基于樣例學(xué)習(xí)理論的習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)
——以整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算為例

李 晴

(首都師范大學(xué) 北京 海淀 100048)

1.引言

培養(yǎng)學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)作用之一，數(shù)學(xué)運(yùn)算則是學(xué)生需要掌握的一項(xiàng)基本技能，教育工作者也圍繞學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行了許多討論，主要將錯(cuò)誤原因圍繞在學(xué)生角度進(jìn)行分析。而學(xué)生的某些錯(cuò)誤表現(xiàn)與課堂的學(xué)習(xí)情況也存在一定關(guān)系。這便涉及到教師在課堂上呈現(xiàn)的題目樣例是否契合學(xué)生的認(rèn)知水平、是否具有典型性。因此本文試圖以樣例學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，探索如何讓習(xí)題教學(xué)的內(nèi)容深刻留存在學(xué)生心中。

2.習(xí)題教學(xué)中存在的問題

我們主要討論形成性習(xí)題教學(xué)，即在講授新知后加入的習(xí)題講解，其教學(xué)功能是鞏固新知，學(xué)會(huì)解題技巧，形成解題技能[1]。在新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，習(xí)題的利用扮演著十分重要的角色，然而在實(shí)際教學(xué)中教師們對(duì)習(xí)題的利用情況尚不理想。

一些教師不會(huì)對(duì)課上所講的習(xí)題進(jìn)行嚴(yán)格的篩選，多直接、大量地用教材或是習(xí)題冊(cè)的題目作為新授課的練習(xí)，所以習(xí)題考察的重點(diǎn)多重復(fù)，還會(huì)存在忽略某些重點(diǎn)知識(shí)、技巧的情況。

在講授習(xí)題的過程中，教師有時(shí)會(huì)忽略步驟間的推演，在學(xué)生回答完正確答案后便跳過了強(qiáng)調(diào)推理背后的基礎(chǔ)知識(shí)的環(huán)節(jié)。這樣的處理錯(cuò)失了利用習(xí)題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的機(jī)會(huì)，也讓一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生不知所云。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中還是要注重每一個(gè)“=”成立的邏輯，并有意滲透給學(xué)生。

基于此，本文試圖探索一些習(xí)題選擇和講解的方法，選擇典型的題目、強(qiáng)調(diào)解題步驟下的基礎(chǔ)原理，讓習(xí)題教學(xué)的作用真正落到實(shí)處。

3.基于樣例學(xué)習(xí)理論的教學(xué)設(shè)計(jì)原則

樣例學(xué)習(xí)興起于20世紀(jì)80年代，指學(xué)習(xí)者通過對(duì)樣例的自主觀察和思考獲得知識(shí)的過程[2]。在關(guān)于樣例學(xué)習(xí)的研究過程中，有很多學(xué)者例如Sweller、Renkl發(fā)現(xiàn)了一系列樣例學(xué)習(xí)效應(yīng)，并提出教學(xué)設(shè)計(jì)指導(dǎo)方針。張奇將其概括為17條，分別為：自由目標(biāo)效應(yīng)、樣例效應(yīng)、分散注意效應(yīng)、冗余效應(yīng)、專長(zhǎng)逆轉(zhuǎn)效應(yīng)等。張奇對(duì)應(yīng)這十七個(gè)樣例學(xué)習(xí)效應(yīng)提出了相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)原則，用于指導(dǎo)教學(xué)[3]。

徐章韜根據(jù)樣例學(xué)習(xí)理論并結(jié)合訓(xùn)練學(xué)生思維的考慮，從更加宏觀的角度提出教師在設(shè)計(jì)習(xí)題課時(shí)需綜合配置正向思維、逆向思維、發(fā)展思維的樣例，使習(xí)題構(gòu)成樣例集。配置正向思維樣例，要注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律；配置逆向思維的樣例，重在啟發(fā)學(xué)生意識(shí)到正、逆例題間的聯(lián)系，加深對(duì)通法、規(guī)律的理解；配置發(fā)散思維的樣例，可從結(jié)構(gòu)入手，體現(xiàn)思維的概括性[4]。

4.整數(shù)指數(shù)冪習(xí)題課設(shè)計(jì)

4.1 教學(xué)設(shè)計(jì)意圖。整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算為初中階段的基礎(chǔ)運(yùn)算內(nèi)容，我國(guó)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這一部分內(nèi)容的要求是要求學(xué)生能夠了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)[5]。這一部分內(nèi)容十分基礎(chǔ)，但是在運(yùn)算中卻常出現(xiàn)錯(cuò)誤，最常見的錯(cuò)誤在于學(xué)生對(duì)指數(shù)和底數(shù)中的負(fù)號(hào)處理不當(dāng)，“負(fù)號(hào)往往是學(xué)生計(jì)算過程中的‘大坑’”，曾有一線教師向我這樣感嘆道?；诖?，下面試圖從習(xí)題的設(shè)計(jì)入手，以樣例學(xué)習(xí)效應(yīng)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的定義和性質(zhì)進(jìn)行正確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算。

4.2 教學(xué)內(nèi)容分析。學(xué)生進(jìn)行整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算以以下內(nèi)容為基礎(chǔ)：

(2)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

①am·an=am+n(m，n是整數(shù))；

②(am)n=amn(m，n是整數(shù))；

③(ab)n=anbn(m，n是整數(shù))．

在本文中，我們主要討論指數(shù)為負(fù)整數(shù)的情況。對(duì)于負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，底數(shù)為正整數(shù)、指數(shù)為負(fù)整數(shù)的類型與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義最為相似，學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移較為容易。而其它類型的運(yùn)算均增加了負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)這些元素的影響，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算造成阻礙，為避免學(xué)生在這些類型的運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤，參照樣例學(xué)習(xí)效應(yīng)來設(shè)計(jì)樣例，以期提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

