多普勒效應(yīng)對(duì)微波輸電的影響

陳燁懿,王小保,董國(guó)香

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

微波屬于電磁波,其頻率為300 MHz～3 000 GHz.在使用微波輸能的太空電站設(shè)計(jì)構(gòu)想中，大多采取將其建設(shè)在地球同步軌道的策略[1-2]，這種設(shè)計(jì)方案可以使空間太陽(yáng)能電站與地面接收站保持相對(duì)靜止，從而避免兩者之間因相對(duì)位移而使微波波形因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的影響.但當(dāng)使用微波向航天器進(jìn)行輸電時(shí)，若想使能量輸送具有連續(xù)性，兩者之間將會(huì)產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)，此時(shí)航天器接收到的微波頻率將會(huì)因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生偏移.不同于機(jī)械波，微波存在縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng).關(guān)于縱向多普勒效應(yīng)，1842年克里斯琴·約翰·多普勒提出，在運(yùn)動(dòng)的波源前面，波被壓縮，波長(zhǎng)會(huì)變得較短，頻率會(huì)變得較高；在運(yùn)動(dòng)的波源后面，則會(huì)產(chǎn)生相反的效應(yīng).關(guān)于橫向多普勒效應(yīng)，根據(jù)相對(duì)論可知，在高速運(yùn)動(dòng)的情況下由于存在鐘慢效應(yīng)，在垂直波矢的方向會(huì)產(chǎn)生一種不同于縱向多普勒效應(yīng)的頻移影響.兩種多普勒效應(yīng)的成因不同，因此產(chǎn)生的影響也有一定區(qū)別.文獻(xiàn)[3]～[8]以及其他關(guān)于光波、電磁波多普勒效應(yīng)的研究給出了多種多普勒效應(yīng)頻移公式的推導(dǎo)與結(jié)論，并從波源運(yùn)動(dòng)的角度進(jìn)行了討論.雖然上述文獻(xiàn)在縱向多普勒效應(yīng)的影響上得出的結(jié)論大致相同，但沒(méi)有考慮在高速運(yùn)動(dòng)的情況下相對(duì)論效應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)系中波源角度變化的影響.在橫向多普勒效應(yīng)的影響上，上述文獻(xiàn)得出了多種不同的結(jié)論.綜合考慮縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)后，發(fā)現(xiàn)上述文獻(xiàn)得出的結(jié)論在高速運(yùn)動(dòng)的情況下存在差異或完全相反.

1 微波的多普勒效應(yīng)表達(dá)式

1.1 微波的縱向多普勒效應(yīng)表達(dá)式

(1)

(2)

根據(jù)光速不變性原理，此時(shí)接收器接收到的微波波速仍為c.而隨著接收器的運(yùn)動(dòng)，其接收到的微波波長(zhǎng)將產(chǎn)生變化，此時(shí)接收器接收到的微波波長(zhǎng)為:

(3)

在已知λ′和v0=c的情況下，得到固定在運(yùn)動(dòng)系S′中的接收器所接收到的微波，其在縱向多普勒效應(yīng)影響下的頻率為:

(4)

1.2 微波的橫向多普勒效應(yīng)表達(dá)式

關(guān)于微波的橫向多普勒效應(yīng)，有文獻(xiàn)進(jìn)行了討論，但得出了幾種不同的結(jié)果.文獻(xiàn)[3]～[7]對(duì)橫向多普勒效應(yīng)中關(guān)于藍(lán)移、紅移的結(jié)論并不相同.文獻(xiàn)[3]、[5]得出，在波源運(yùn)動(dòng)接收器靜止與波源靜止接收器運(yùn)動(dòng)兩種情況下，橫向多普勒效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生紅移或藍(lán)移兩種不同的結(jié)果；文獻(xiàn)[6]得出橫向多普勒效應(yīng)只產(chǎn)生藍(lán)移；文獻(xiàn)[4]、[7]得出橫向多普勒效應(yīng)只產(chǎn)生紅移.這說(shuō)明有關(guān)橫向多普勒效應(yīng)的公式推導(dǎo)可能存在問(wèn)題.參考上文中對(duì)微波縱向多普勒效應(yīng)的推導(dǎo)方法與文獻(xiàn)[11]對(duì)橫向多普勒效應(yīng)的研究，下面對(duì)微波的橫向多普勒效應(yīng)表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo).

(5)

(6)

(7)

根據(jù)普遍多普勒效應(yīng)表達(dá)式[3]與上述條件，有:

us=0，θs=0，ud=vb， cosθd=cosβα.

將式(7)與上述條件代入普遍多普勒效應(yīng)表達(dá)式，得：

(8)

式(8)為接收器相對(duì)微波源以va的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，橫向多普勒效應(yīng)對(duì)接收器接收到的微波頻率影響的表達(dá)式.

