殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性及排序方法

吳 偉，王國(guó)輝，顧 丹

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧省技術(shù)創(chuàng)新研發(fā)工程中心 產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，遼寧 沈陽110112）

0 引言

模糊層次分析法（FAHP）一直是學(xué)者們常用的一種有效的綜合評(píng)價(jià)方法.作為模糊層次分析法的熱點(diǎn)問題之一，由專家給出的兩兩比較的模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性及排序問題引起了大量學(xué)者的關(guān)注[1-3]，并取得大量成果[4-11].但是在實(shí)際決策過程中，在進(jìn)行方案兩兩比較時(shí)，決策者受專業(yè)結(jié)構(gòu)、個(gè)人偏好等因素影響，會(huì)出現(xiàn)難以給出準(zhǔn)確判斷，或者不愿發(fā)表自己意見的情形，此時(shí)就會(huì)得到一個(gè)某些元素缺失的判斷矩陣，即形成了殘缺互補(bǔ)判斷矩陣，因此對(duì)殘缺互補(bǔ)矩陣的決策研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[12].

近年來，殘缺互補(bǔ)判斷矩陣一致性及排序問題研究也得到了很多學(xué)者的關(guān)注，學(xué)者們分別基于加性一致性判斷矩陣和乘性一致性判斷矩陣給出相應(yīng)一致性檢驗(yàn)和排序方法.文獻(xiàn)[3]對(duì)加性一致性殘缺互補(bǔ)判斷矩陣通過行和歸一法來求解殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的排序向量；文獻(xiàn)[1]基于乘性一致性給出缺失元素的估計(jì)值和排序方法；文獻(xiàn)[12]在分析了利用加性一致性的定義來估計(jì)殘缺語言判斷矩陣中的缺失元素的方法，并對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，然后根據(jù)偏好值算術(shù)平均數(shù)對(duì)方案進(jìn)行排序；文獻(xiàn)[13]利用殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的乘性一致性，給出了殘缺互補(bǔ)判斷矩陣權(quán)重向量最小平方法和權(quán)重向量最小偏差法兩種排序方法；文獻(xiàn)[14]分析了殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的加性一致性定義，提出了最小方差法和二次規(guī)劃法兩種方法；文獻(xiàn)[15]基于加性一致性殘缺判斷矩陣定義給出了轉(zhuǎn)換公式，通過轉(zhuǎn)換公式得到新的矩陣，之后通過目標(biāo)函數(shù)方法獲得排序向量；文獻(xiàn)[16]基于加性一致性殘缺區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣，通過建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型求得排序向量.以上文獻(xiàn)中學(xué)者們提出的方法都能對(duì)殘缺互補(bǔ)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)和排序，但是同時(shí)存在一些不足之處.首先，文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[13]～文獻(xiàn)[16]缺失對(duì)殘缺判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，如果殘缺判斷矩陣一致性程度不高，則利用該矩陣獲得的排序結(jié)果不大可信；其次，文獻(xiàn)[1]進(jìn)行了一致性檢驗(yàn)并對(duì)元素進(jìn)行了調(diào)整，但對(duì)可接受的不一致臨界值ε的確定沒有給出依據(jù)，同時(shí)也易產(chǎn)生一致性悖論問題，另外需要調(diào)整的元素返回給專家，此做法在實(shí)際決策中也有待商榷；文獻(xiàn)[12]對(duì)殘缺判斷矩陣進(jìn)行了次序一致性性檢驗(yàn)并排序，該檢驗(yàn)和排序方法過程繁瑣、不易操作，實(shí)際中很難掌握[17].

基于以上分析，本文給出殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性檢驗(yàn)、調(diào)整及排序的偏序集表示方法，對(duì)不滿足次序一致性的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣通過調(diào)整每個(gè)截集的傳遞性，使之達(dá)到完全次序一致性后，給出偏序關(guān)系矩陣，根據(jù)上集和下集特征，給出更為簡(jiǎn)捷的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣排序方法.

1 基本概念

1.1 偏序集決策方法

定義1對(duì)于給定的集合C，R是C中元素的二元關(guān)系，若R滿足

（1）自反性：對(duì)任意x∈C，有xRx；

（2）反對(duì)稱性：對(duì)任意x,y∈C,若xRy且yRx，則x=y；

（3）傳遞性：對(duì)于任意x,y,z∈C,若xRy且yRz，則xRz.

則稱R為C上的偏序關(guān)系，記作，偏序關(guān)系R和集合C合在一起我們記作(C,)，稱之為偏序集[18].

如果集合C中的元素有限，將偏序集用矩陣的形式表示出來，即偏序關(guān)系矩陣[24].

定義2給定偏序集(C,)，對(duì)于?ci，cj∈C，若cicj，則記sij= 1 ；若ci?cj或者ci與cj不可比，則記sij= 0.則S=(sij)n×n為的偏序關(guān)系矩陣[18].

定理1設(shè)S=(sij)n×n為偏序關(guān)系矩陣，則G= (S?I)2，其中sij∈ ( 0,1)，I為單位陣，G為布爾代數(shù)運(yùn)算.