4.3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)。教學(xué)按照正確樣例、錯(cuò)誤樣例、逆向思維樣例和發(fā)散思維樣例的順序依次設(shè)計(jì)了一系列關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算題目。通過正確樣例、錯(cuò)誤樣例的疊加設(shè)計(jì)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)定義和性質(zhì)的掌握和運(yùn)用。逆向、發(fā)散思維習(xí)題的設(shè)置能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，并有意增強(qiáng)學(xué)生歸納、推理的能力，培養(yǎng)學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

4.3.1 正例呈現(xiàn)。

問題1：請(qǐng)閱讀以下運(yùn)算過程，并在每一步驟后寫下該步驟所依據(jù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

問題2：請(qǐng)參照問題1的解答步驟，計(jì)算下面兩道題目，同樣在每個(gè)步驟后寫下該步驟依據(jù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

設(shè)計(jì)目的：在負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算中，此處的正確樣例在底數(shù)為正整數(shù)的情況下增加一個(gè)交互元素，題①設(shè)計(jì)底數(shù)為分?jǐn)?shù)，題②設(shè)計(jì)底數(shù)為負(fù)整數(shù)。根據(jù)樣例效應(yīng)，學(xué)習(xí)過具體解題樣例的學(xué)生要比沒有學(xué)習(xí)過而直接解題的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好2。因此將每一步解題步驟均呈現(xiàn)給學(xué)生。這樣可加深學(xué)生對(duì)所學(xué)定義的掌握。在學(xué)習(xí)了這兩種樣例后，設(shè)置與樣例形式相同的兩道題目，根據(jù)指導(dǎo)漸減和變異性效應(yīng)，讓學(xué)生自行作出解答，并增加自我解釋環(huán)節(jié)。在題型上相比樣例作出微小改動(dòng)，將題目②改為指數(shù)為負(fù)奇數(shù)，讓學(xué)生自行練習(xí)，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的掌握和運(yùn)用。

4.3.2 錯(cuò)例呈現(xiàn)。

問題1：請(qǐng)指出下述題目錯(cuò)誤的步驟，并解釋錯(cuò)誤原因。

=-4( )

問題2：以上題目還有其它計(jì)算方法嗎？

問題3：請(qǐng)用兩種方法計(jì)算下題，并在每一步驟后寫下該步驟依據(jù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

設(shè)計(jì)目的：對(duì)于底數(shù)為負(fù)分?jǐn)?shù)的題型，學(xué)生可存在兩種計(jì)算思路，其一為運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，其二為根據(jù)定義進(jìn)行運(yùn)算。在筆者的經(jīng)驗(yàn)中，學(xué)生在運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)忽略底數(shù)中的負(fù)號(hào)的情況，因此設(shè)計(jì)這一錯(cuò)誤表現(xiàn)的錯(cuò)誤樣例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行解釋。在題目2的設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生自行運(yùn)用定義進(jìn)行計(jì)算。而題目3則在前兩題的基礎(chǔ)上，將指數(shù)改為負(fù)奇數(shù)，與指數(shù)為負(fù)偶數(shù)的結(jié)果的正負(fù)性不一樣，學(xué)生加以練習(xí)，更加熟練地掌握底數(shù)為負(fù)分?jǐn)?shù)的題目的運(yùn)算。

4.3.3 逆向思維的樣例。

問題1：哪些數(shù)的-2次方為9？

問題2：哪些數(shù)的-3次方為8？

問題3：存在一些數(shù)的-2次方為負(fù)數(shù)嗎？說明原因。

設(shè)計(jì)目的：此題以上述錯(cuò)誤樣例為基礎(chǔ)，將設(shè)問方式逆向設(shè)置。目的在于加深學(xué)生對(duì)底數(shù)為負(fù)數(shù)情況的規(guī)律的掌握，避免學(xué)生在運(yùn)算中將底數(shù)中的負(fù)號(hào)忽略。同時(shí)題目的層次依此遞進(jìn)，促使學(xué)生從特例入手進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)，有意培養(yǎng)學(xué)生歸納的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

4.3.4 發(fā)散思維的樣例。問題：試總結(jié)當(dāng)x取不同數(shù)值時(shí)代數(shù)式x-2、x-3的正負(fù)性，并由此推廣當(dāng)x、n取不同值時(shí)代數(shù)式x-n(n為正整數(shù))的正負(fù)性，并作出解釋。

設(shè)計(jì)目的：通過發(fā)散性樣例的學(xué)習(xí)，可把表面上看似來源不同實(shí)則同源同構(gòu)的實(shí)質(zhì)吃透，而以變量代換法為基礎(chǔ)的變式是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思想的數(shù)學(xué)表達(dá)3。因此為培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力、開拓學(xué)生思維，題目逐步將底數(shù)與指數(shù)以字母代替，讓學(xué)生判斷底數(shù)取不同值時(shí)指數(shù)冪的正負(fù)性。同時(shí)也為之后學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)涉及到的定義域與值域埋下伏筆。

5.結(jié)束語

良好的教學(xué)設(shè)計(jì)有助于實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)，此文以樣例學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，針對(duì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，以期學(xué)生能夠熟練掌握整數(shù)指數(shù)冪的定義和運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)會(huì)根據(jù)嚴(yán)格的定義和性質(zhì)進(jìn)行規(guī)范的書寫。同時(shí)此種樣例設(shè)計(jì)的方法也可適用于諸如此類的程序性運(yùn)算內(nèi)容，以期學(xué)生能夠?qū)\(yùn)算的基本定義和性質(zhì)的運(yùn)用盡可能掌握熟練。