1.3 微波的多普勒效應(yīng)表達(dá)式

在1.2的計(jì)算中已分別給出了當(dāng)波源靜止而接收器運(yùn)動(dòng)時(shí)微波的縱向多普勒效應(yīng)表達(dá)式(4)和橫向多普勒效應(yīng)表達(dá)式(8).當(dāng)波源靜止而接收器運(yùn)動(dòng)具有一般性時(shí)，在同時(shí)考慮縱向與橫向多普勒效應(yīng)后可進(jìn)一步得到接收器接收到的微波頻率表達(dá)式.

因橫向多普勒效應(yīng)總是使得接收到的頻率小于波源實(shí)際頻率，所以在式(4)縱向多普勒效應(yīng)對(duì)頻率的影響中疊加式(8)橫向多普勒效應(yīng)對(duì)頻率的影響時(shí)，可以將式(4)用式(8)的結(jié)果處理后減去，即可得到接收器在一般運(yùn)動(dòng)中橫向多普勒效應(yīng)對(duì)接收器接收頻率的影響f′：

(9)

式(9)即為當(dāng)波源靜止而接收器運(yùn)動(dòng)具有一般性時(shí)，多普勒效應(yīng)對(duì)接收器接收到的微波頻率影響的表達(dá)式.

1.4 多普勒效應(yīng)對(duì)接收端微波頻率的影響

為更具體地闡述微波無(wú)線輸能中多普勒效應(yīng)帶來(lái)的頻率影響，就要進(jìn)一步控制式(9)中的待定量.微波涵蓋的頻率范圍很廣，300 MHz～3 000 GHz均屬于微波.而在速度的控制上，表征接收器運(yùn)動(dòng)方向的變量θα具有任意性，這為討論一般情況下多普勒效應(yīng)對(duì)微波無(wú)線輸能的影響帶來(lái)了困難.在討論其影響時(shí)，將選取變量θα為0°、30°、45°、60°、90°五種情況來(lái)展示多普勒效應(yīng)對(duì)微波輸電的影響.

將式(9)多普勒效應(yīng)對(duì)微波無(wú)線輸能的影響分為式(4)縱向多普勒效應(yīng)對(duì)頻率的影響和式(8)橫向多普勒效應(yīng)對(duì)頻率的影響.根據(jù)式(1)和式(4)，可得到因縱向多普勒效應(yīng)的影響f0′隨接收器速度變化的關(guān)系，如圖1所示.

圖1 微波源頻率恒為f0時(shí)縱向多普勒效應(yīng)對(duì)的影響Fig.1 The influence of longitudinal Doppler effect on f0′ when the frequency of microwave source is constant to f0

由圖1可以看出，在達(dá)到一定速度后，縱向多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的頻移影響開(kāi)始發(fā)生變化.當(dāng)θα=0°時(shí)，接收器接收到的頻率單調(diào)遞減；當(dāng)θα增加時(shí)，接收器接收到的頻率不再隨速度的增加而單調(diào)變化.這是因?yàn)榻邮掌鬟\(yùn)動(dòng)方向與靜止系中的波矢方向存在夾角，當(dāng)速度到達(dá)一定程度時(shí)，其波行差使得運(yùn)動(dòng)系中接收器相對(duì)波矢k′的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變.當(dāng)接收器沿著波矢k的方向運(yùn)動(dòng)或接收器運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，將呈現(xiàn)紅移或藍(lán)移中的一種(與二者相互接近或遠(yuǎn)離有關(guān))；隨著角度增大，f′0/f0的極值將更早到來(lái).

圖2 微波源頻率恒為f0時(shí)橫向多普勒效應(yīng)對(duì)的影響Fig.2 The influence of transverse Doppler effect on when the frequency of microwave source is constant to f0

由圖2可以看出，當(dāng)波源與接收器相對(duì)遠(yuǎn)離時(shí)，θα=0°時(shí)不存在橫向多普勒效應(yīng).隨著波源與接收器運(yùn)動(dòng)方向夾角的增大，橫向多普勒效應(yīng)帶來(lái)的影響也隨之減小，達(dá)到最大影響時(shí)的速度亦隨之減小.

根據(jù)式(9)的推導(dǎo)方式，綜合考慮微波的縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)，將圖1與圖2合并為圖3.

圖3 微波源頻率恒為f0時(shí)多普勒效應(yīng)對(duì)f′的影響Fig.3 The influence of Doppler effect on f′ when the frequency of microwave source is constant to f0

圖3表示當(dāng)波源頻率f0為恒定常量時(shí)，接收器收到的微波頻率f′與接收器速度va的關(guān)系.由圖3可知，此時(shí)頻率、速度、角度三者之間的關(guān)系在趨勢(shì)上與圖1大致相同.

