切比雪夫多項(xiàng)式的極性在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

趙云云,王勇強(qiáng)

(1.湖州市第一中學(xué),浙江 湖州 313000；2.湖州市教育科學(xué)研究中心,浙江 湖州 313000)

0 引 言

積分的思想最早源于公元前200多年，希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用積分的思想求出了球的體積公式.17世紀(jì)，開普勒、牛頓、萊布尼茲等著名數(shù)學(xué)家共同創(chuàng)立了初步的積分學(xué).19世紀(jì)后，以柯西、威爾斯特拉斯等為代表的數(shù)學(xué)家對積分理論進(jìn)行了深入探究，使積分學(xué)有了更堅(jiān)實(shí)的極限理論基礎(chǔ).積分的出現(xiàn)不僅影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展，還在很大程度上推動了物理、化學(xué)、生物、天文、工程、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的發(fā)展，積分的應(yīng)用也越來越廣泛.為拓展中學(xué)生的知識面，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，高中《數(shù)學(xué)》的選修內(nèi)容(2-2)引入積分學(xué)知識，介紹了定積分的概念和經(jīng)典計(jì)算公式——牛頓-萊布尼茲公式[1].

但在實(shí)際計(jì)算中，常有學(xué)生反饋以下情形不能用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分：①僅僅利用普通的方法很難求得被積函數(shù)的原函數(shù)；②被積函數(shù)的原函數(shù)不是簡單常見的初等函數(shù)；③被積函數(shù)沒有適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表示形式，其函數(shù)關(guān)系是通過圖表的形式給出的.因此，作為教學(xué)補(bǔ)充，建立有效的數(shù)值方法來計(jì)算定積分是非常必要的.

關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式和數(shù)值積分方法的相關(guān)研究已較深入和廣泛.文獻(xiàn)[2]給出了切比雪夫多項(xiàng)式的定義、性質(zhì)及相關(guān)應(yīng)用；肖筱南利用插值多項(xiàng)式構(gòu)造了各類插值型求積公式及其截?cái)嗾`差和代數(shù)精度[3]；呂書龍等研究了與切比雪夫多項(xiàng)式類似的Legendre多項(xiàng)式，以及Legendre多項(xiàng)式n個(gè)零點(diǎn)的計(jì)算和求積系數(shù)的求解，使得Gauss型求積公式能夠更加簡便地應(yīng)用，也使利用Legendre-Gauss型公式計(jì)算所得的積分值與真實(shí)值的誤差得到了很好的控制[4]；肖蒙等介紹了切比雪夫多項(xiàng)式的定義和性質(zhì)及其在多項(xiàng)式插值中算法的實(shí)現(xiàn)[5]；向瑩將切比雪夫多項(xiàng)式及第二類切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)垂直映射到了單位圓周上[6]；楊平霞等介紹了一類復(fù)合插值型求積公式的構(gòu)造方法[7]；王偉等研究階數(shù)不變的插值型求積公式的代數(shù)精度可以取到的值，并給出了選取對應(yīng)求積節(jié)點(diǎn)的具體方法[8]；徐曉芳等基于切比雪夫正交多項(xiàng)式零點(diǎn)插值誤差的極小化性質(zhì),提出了非線性方程求根的一種新方法[9].但目前鮮少見文獻(xiàn)探討切比雪夫多項(xiàng)式的極性與數(shù)值積分方法的有效結(jié)合.本文主要研究切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)在數(shù)值積分中的應(yīng)用，探討如何利用切比雪夫多項(xiàng)式的極性建立數(shù)值積分公式，使誤差達(dá)到極小化.

符號說明：文中Ln表示以[a,b]上的n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)計(jì)算所得的積分值；In表示以[a,b]上的n+1個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)計(jì)算所得的積分值；A(f(x))表示被積函數(shù)f(x)在[a,b]上積分所得的精確值；E(Ln)表示以[a,b]上的n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)計(jì)算所得的積分值與精確值的誤差絕對值；E(In)表示以[a,b]上的n+1個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)計(jì)算所得的積分值與精確值的誤差絕對值;QNI表示采用普通插值型求積公式求解積分時(shí)，以切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的積分方法；CQNI表示采用復(fù)化求積公式求解積分時(shí)，以切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的積分方法.

1 預(yù)備知識

定義1[2]稱多項(xiàng)式

Tn(x)=cos(narccosx)(-1≤x≤1,n=0,1,2,…)

為n次的切比雪夫多項(xiàng)式(第一類).

性質(zhì)2(遞推關(guān)系)[2]相鄰的三個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式具有三項(xiàng)遞推關(guān)系式：

性質(zhì)3[2]Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個(gè)不同的零點(diǎn)：

顯然，Tn(x)在其中的零點(diǎn)都是實(shí)的、互異的，且全部在[-1,1]內(nèi).

性質(zhì)4[2]Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n+1個(gè)不同的極值點(diǎn):

定義2[3]假設(shè)區(qū)間[a,b]上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為：

(1)

稱為插值型求積公式.

若在每個(gè)小區(qū)間[xt-1,xt]上應(yīng)用式(1)，則

(2)

稱為復(fù)化求積公式.

2 切比雪夫多項(xiàng)式的極性與數(shù)值求積

定理1稱為切比雪夫多項(xiàng)式的極性，這種極性也是切比雪夫多項(xiàng)式的重要性質(zhì).

下面借助切比雪夫多項(xiàng)式的極性建立可使偏差極小化的數(shù)值求積公式.

定理2[3]設(shè)x0,x1,…,xn是區(qū)間[-1,1]上的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，函數(shù)f(x)在[-1,1]上具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(n+1)(x)，在對f(x)用插值型求積公式(1)求積分時(shí)，截?cái)嗾`差的表達(dá)式為:

3 數(shù)值算法與數(shù)值實(shí)驗(yàn)

根據(jù)第二節(jié)的研究結(jié)果，建立如下求積算法：

(a)輸入定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)；

(c)將n+1個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為函數(shù)f(x)的插值節(jié)點(diǎn)，利用求積公式(1)或復(fù)化求積公式(2)求解,得出f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分值.

表1 QNI法和等距節(jié)點(diǎn)插值型積分公式的精度比較f(x)=ex、A(ex)=e-1

表2 QNI法和等距節(jié)點(diǎn)插值型積分公式的精度比較f(x)=cos(x)、A(cosx)=sin(1)

表3 QNI法和等距節(jié)點(diǎn)插值型積分公式的精度比較

例2利用復(fù)化求積公式，分別用CQNI法和等距節(jié)點(diǎn)插值型積分公式比較例1中3個(gè)積分值的精度.

表4 CQNI法和復(fù)化等距節(jié)點(diǎn)插值積分公式的精度比較f(x)=ex、A(ex)=e-1

表5 CQNI法和復(fù)化等距節(jié)點(diǎn)插值積分公式的精度比較f(x)=cos(x)、A(cosx)=sin(1)

表6 CQNI法和復(fù)化等距節(jié)點(diǎn)插值積分公式的精度比較

綜合例1和例2可知，無論是用插值求積公式還是復(fù)化求積公式，用QNI法或CQNI法計(jì)算所得的結(jié)果都更為精確，且利用復(fù)化求積公式求出的結(jié)果比插值型求積公式效果更好.

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式的極性，將切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值節(jié)點(diǎn)，將相應(yīng)的拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)作為f(x)的近似函數(shù)，推導(dǎo)出插值型求積公式.該算法可使插值型求積公式的截?cái)嗾`差達(dá)到最小，并在此基礎(chǔ)上得到復(fù)化求積公式.數(shù)值算例也證明了所建算法的有效性和優(yōu)越性.