坐標(biāo)學(xué)習(xí)與教材初探

邵秋晨

坐標(biāo)是近代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)核心課程內(nèi)容之一，直接關(guān)系到我國數(shù)學(xué)課程的發(fā)展與完善，對于數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中有關(guān)坐標(biāo)所接觸的內(nèi)容及其重要性值得深入探究。坐標(biāo)是解析幾何的基本概念，且涉及內(nèi)容廣泛、綜合性強(qiáng)，需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程去逐步理解和掌握，因此，教材在呈現(xiàn)該內(nèi)容時采用了螺旋式編排，分階段逐漸深化。依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)及教材內(nèi)容，可以將坐標(biāo)內(nèi)容的學(xué)習(xí)分成三個階段：經(jīng)驗性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解。

一、第一階段：經(jīng)驗性理解（小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在這一階段的相關(guān)要求如下表所示：

處在第一第二學(xué)段的學(xué)生認(rèn)知水平有限，還未能夠正式學(xué)習(xí)坐標(biāo)內(nèi)容，需要先培養(yǎng)空間觀念，從他們熟悉的日常生活中選取素材，如表述具體情境中物體的位置時，充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，上升為用數(shù)學(xué)的方法來進(jìn)行。同時將數(shù)學(xué)思想滲透在教材內(nèi)容中，讓學(xué)生從數(shù)的角度認(rèn)識并描述物體的位置，體會數(shù)形結(jié)合思想，這也正是使坐標(biāo)成為連接代數(shù)和幾何問題橋梁的核心思想之一，讓學(xué)生在探索、交流等活動中建立關(guān)于數(shù)對的概念，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【案例1】人教版一年級上冊第二章：位置

教材提供了一張江上大橋圖，要求學(xué)生通過觀察各交通工具的位置關(guān)系來認(rèn)識前后上下方位詞的含義。通過“做一做”活動，讓學(xué)生將文具按上下關(guān)系擺放，動手操作加深對上下關(guān)系的認(rèn)識。選取課堂上師生共同認(rèn)識左右的場景幫助學(xué)生初步熟悉左右關(guān)系，安排“做一做，使學(xué)生通過做動作來辨別有關(guān)自己其他的左右部位，在通過學(xué)生表述其他同學(xué)的位置加深學(xué)生對相對位置的理解。

分析：本章是學(xué)生學(xué)習(xí)坐標(biāo)、接觸“圖形與知識”的起始課，學(xué)生對于位置關(guān)系已經(jīng)有了一定的生活經(jīng)驗，但認(rèn)識還不成熟，所以通過與日常生活經(jīng)驗密切相關(guān)的活動，用直觀的方式明晰物體相對位置的概念。雖然此部分并未明確給出坐標(biāo)的概念，但通過以上經(jīng)驗性理解，學(xué)生的空間觀念已經(jīng)得到了培養(yǎng)，為今后坐標(biāo)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

二、第二階段：形式化理解（初中）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在這一階段對應(yīng)為第三學(xué)段（7-9年級）相關(guān)要求如下：

課程目標(biāo)為探索并理解平面直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用。

第一部分“坐標(biāo)與圖形位置”：（1）結(jié)合實(shí)例用有序數(shù)對可以表示物體的位置;（2）理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，能畫出直角坐標(biāo)系;在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo);（3）在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置;（4）對給定的正方形，會選擇合適的直角坐標(biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，體會可以用坐標(biāo)刻畫一個簡單圖形。

第二部分“坐標(biāo)與圖形運(yùn)動”：（1）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形的對稱圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。（2）能寫出一個已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。（3）探索并了解將一個多邊形依次沿兩個坐標(biāo)軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān)系，體會圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)變化。