根據(jù)圖3和式(9)可得，當(dāng)接收器遠(yuǎn)離波源時(shí)，接收器收到的微波頻率小于微波源的發(fā)射頻率，若接收到的微波頻率處于整流電路中二極管的工作頻率范圍內(nèi)，接收到的微波經(jīng)過(guò)整流電路后輸出的等效電壓降低；當(dāng)接收器接近波源時(shí)，接收器收到的微波頻率大于微波源的發(fā)射頻率，若接收到的微波頻率仍處于整流電路中二極管的工作頻率范圍內(nèi)，接收到的微波經(jīng)過(guò)整流電路后輸出的等效電壓升高.

以θα=π/6為例，當(dāng)接收器遠(yuǎn)離微波源時(shí)，速度va達(dá)到約300 000 m/s，接收器接收到的微波頻率會(huì)產(chǎn)生約1‰的偏移；當(dāng)接收器接近微波源時(shí)，接收到的微波頻率達(dá)到約1‰的偏移，此時(shí)va將略高于接收器遠(yuǎn)離微波源時(shí)的va.需要注意的是，由于微波本身具有較高的頻率，即使根據(jù)當(dāng)前大部分實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中采取的f0=2.45 GHz[13]，1‰的頻率偏移也將達(dá)到2.45 MHz.

從圖3和式(9)可以看出，當(dāng)vacosθα的絕對(duì)值相同時(shí)，在高速運(yùn)動(dòng)的情況下多普勒效應(yīng)對(duì)遠(yuǎn)離微波源的接收器接收到的微波產(chǎn)生的影響明顯大于接近微波源的接收器接收到的微波.

2 發(fā)射端的微波頻率修正

微波頻率的變化對(duì)接收端整流器的工作也會(huì)產(chǎn)生一定影響，考慮到微波本身具有較高的頻率，即使接收器做低速運(yùn)動(dòng)，也能產(chǎn)生一定的頻率偏差，這對(duì)二極管與負(fù)載提出了更高的要求.當(dāng)接收器可以實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收到的微波因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的頻率變化可能將難以通過(guò)整流電路與負(fù)載的設(shè)計(jì)冗余來(lái)消除，這對(duì)運(yùn)動(dòng)路徑相對(duì)固定或可預(yù)測(cè)的接收端來(lái)說(shuō)，從波源端進(jìn)行修正也將是一種可行的辦法.

式(9)表示的是一個(gè)波源恒為f0的情況，若要使接收器接收到的微波頻率f′恒定，可將f′作為常量、va與θα作為自變量、f0作為因變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，則

(10)

式(10)即為當(dāng)接收器所接收到的微波頻率f′恒定時(shí)，微波發(fā)射端發(fā)射頻率的表達(dá)式.

圖4表示當(dāng)接收器收到的微波頻率恒定時(shí)，θα、va與f0三者之間的關(guān)系除不存在橫向多普勒效應(yīng)的θα=0°外，其他圖線的極小值隨角度的增加而增大，對(duì)應(yīng)的速度隨角度的增加而減小.

圖4 微波源發(fā)射頻率隨接收器速度的修正Fig.4 Correction of transmitting frequency of microwave source with receiver speed

3 結(jié) 論

本文綜合考慮微波的縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)，得出了在微波輸電中因接收器的運(yùn)動(dòng)使接收到的微波頻率因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生偏移的表達(dá)式，其結(jié)果可由式(9)表示.其中，縱向多普勒效應(yīng)會(huì)使接收器接收到的微波頻率隨著接收器的遠(yuǎn)離而減小(紅移)，隨著接收器的遠(yuǎn)離而增大(藍(lán)移).但根據(jù)圖像還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)接收器的速度增加到一定程度時(shí)，縱向多普勒效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生相反的效果.而橫向多普勒效應(yīng)總是使接收器接收到的微波頻率減小(紅移).在特殊條件θα=π/6下，當(dāng)接收器遠(yuǎn)離微波源時(shí)，接收器速度va達(dá)到約300 000 m/s，接收器接收到的微波頻率會(huì)產(chǎn)生約1‰偏移；當(dāng)接收器接近微波源時(shí)，接收到的微波頻率要達(dá)到約1‰的偏移，接收器速度va將高于接收器遠(yuǎn)離微波源時(shí)的va；當(dāng)接收器的運(yùn)動(dòng)接近光速時(shí)，接收到的微波頻率偏移將快速減小并向反向偏移.為使接收器所接收到的微波頻率恒定，可以通過(guò)改變微波源的發(fā)射頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)，其發(fā)射頻率與接收器運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系可由式(10)表示.