回歸分析在全國卷解答題中的命題分析

安徽省安慶市懷寧縣教育教學(xué)研究室 丁小衛(wèi) (郵編：246121)

在中學(xué)數(shù)學(xué)當中，提到兩個變量之間的關(guān)系，首先想到的就是函數(shù)關(guān)系，事實上，函數(shù)關(guān)系是從現(xiàn)實世界中高度抽象出來的一種變量間關(guān)系，其實現(xiàn)實世界中大量存在的是相關(guān)關(guān)系：兩個變量之間有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，即密切程度又達不到函數(shù)關(guān)系表達的那樣唯一確定.回歸分析就是研究兩個隨機變量的相關(guān)關(guān)系的重要方法.

近幾年，在全國高考數(shù)學(xué)卷中，作為統(tǒng)計學(xué)中的一種重要的分析方法，回歸分析在解答題部分屢次出現(xiàn).這類試題一般都是以當下生活實際與社會經(jīng)濟中的熱點問題為背景命制，重點考查考生對基礎(chǔ)知識、基本概念的理解與應(yīng)用，有利于激發(fā)考生的解題激情，所以命題的價值非常大.

1 命題統(tǒng)計

1.1 課標要求

課程標準是教材編寫與考試命題的重要依據(jù)，自從2019年最后一版《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》發(fā)布后，全國的高考就進入了“無考綱”時代，高考試題就全部以《中國高考評價體系》為指導(dǎo)、以各學(xué)科的課程標準為依據(jù)來命制了.以下列舉了新舊課程標準中對“回歸分析”這一部分內(nèi)容的具體要求.

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗版)》中，提出變量的相關(guān)性的兩點要求：

(1)通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系.

(2)經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程，知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程.

在《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理科)》(2019年版)中，提出對“回歸分析”的具體要求：了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》中，對這一部分內(nèi)容提出的要求更具體詳細：

(1)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

①結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

②結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

(2)一元線性回歸模型

①結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件.

②針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測.

1.2 2016—2022年考題統(tǒng)計

2016年全國Ⅲ卷理科第18題，以生活垃圾無害化處理問題為背景，編制了一個處理變量y(年生活垃圾無害化處理量)與t(年份代碼)之間相互關(guān)系、建立回歸模型的問題.第一問要求考生根據(jù)折線圖中給出的t的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)以及參考公式，計算出y與t的相關(guān)系數(shù).第二問要求考生根據(jù)折線圖中給出的t的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)以及參考公式，計算得出回歸方程中系數(shù)的最小二乘估計，得到線性回歸方程，并利用該方程預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化的處理量.

2017年全國Ⅰ卷文科第19題，以零件生產(chǎn)過程的監(jiān)控問題為背景，編制了一個判斷變量x(抽取的零件尺寸)與i(抽取的次序)之間相互關(guān)系、估計總體生產(chǎn)情況的問題.第一問要求考生根據(jù)表格中給出的x的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)以及參考公式，計算出x與t的相關(guān)系數(shù)，并對生產(chǎn)過程中零件尺寸的變化進行判斷.第二問要求考生根據(jù)表格中給出的x的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)，找出并剔除異常值，再求出剩余樣本數(shù)據(jù)的均值與標準差，從而估計生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.

2018年全國Ⅱ卷文理科第18題，以環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資問題為背景，編制了一個處理變量y(投資額)與t(年份代碼)之間相互關(guān)系、回歸模型應(yīng)用的問題.第一問要求考生根據(jù)給出的兩個線性回歸模型，求出2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值.第二問要求考生根據(jù)題中給出的折線圖，結(jié)合第一問求出的預(yù)測值，分析兩個模型中哪一種更可靠.

2020年全國Ⅱ卷文理科第18題，以沙漠生態(tài)治理問題為背景，編制了一個處理變量y(某種野生動物數(shù)量)與x(植被覆蓋面積)之間的相互關(guān)系、抽樣方式選擇的問題.第一問要求考生根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得20個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)，乘以地塊數(shù)200估計出該地區(qū)野生動物數(shù)量.第二問要求考生根據(jù)已知數(shù)據(jù)以及參考公式，計算出y與x的相關(guān)系數(shù).第三問要求考生根據(jù)題目已知信息，結(jié)合統(tǒng)計的相關(guān)知識，選擇合理的抽樣方法.

