是1＜n≤13時的結果，當13＜n≤25時，則2n-1>26，這時an=an-26。根據(jù)數(shù)列的排列規(guī)律 ，再根據(jù)通項公式，我們有：

（2）當an是偶數(shù)時，則

偶數(shù)an沿逆時針方向轉an-1步后，到達以上數(shù)列的第（n+an-1）項位置，此位置對應的數(shù)是：

亦即偶數(shù)an沿逆時針方向轉an-1步后，到達要付2元錢的位置“1”處。

綜合以上兩種情況即得，若事先規(guī)定朝逆時針方向轉，奇數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)是奇數(shù)2n-1（1＜n≤13）或奇數(shù)2n-27（13＜n≤25），偶數(shù)n轉n-1步后到達的數(shù)都是付2元錢的位置“1”。

如果沿順時針方向排列轉盤上的數(shù)，按照上述研究方法，很容易得出相應的結論。

四、新玩法定輸贏的奧秘

我們研究了一種新玩法，玩客只贏不輸：兩張牌的點數(shù)之和是n，就從n開始按照事先說好的方向轉n步（不是n-1步）。這種新玩法的結果是，無論如何都轉不到要付2元錢的位置，即數(shù)字“1”處，但能轉到偶數(shù)位置。玩客只要有耐心，就能分文不出地將小攤販的獎品一掃而光。

然而，當我們向小攤販說出改變游戲規(guī)則，按我們所說的玩法去玩時，小攤販一口拒絕了。

發(fā)現(xiàn)轉盤贏錢的“機關”后，我們又思考，能否設計一種玩法，讓小攤販每次都能賺2元錢，連小獎品都不給出一次？經(jīng)過分析思考，我們發(fā)現(xiàn)這樣的游戲玩法也是有的。但再貪的小攤販也不會采用這種游戲玩法，因為如果玩客每次都輸2元錢，一無所獲，就會無人“上鉤”。

通過對轉盤“機關”的分析，我們更加意識到數(shù)學的重要性，只有認真學習數(shù)學知識，有一顆善用數(shù)學知識分析問題的大腦，才能讓我們立于不敗之地。賭博的花樣層出不窮，如果我們對每一種賭博方式都能從數(shù)學的角度進行揭秘，相信社會將變得風清氣正，人人都會在和諧的社會氛圍中，憑自己勤勞的雙手和智慧的大腦開創(chuàng)美好幸福的人生。 一句話，知識就是力量！

作者心聲

經(jīng)過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)，所有設計的玩法中，小攤販設計的玩法最“科學”，讓玩客有失有得，雖有誘惑性與欺騙性，但能讓玩客“無怨無悔”地自投羅網(wǎng)。看來設計游戲的小攤販既有聰明的數(shù)學意識，又能抓住玩客的心理，讓玩客樂在其中，哪怕受騙也不會找麻煩。

專家點評

數(shù)學源于生活，孩子們根據(jù)生活中看到的現(xiàn)象提煉出相應的數(shù)學問題，通過已有的知識水平和現(xiàn)實情境進行思考和推理，從而解密生活中的數(shù)學問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學的生活價值。

從觀察法出發(fā)，孩子們通過數(shù)學學習中重要的研究方法如歸納法、代數(shù)法進行研究，體現(xiàn)了其嚴密的科學思維方式；將數(shù)學知識與趣味游戲結合，體現(xiàn)了玩中學的思想；最后通過研究一種新的玩法，反映出他們具有很強的創(chuàng)新能力。