以“分式方程”為例談初中數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)

郎宏琪

摘? ?要：課堂教學(xué)中，教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體，教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).以“分式方程”的教學(xué)為例，探討初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)法的策略.首先運(yùn)用遷移式指導(dǎo)法，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解分式方程;然后運(yùn)用問題式指導(dǎo)法，指導(dǎo)學(xué)生解分式方程時(shí)檢驗(yàn)的方法.強(qiáng)調(diào)解分式方程必須檢驗(yàn);再運(yùn)用示范式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生規(guī)范解分式方程的解題格式;最后運(yùn)用結(jié)構(gòu)式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生理清增根產(chǎn)生的原因;運(yùn)用矯正式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生走出誤區(qū);運(yùn)用滲透式指導(dǎo)法，提升學(xué)生思維能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);學(xué)法指導(dǎo);分式方程

初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是教師指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過(guò)程.在這過(guò)程中，本著尊重學(xué)生主體地位的原則，教師引導(dǎo)并組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作探究.不斷提升他們的學(xué)習(xí)能力，從而為終生學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

筆者謹(jǐn)以“分式方程”教學(xué)為例，探討對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)的策略.

1? 運(yùn)用遷移式指導(dǎo)法，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解分式方程

數(shù)學(xué)教材的前后知識(shí)間往往存在一定的內(nèi)在聯(lián)系.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地把已有的知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)等遷移到新知識(shí)的學(xué)習(xí)中.

學(xué)習(xí)分式方程之前，學(xué)生接觸到的都是整式方程.教學(xué)分式方程應(yīng)啟發(fā)學(xué)生找出兩種方程之間的異同點(diǎn)，分析討論解分式方程的策略.

運(yùn)用遷移式指導(dǎo)法，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握解分式方程的一般方法.首先解方程2-=;然后借助解該方程，回顧總結(jié)出解含有分母的一元一次方程的一般步驟：（1）去分母，（2）去括號(hào)，（3）移項(xiàng)，（4）合并同類項(xiàng)，（5）系數(shù)化為“1”.最后將解法步驟和經(jīng)驗(yàn)遷移到解分式方程之中.

點(diǎn)撥學(xué)生解分式方程時(shí)，在“去分母”這一步，方程兩邊必須乘“最簡(jiǎn)公分母”.放手讓學(xué)生自主探究解分式方程：（?。?=0，（ⅱ）-=.待學(xué)生解出這兩個(gè)分式方程，教師將部分學(xué)生練習(xí)的情況投映到電子白板上，組織學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià).引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納解分式方程的一般步驟.

2? 運(yùn)用問題式指導(dǎo)法，引導(dǎo)學(xué)生解分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)

教學(xué)過(guò)程講究的是一波未平一波又起，層層推進(jìn).教師是教學(xué)的主導(dǎo)，應(yīng)善于運(yùn)用各種策略引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí).問題和問題串是推進(jìn)教學(xué)過(guò)程的有效手段，運(yùn)用問題式指導(dǎo)法，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究.

“分式方程”教學(xué)中，教師在小結(jié)分式方程的一般解法后，拋出新問題：

（1）什么是方程的解？

（2）x= -4一定是方程-=0的解嗎？你是如何確定的？

通過(guò)這個(gè)問題，將學(xué)生的思維逐步引向分式方程必須檢驗(yàn)這個(gè)解題步驟中.

學(xué)生解答這兩個(gè)問題，一般不會(huì)有什么困難.接著，教師提出一個(gè)新的問題：

解方程：（ⅲ）=-1，并檢驗(yàn).

這個(gè)問題，表面看與之前的問題沒太大區(qū)別，但實(shí)際暗藏殺機(jī)——涉及到增根，學(xué)生解答起來(lái)自然困難——無(wú)從下手.與該分式方程所對(duì)應(yīng)的整式方程的解是x=2，而x=2是無(wú)法代入原方程的.向?qū)W生提出了新的挑戰(zhàn)——怎樣檢驗(yàn).

運(yùn)用問題式指導(dǎo)法指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生明白解分式方程必須檢驗(yàn)，以及檢驗(yàn)的方法.

3? 運(yùn)用示范式指導(dǎo)法，規(guī)范解分式方程的解題格式

解題規(guī)范有助于學(xué)生的解題思維向正確的方向發(fā)展，幫助學(xué)生理清解題步驟;解題規(guī)范有助于學(xué)生進(jìn)行解題后的自我檢查，提高解題正確率.