2022年全國乙卷文理科第19題，以荒山環(huán)境治理問題為背景，編制了一個處理變量y(某種樹木的材積量)與x(樹木的根部橫截面積)之間相互關(guān)系的問題.第一問要求考生根據(jù)表格中的已知數(shù)據(jù)求出樹木的根部橫截面積與材積量的平均值.第二問要求考生根據(jù)表格中給出的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)以及參考公式，計算出y與x的相關(guān)系數(shù)。第三問要求考生根據(jù)已知的樹木根部橫截面積與材積量的關(guān)系，以及表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)，計算出林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

2 命題特點

2.1 注重基礎(chǔ)考查，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用

此類試題設(shè)計的實際背景源于考生熟悉的社會生活，沒有非常抽象的數(shù)學(xué)理論，具有時代氣息，考生有很好的感性認識.試題重點考查了學(xué)生對材料信息的提煉與處理能力，以及對基礎(chǔ)知識、基本概念與公式的理解與應(yīng)用，難度不大，在試卷的解答題部分位置靠前，有利于穩(wěn)定考生在考場上的情緒和心態(tài).此類試題是對學(xué)生實際應(yīng)用能力的綜合考查，強化了考生分析問題、解決問題意識的培養(yǎng)，有利于考生深入理解數(shù)學(xué)的價值，也有利于考生進一步理解數(shù)學(xué)知識在社會生活中的應(yīng)用.

2.2 注重能力立意，關(guān)注素養(yǎng)發(fā)展

由以上統(tǒng)計不難發(fā)現(xiàn)，這些題目大多涉及利用已知數(shù)據(jù)及參考公式進行相關(guān)計算，求回歸方程或兩個變量的相關(guān)系數(shù)，重點考查了學(xué)生的閱讀理解能力與基本運算能力.解題時要注意兩點：一方面考生要能將文字語言正確地翻譯成數(shù)學(xué)語言(閱讀理解能力)，并通過數(shù)據(jù)分析建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；另一方面考生還要準確理解參考公式里面的符號含義，并能對公式進行必要的變形(過程如下所示)，以便直接利用相關(guān)的參考數(shù)據(jù)，參考數(shù)據(jù)一般都是對原始數(shù)據(jù)進行了一些復(fù)雜的計算處理，如果不對公式進行變形，而直接代入原始數(shù)據(jù)計算將會非常復(fù)雜(有時題目中只給參考數(shù)據(jù)，未出現(xiàn)原始數(shù)據(jù)).

可以看出，這類問題對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)要求比較高，這也體現(xiàn)了高考命題的一種趨勢，也同《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》中“增加代數(shù)推理”的要求是相一致的.所以此類試題的設(shè)計，有助于發(fā)展考生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

3 教學(xué)啟示

3.1 立足情境創(chuàng)設(shè)，突出問題意識

在課改的多年實踐中，情境創(chuàng)設(shè)是教學(xué)改革的熱點，也成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本模式.教師通過創(chuàng)設(shè)與教學(xué)目標相關(guān)聯(lián)的、處于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，包括現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的認知沖突與思維波動，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，激發(fā)學(xué)生問題探究與問題解決的意識.這種基于問題導(dǎo)向的情境設(shè)計，為學(xué)生搭建了“自主探究、自主提問、自主解決”的平臺，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析并解決問題的完整過程，能夠有效地引導(dǎo)他們了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生背景與發(fā)展脈絡(luò)，體驗數(shù)學(xué)與經(jīng)濟、科技和現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實，從而更深切地感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和工具性.

3.2 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，強化概念教學(xué)

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要組成部分，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的有力工具，是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維與科學(xué)精神的重要途徑，是認識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)以及教好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

概念教學(xué)一般包括引入、理解與運用三個階段.在實際課堂教學(xué)中，許多教師不太重視前兩個階段，對數(shù)學(xué)概念的形成過程一帶而過，直接給出概念的定義與幾點注意事項，習(xí)慣把教學(xué)重點放在概念的應(yīng)用上.實際上，數(shù)學(xué)概念的形成是一個由豐富的感性認識上升到深刻的理性認識的過程，里面蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.教師不能弱化了這個環(huán)節(jié)，一定要講清概念的來龍去脈，不能僅僅用例題應(yīng)用去強化概念.教師在概念教學(xué)中要回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，積極引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的教學(xué)情境進行深入分析，自主抽象概括出數(shù)學(xué)概念，同時讓學(xué)生嘗試用符號、圖形等不同形式的數(shù)學(xué)語言進行表述，準確地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延、本質(zhì)，最后再進行數(shù)學(xué)概念的鞏固應(yīng)用.只有經(jīng)歷了這樣的生成過程，學(xué)生才能將零散的知識點聯(lián)系到一起，真正地理解數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題.