三角函數(shù)最值問題研究

梁觀帝

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)科的抽象性，對(duì)學(xué)生的教學(xué)存在著極大的難度。在高考中，數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)非常重要，在總成績(jī)上不容輕視。高考中的數(shù)學(xué)題目，選擇題、填空題以及解答大題之中都會(huì)出現(xiàn)與三角函數(shù)相關(guān)的問題，在卷面分中占了很大一部分的分值。三角函數(shù)的最值求解是一個(gè)非常重要的知識(shí)內(nèi)容，高中生必須對(duì)該知識(shí)熟記于心，并能夠靈活運(yùn)用。本文將如何計(jì)算三角函數(shù)最值問題進(jìn)行分析討論，并對(duì)其進(jìn)行歸納整理，幫助學(xué)生更好地掌握三角函數(shù)最值問題。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);最值;高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的思維邏輯具有一定的要求，需要學(xué)生具有良好的邏輯思維能力。數(shù)學(xué)對(duì)于人的邏輯思維和問題意識(shí)的形成以及以后的學(xué)習(xí)生活都有著巨大的影響。特別是三角函數(shù)，它是高中數(shù)學(xué)所學(xué)幾大函數(shù)之中最重要的一個(gè)函數(shù)，而三角函數(shù)的最值問題更是三角函數(shù)中的重難點(diǎn)。所以，三角函數(shù)的解題過程中，需要一定的技巧，適當(dāng)?shù)卣莆找欢ǖ臄?shù)學(xué)解題技巧，就能夠更快地處理數(shù)學(xué)問題。

一、高中三角函數(shù)最值問題的特點(diǎn)

根據(jù)函數(shù)名稱，可以知道三角函數(shù)是與角度有關(guān)的函數(shù)問題。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，要首先學(xué)習(xí)一些比較易于學(xué)生接受的三角函數(shù)，比如余弦函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等較為簡(jiǎn)單的單一三角函數(shù)。在學(xué)生了解接受單一的三角函數(shù)后，教師要加大難度，將不同類型的三角函數(shù)融為一體，但在本質(zhì)上它們?nèi)匀皇侨呛瘮?shù)。因此，只有當(dāng)學(xué)生牢牢記住三角函數(shù)的相關(guān)概念及知識(shí)點(diǎn)，將其理解融會(huì)貫通，對(duì)于在試卷上出現(xiàn)的一系列三角函數(shù)的最值計(jì)算問題都能夠迎刃而解，取到自己理想的數(shù)學(xué)成績(jī)。三角函數(shù)運(yùn)算是重要的一種數(shù)學(xué)綜合運(yùn)算，三角函數(shù)最值問題的難點(diǎn)是其在三角函數(shù)運(yùn)算中的基本運(yùn)算內(nèi)容對(duì)三角函數(shù)的恒等式和變形運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)綜合運(yùn)算應(yīng)用能力要求相對(duì)較高。解決三角函數(shù)最值這類問題的解題思路在于：一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等）;另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些學(xué)生平時(shí)所熟悉的一些函數(shù)（如：一次函數(shù)、二次函數(shù)等）最值問題。

二、三角函數(shù)最值問題解題方法

基于多年教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，三角函數(shù)最值問題解題方法主要有以下幾點(diǎn)。

1.假設(shè)法

在三角函數(shù)當(dāng)中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有其固定的最值區(qū)間。在解決三角函數(shù)最值問題的時(shí)候，可以結(jié)合三角函數(shù)固定的最值區(qū)間，來求解其函數(shù)的最值。將三角函數(shù)假設(shè)為未知變量，從而將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，便于學(xué)生理解計(jì)算。

例1.求函數(shù)y=sinx-1的值域。

解題思路：此為y=asinx+b型的三角函數(shù)求最值問題。設(shè)，由三角函數(shù)的有界性得t∈[-1，1]，則y=t-1∈[-2，0]。在該三角函數(shù)之中，將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，方便學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行計(jì)算。

2.輔助角法

在三角函數(shù)最值問題的求解過程中，學(xué)生大多對(duì)于試卷當(dāng)中出現(xiàn)不同類型的三角函數(shù)產(chǎn)生迷惑，導(dǎo)致最值求解錯(cuò)誤。教師可以將不同類型的三角函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，轉(zhuǎn)換為一種類型的三角函數(shù)進(jìn)行最值的求解。將三角函數(shù)的名稱統(tǒng)一，方便學(xué)生根據(jù)該三角函數(shù)的值域進(jìn)行最值求解，在一定程度上簡(jiǎn)化了三角函數(shù)最值求解。