筆者運(yùn)用示范式指導(dǎo)法指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分式方程，幫助學(xué)生規(guī)范解分式方程的解題格式.

例如，解分式方程：（ⅳ）-=1;

（ⅴ）-=1.

解：（ⅳ）方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：（x+2）2-20=（x+2）（x-2），整理得：x2+4x+4-20=x2-4，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：4x=12，解得：x=3.檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，（x+2）（x-2）=5≠0，∴x=3是原方程的解.

解：（ⅴ）方程兩邊同乘（x+1）（x-1），得：x（x+1）-2=（x+1）（x-1），整理得：x2+x-2=x2-1，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，（x+1）（x-1）=0，∴x=1是增根，原方程無(wú)解.

學(xué)習(xí)解分式方程，“檢驗(yàn)”這一步應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)，使每個(gè)學(xué)生都學(xué)會(huì)檢驗(yàn)，并使“檢驗(yàn)”成為學(xué)生解分式方程的自覺行為.

4? 運(yùn)用結(jié)構(gòu)式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生理清增根產(chǎn)生的原因

學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)，獲取的知識(shí)是零散的.欲想讓學(xué)生自己將“零散”的新知，有效整合到已有的知識(shí)體系中，是比較困難的.教師運(yùn)用結(jié)構(gòu)式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，深入理解知識(shí)的立體結(jié)構(gòu)、完整體系和相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在解分式方程的過(guò)程中，對(duì)于“增根”的產(chǎn)生，不少學(xué)生產(chǎn)生了困惑：為什么在解含有分母的一元一次方程時(shí)，沒有出現(xiàn)增根，而解分式方程時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)增根呢？對(duì)于這一疑惑，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究，使學(xué)生“茅塞頓開”.

解整式方程時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)增根.其原因是：

（1）若整式方程中不含分母，則通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為“1”等步驟解方程，是不可能出現(xiàn)增根的——方程兩邊沒有乘任何代數(shù)式;

（2）若整式方程中含有分母，依據(jù)等式基本性質(zhì)，兩邊乘以分母的最小公倍數(shù)，這個(gè)“最小公倍數(shù)”是一個(gè)具體的數(shù)而不是含有字母的代數(shù)式，解這樣的整式方程也不會(huì)出現(xiàn)增根.

概況起來(lái)說(shuō)，解整式方程不會(huì)出現(xiàn)增根.

解分式方程，由于方程兩邊同時(shí)乘以的是各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母，這個(gè)最簡(jiǎn)公分母必定含有未知數(shù).倘若這個(gè)最簡(jiǎn)公分母為零，則此時(shí)方程兩邊同時(shí)乘以的數(shù)實(shí)際就是零，其結(jié)果當(dāng)然是方程兩邊都為零，這與原分式方程不能構(gòu)成同解方程，故出現(xiàn)了增根的現(xiàn)象.

鑒于此，解分式方程一定要驗(yàn)根，這是區(qū)別于解整式方程的一個(gè)重要步驟.

5? 運(yùn)用矯正式指導(dǎo)法，幫助學(xué)生走出誤區(qū)

解分式方程，學(xué)生有兩個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)：

誤區(qū)一：方程有增根時(shí)，方程就無(wú)解;

誤區(qū)二：分式方程無(wú)解時(shí)，就是該方程有增根.

教師必須明明白白地告知學(xué)生，解分式方程出現(xiàn)增根，并不意味著方程就一定無(wú)解;分式方程無(wú)解，也未必就一定出現(xiàn)增根.可結(jié)合具體例子，解給學(xué)生看.運(yùn)用矯正式指導(dǎo)法，讓學(xué)生走出認(rèn)識(shí)誤區(qū).

例如：解分式方程：（ⅵ）+=1+.

解：方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：（x-2）+4x=（x+2）（x-2）+2（x+2）.整理得：x-2+4x=x2-4+2x+4.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2.檢驗(yàn)：當(dāng)x1=1時(shí)，（x+2）（x-2）=-3≠0，所以x1=1是原方程的根;當(dāng)x2=2時(shí)，（x+2）（x-2）=0，所以x2=2是原方程的增根.因此，原方程的根是x=1.