初中階段，學(xué)生進(jìn)入到形式化理解階段，在這個階段，應(yīng)該使學(xué)生接觸一般坐標(biāo)理念，接觸與坐標(biāo)有關(guān)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。初中要使學(xué)生感受“有序數(shù)對”與“點(diǎn)的位置”、“數(shù)量關(guān)系”與“圖形位置關(guān)系”的內(nèi)在聯(lián)系，所以安排了平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念、以及坐標(biāo)在地理位置、圖形平移方面的應(yīng)用。同時“能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置”，也蘊(yùn)涵極坐標(biāo)的思想，為今后的深入學(xué)習(xí)應(yīng)用提前普及必要學(xué)科知識。通過使學(xué)生盡早接觸到平面直角坐標(biāo)系這個數(shù)學(xué)工具，架起代數(shù)與幾何問題的橋梁，進(jìn)一步體會坐標(biāo)思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想，同時在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展邏輯思維、抽象能力。

【案例2】人教版七年級下冊第七章 平面直角坐標(biāo)系

教材首先通過電影院座位和教室座位的實(shí)際問題介紹“有序數(shù)對”，并再結(jié)合數(shù)軸，嘗試用有序數(shù)對表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置，引出平面直角坐標(biāo)系的概念，介紹了橫軸、縱軸、坐標(biāo)等相關(guān)概念，并建立點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系。接下來設(shè)置了一個拓展閱讀，讓學(xué)生了解在地圖上通過經(jīng)緯度可以確定地理位置，從中得到啟發(fā)，學(xué)習(xí)建立坐標(biāo)系。

在初步了解坐標(biāo)可以確定一個地點(diǎn)的地理位置之后，第二節(jié)介紹了對于坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用，主要從“地理位置”和“平移變換”兩方面進(jìn)行敘述。在編排這部分內(nèi)容時，首先設(shè)置了一個探究活動，借此歸納出“可以建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示位置”的結(jié)論，并指出還可以通過方向和距離來表示平面內(nèi)物體的位置;坐標(biāo)還可以表示平移，教科書通過一個研究活動，討論將點(diǎn)進(jìn)行平移時坐標(biāo)的變化規(guī)律，再給出關(guān)于圖形平移引起圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)變化的探究題。接下去教科書討論了對三角形、平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行加減所引起的相應(yīng)的變化，并發(fā)現(xiàn)將圖形的全部頂點(diǎn)都進(jìn)行同一變化時，圖形只是發(fā)生了整體的平移，新圖形和原圖形的大小形狀完全相同。

分析：平面直角坐標(biāo)系是以數(shù)軸為基礎(chǔ)的，本章突出了二者的聯(lián)系，以數(shù)軸為出發(fā)點(diǎn)引入平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念;坐標(biāo)系是數(shù)與形之間的橋梁，本章展示了平面直角坐標(biāo)系建立的全過程，且用坐標(biāo)的方法研究平移，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，用坐標(biāo)在確定地理位置上的應(yīng)用展現(xiàn)了坐標(biāo)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價值;本章從確定位置出發(fā)引出坐標(biāo)概念，再介紹建立坐標(biāo)系的方法，最后利用坐標(biāo)系解決確定地理位置的問題，從實(shí)際問題逐步抽象出數(shù)學(xué)問題，再去解決實(shí)際問題，問題情境—問題串—數(shù)學(xué)活動—思考與整理—明晰，是典型的新知學(xué)習(xí)體例3，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

三、第三階段：結(jié)構(gòu)化理解（高中）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在這一階段的相關(guān)要求如下：

必修課程對應(yīng)內(nèi)容“向量基本定理坐標(biāo)表示”要求：（1）借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示;（2）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算;（3）能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角;（4）能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件。

選擇性必修課程共涵蓋四部分坐標(biāo)相關(guān)內(nèi)容，第一部分“空間直角坐標(biāo)系”要求：（1）在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置;（2）借助特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式。

第二部分“向量基本定理及坐標(biāo)表示”要求：（1）了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示;（3）掌握空間向量的數(shù)量及其坐標(biāo)表示。第三、第四部分為直線與方程，以及圓與方程，均要求掌握在平面直角坐標(biāo)系中對應(yīng)圖形的方程表示。