例2.求函數(shù)f（x）=3cosx+sinx的最大值。

解題思路：此為y=asinx+bcosx型的三角函數(shù)求最值問題，通過引入輔助角公式把三角函數(shù)化為y=Asin（wx+φ）+B的形式，再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征。一般可利用∣asinx+bcosx∣≤

a2+b2求最值可得例題中f（x）≤? 32+1=? 10。

3.配方法

在三角函數(shù)之中，當(dāng)出現(xiàn)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的平方時(shí)，學(xué)生往往會(huì)陷入困惑。此時(shí)就可以借助sin2x+cos2x=1公式通過配方或者是轉(zhuǎn)換函數(shù)的方式，將原有函數(shù)轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)來計(jì)算該函數(shù)的最值。

例3.求函數(shù)y=-sin2x-3cosx+3的最小值。

解題思路：利用sin2x+cos2x=1將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=cos2x-3cosx+2，令t=cosx，則-1≤t≤1，y=t2-3t+2.配方得：y=（t-? ? ）2-? ? ?，因?yàn)閠大于等于-1，小于等于1，所以當(dāng)t=1時(shí)，即cos=1時(shí)，函數(shù)y的最小值為零。該題的重點(diǎn)在于借助公式轉(zhuǎn)換原有函數(shù)，轉(zhuǎn)換兩個(gè)未知數(shù)為一個(gè)未知數(shù)，然后借助配方來算出函數(shù)y的最小值。

4.引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化

引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)換法就是將三角函數(shù)統(tǒng)一，所以引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)換法，又被叫做換元法。在試題當(dāng)中，學(xué)生最常見的三角函數(shù)最值問題就是將正弦函數(shù)與余弦函數(shù)混為一體，學(xué)生就會(huì)對(duì)該函數(shù)的區(qū)間以及最值產(chǎn)生該函數(shù)式二者分離的印象，不能夠很好地對(duì)該函數(shù)進(jìn)行最值求解。在試題之中，對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有sinx±cosx與sinxcosx的三角函數(shù)，可以運(yùn)用關(guān)系式（sinx±cosx）2=1+2sinxcosx，來進(jìn)行進(jìn)一步的引入、變換，但必須要注意轉(zhuǎn)換變量之后該變量的取值范圍。

例4.求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最小值

解題思路：解：令（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，設(shè)t=sinx+cosx，其中t∈[- 2，2]，y=t+? ? ? ? ?。當(dāng)t=-1時(shí)，此時(shí)函數(shù)y的最小值為-1。在該題目中，借助函數(shù)的平方關(guān)系，通過換元轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)。然后通過一元二次函數(shù)來求該函數(shù)的最值，就可以得出y的最大值是

+ 2。

5.利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性

三角函數(shù)在一定的條件下具有增長(zhǎng)或減少的規(guī)律。三角函數(shù)只有能夠判斷出其在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增減性，才能夠在區(qū)間增減的基礎(chǔ)上，判斷出該函數(shù)的最值。在試題當(dāng)中，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)槿呛瘮?shù)而忽略了其在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，此時(shí)將三角函數(shù)看作一個(gè)未知數(shù)，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，更直觀地判斷三角函數(shù)的區(qū)間，在區(qū)間的基礎(chǔ)上來解出該三角函數(shù)的最值。

例5.已知x∈（0，π），求函數(shù)：y=sinx+? ? ? ? ?的最小值。

解題思路：此題為“ sinx+? ? ? ? ?”型三角函數(shù)求最值問題，當(dāng)sinx>0，a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解.設(shè)sinx=t.（0

在（0，1]上為減函數(shù)，所以當(dāng)t=1 時(shí)即x=? ?，函數(shù)y有最小值為3。在該類型題目之中，首先我們要牢牢地記住該類型的正弦三角函數(shù)，可以將正弦函數(shù)的值設(shè)為一個(gè)未知數(shù)，進(jìn)行判斷該函數(shù)的單調(diào)性，而后借助區(qū)間來求三角函數(shù)的最值。

綜上，就三角函數(shù)最值問題提出了五種解決的方法，這些解決方法都有各自適用的范圍與特點(diǎn)。在三角函數(shù)最值問題的解題過程中，應(yīng)首先對(duì)題型進(jìn)行判斷，再選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題。結(jié)合試題的實(shí)際情況，選擇解題方法，進(jìn)一步提高三角函數(shù)最值問題的理解，掌握答題技巧，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

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