一個(gè)分式方程化成一元二次方程后，如果有兩個(gè)解，且其中一個(gè)滿足原方程而另一個(gè)不滿足，那么滿足的那個(gè)解就是原分式方程的解，另一個(gè)是原方程的增根，要舍去.

通過(guò)這個(gè)例子，學(xué)生走出了“誤區(qū)一”.

再如： 若關(guān)于x的分式方程=a無(wú)解，求a的值.

解：方程兩邊同乘x+1得：x-a=a（x+1），整理得（1-a）x=2a

∵原分式方程無(wú)解，∴有兩種情況.

①方程（1-a）x=2a無(wú)解，此時(shí)a=1;

②方程（1-a）x=2a有解，但這個(gè)解是分式方程的增根，即x=-1，把x=-1代入（1-a）x=2a，解得a= -1.

綜上所述，a的值為±1.

通過(guò)這個(gè)例子，幫助學(xué)生走出“誤區(qū)二”.

6? 運(yùn)用滲透式指導(dǎo)法，提升學(xué)生思維能力

根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，相機(jī)引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)方法、解決問題的策略滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，潤(rùn)物無(wú)聲.

6.1? 運(yùn)用滲透式指導(dǎo)法，提升學(xué)生的逆向思維能力

逆向思維要求學(xué)生變換角度思考問題.如果學(xué)生能經(jīng)常性地進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，那么他們考慮問題會(huì)更全面、周到.甚至能獨(dú)辟蹊徑解決數(shù)學(xué)難題.學(xué)習(xí)分式方程的解法，由于有時(shí)會(huì)出現(xiàn)增根，借助分析增根產(chǎn)生的原因，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維.

例如： 關(guān)于x的方程=有增根，則增根是______ ，m的值為______.

解決這個(gè)問題，學(xué)生必須理解“增根”的概念以及增根產(chǎn)生的原因.從而加深學(xué)生對(duì)“增根”的理解.

該方程的最簡(jiǎn)公分母是3（x-3），而出現(xiàn)增根是由于對(duì)應(yīng)整式方程的解代入到最簡(jiǎn)公分母中時(shí)，最簡(jiǎn)公分母為零.所以，由3（x-3）=0，解得x=3. 顯然，該方程如果有增根，增根就是x=3.

如何解“m”呢？根據(jù)增根產(chǎn)生的原因——對(duì)應(yīng)整式方程的解，但又不是分式方程的解——此時(shí)分式的最簡(jiǎn)公分母為零.據(jù)此，去解.

解：方程兩邊同乘3（x-3），得3（x-1）=m2，根據(jù)題意，增根x=3是此整式方程的根.將x=3代入3（x-1）=m得：3（3-1）=m2，∴m=±.增根是3，m的值為±.

6.2? 運(yùn)用滲透式指導(dǎo)法，提升學(xué)生思維的慎密性

解含有字母系數(shù)的分式方程，對(duì)于學(xué)生是難點(diǎn)，他們往往忽略檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié).教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把字母系數(shù)當(dāng)作一個(gè)具體的數(shù)字來(lái)用，告訴他們解法與解一般的分式方程相類似.運(yùn)用滲透式指導(dǎo)法，訓(xùn)練學(xué)生思維的縝密性.

例如. 關(guān)于x的分式方程=-2的解是非負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

解：方程兩邊同乘2（x-1），得：2x=3a-4（x-1），解得x=.

∵原方程的解是非負(fù)數(shù)，∴x≥0，即≥0.∴a≥-.

請(qǐng)注意，本題的解到此并沒有結(jié)束，而有些學(xué)生往往就做到此處.他們忘記了解分式方程的一個(gè)最重要的環(huán)節(jié)——檢驗(yàn).數(shù)學(xué)教師必須向?qū)W生講清楚，接下來(lái)還要根據(jù)2（x-1）≠0.繼續(xù)解答.

∵2（x-1）≠0，∴x-1≠0，即≠1，解得a≠.綜合起來(lái)，就是a≥-，且a≠.

解含有字母系數(shù)的分式方程，同樣要求驗(yàn)根，確保分母不為零，分式才有意義.

指導(dǎo)學(xué)生學(xué)法，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的特殊性以及本班學(xué)生的實(shí)際水平、能力，選擇適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)方法，靈活機(jī)動(dòng)，才能取得較為理想的效果.