高中階段，學(xué)生處在結(jié)構(gòu)化理解階段，且高中數(shù)學(xué)銜接了初中基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識和大學(xué)高等數(shù)學(xué)理論，在知識層面屬于承上啟下的過渡階段4。坐標(biāo)作為解析幾何的核心思想之一，幾乎滲透了所有高中解析幾何知識的教學(xué)。所以這部分的學(xué)習(xí)不僅要將坐標(biāo)系從二維到三維過渡，還需要研究坐標(biāo)與其他學(xué)科內(nèi)容的聯(lián)系，進(jìn)行知識的總結(jié)、概括、融合應(yīng)用。在高中要掌握各曲線與向量的坐標(biāo)表示，借此深入對位置關(guān)系的研究。從知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，展現(xiàn)坐標(biāo)的應(yīng)用價值，增進(jìn)學(xué)生對于坐標(biāo)的理解，拓展學(xué)生的思維空間。

【案例3】人教版A版必修2第六章第三節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第三節(jié)第一部分引入了平面向量基本定理及相關(guān)概念，第二部分在此基礎(chǔ)上介紹了平面向量相關(guān)的坐標(biāo)表示，分為正交分解、加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算三塊。以坐標(biāo)為工具研究向量，為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形的問題搭起了橋梁5。

分析：通過將向量的運(yùn)算向數(shù)的運(yùn)算類比、向量法與坐標(biāo)法的類比，建立了學(xué)科知識之間的思想聯(lián)系，突出了坐標(biāo)在解析幾何知識領(lǐng)域的基礎(chǔ)性，加強(qiáng)了以坐標(biāo)為研究工具的實(shí)際應(yīng)用價值。

四、總結(jié)

對于坐標(biāo)思想的學(xué)習(xí)貫穿了我們整個學(xué)習(xí)的過程。在小學(xué)通過“找位置”對相對位置的概念有了接觸。初中通過對“有序數(shù)對”與“點(diǎn)的位置”二者內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)，初步掌握了坐標(biāo)的基本概念，并延伸出了對“數(shù)量關(guān)系”與“圖形位置”的討論，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法。在高中的解析幾何教學(xué)中，都滲透著數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)的思想方法6。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。”7作為在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中占有絕對地位的坐標(biāo)思想在社會需要，數(shù)學(xué)學(xué)科目的，以及學(xué)生認(rèn)知這三方面有著極其重要的價值。

從社會需要來看，坐標(biāo)思想綜合性強(qiáng)，涉及知識領(lǐng)域廣，幾乎滲透所有解析幾何內(nèi)容，是未來工作所需知識不可或缺的一部分。

從數(shù)學(xué)學(xué)科目的來看，通過對坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能掌握坐標(biāo)相關(guān)的基本概念、運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，為后續(xù)解析幾何的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，還能體會從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力，體會數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價值，提高應(yīng)用意識和實(shí)踐能力，進(jìn)而提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象思想。

從學(xué)生認(rèn)知來看，根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論，中學(xué)生正處在抽象思維培養(yǎng)的關(guān)鍵期，學(xué)習(xí)坐標(biāo)系是很大的幫助，符合學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。坐標(biāo)思想中所蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合、“相對與絕對”等思想有利于培養(yǎng)學(xué)生辯證邏輯，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，感受數(shù)學(xué)的邏輯之美。

所以在課程內(nèi)容方面，我們不僅要掌握坐標(biāo)的基本概念，還要能將坐標(biāo)與圖形位置、運(yùn)動相結(jié)合，熟悉各幾何圖形的坐標(biāo)表示;學(xué)會根據(jù)不同的情況建立合適的坐標(biāo)系，并選用不同的曲線方程形式來解決實(shí)際問題;要借助代數(shù)語言清晰描述幾何特征和問題，用代數(shù)的方法研究曲線之間的關(guān)系，從代數(shù)和幾何兩方面加深對于解析幾何、數(shù)形結(jié)合思想的理解。

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南京師范大學(xué)