對(duì)于任意偏序關(guān)系矩陣S，稱集合為x在C的下集；稱集合為x在C的上集；稱集合U(x)為x在C的不可比集，得到U(x) =C?O(x) ?F(x).若以 及表示為O(x) 、F(x)以及U(x)元素個(gè)數(shù)，則對(duì)于m個(gè)方案的偏序集其x的O(x)、F(x)和U(x)元素個(gè)數(shù)滿足

對(duì)于任意x∈A方案在偏序集上的高度為

在偏序集決策方法中，最后各個(gè)方案通過計(jì)算在偏序關(guān)系矩陣中hav(x)大小進(jìn)行排序[19].

1.2 殘缺互補(bǔ)判斷矩陣一致性

在多屬性決策中，設(shè)X= {x1,x2, … ,xN}為方案集[20]，且N= { 1 , 2,… ,n}.當(dāng)方案較多時(shí)，決策者不容易給出方案的直接排序，但兩兩方案的優(yōu)劣關(guān)系bij卻容易給出，形成的矩陣為B= (bij)n×n，描述如下：

定義 3設(shè)矩陣B= (bij)n×n，若 ?bij∈ [ 0,1]，則稱B是模糊矩陣[21].

根據(jù)定義3可知：

（1）0.5

（2）0 ≤bij<0.5，表示方案xj優(yōu)于方案xi；

（3）bij= 0.5，表示方案xi和方案xj同樣重要.

定義 4若模糊矩陣B= (bij)n×n滿足：對(duì)于?i,j∈N有bij+bji= 1，則稱B是互補(bǔ)判斷矩陣[22].

定義5如果互補(bǔ)判斷矩陣B= (bij)n×n中既含殘缺元素又含非殘缺元素，且非殘缺元素滿足bij+bji=1，bii=0.5，bij≥ 0 ，則稱B為殘缺互補(bǔ)判斷矩陣[1].

定義6對(duì)于殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B= (bij)n×n，若?i,j,k,bij≥ 0.5，bjk≥ 0.5時(shí)有bik≥ 0.5，則稱B具有次序一致性[23].

定義6給出了判斷任意殘缺互補(bǔ)判斷矩陣是否滿足次序一致性的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于方案較少時(shí)，很容易判斷，當(dāng)比較的方案較多時(shí)，判斷起來就會(huì)很困難.另外，該定義重點(diǎn)關(guān)注的是方案之間的優(yōu)劣關(guān)系，為得到更加準(zhǔn)確的排序向量，還需要關(guān)注方案之間的比較的重要程度，因此考慮按照定義7將殘缺互補(bǔ)判斷矩陣進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換.

定義7設(shè)殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B= (bij)n×n對(duì)任意λ∈ [ 0 , 1]，稱Bλ=(rij)n×n為B的截集矩陣，其中

定義8對(duì)于殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B，如果任意方案xi>xj，都有bik>bjk（k= 1 ,2,… ,n），稱B具有完全次序一致性[24].

1.3 殘缺互補(bǔ)判斷矩陣一致性及排序偏序集表示

定理1給定偏序集(C,?)，若G中對(duì)于任意元素gij= 1 (i≠j,k= 1 ,2,…,n)時(shí)，都有sij= 1 (i≠j)，則殘缺互補(bǔ)矩陣B滿足次序一致性.

證明

? 若gij=sik×skj=1(i≠j,k= 1 ,2,… ,n)， 則sik= 1 且skj= 1 ，即xi>xn且xn>xj，又因?yàn)閟ij= 1 ，即xi>xj，滿足定義6，因此，殘缺互補(bǔ)矩陣B滿足次序一致性.

?若殘缺互補(bǔ)矩陣B滿足次序一致性，則根據(jù)定義 6，當(dāng)bik>0.5，bkj> 0.5時(shí)，bij> 0.5，即根據(jù)定義2所得當(dāng)rik=1，rkj= 1 時(shí)，rij= 1 ，滿足gij=sik×skj= 1 (i≠j,k= 1 ,2,… ,n)時(shí) ， 都 有sij= 1 ，證畢.

上述定理1給出了判斷任意殘缺互補(bǔ)判斷矩陣是否滿足次序一致性的方法，將殘缺互補(bǔ)判斷矩陣表示成為偏序關(guān)系矩陣后，按照公式G= (S?I)2進(jìn)行布爾代數(shù)運(yùn)算，如果在矩陣G中g(shù)ij(i≠j)= 1的元素，在S中對(duì)應(yīng)位置的元素sij(i≠j) = 1 ，則殘缺互補(bǔ)矩陣B具有次序一致性，反之，殘缺互補(bǔ)矩陣B不具有次序一致性.

定理2給定偏序集，殘缺互補(bǔ)矩陣B具有完全次序一致性 ?Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 滿足傳遞性.

證明

?對(duì)于任意Bλ，如果xi>xj，bij> 0.5，假設(shè)xj>xk，bjk> 0.5時(shí)，因?yàn)闅埲被パa(bǔ)矩陣B滿足定義8，具有完全次序一致性，所以，xi優(yōu)于xj時(shí)，bik>bjk，所以bik>bjk> 0.5，再由定義3中（1）可得，xi>xk，即xi>xj,xj>xk?xi>xk，滿足定義1中的（3）；

?如果Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 滿足定義1中的（3），根據(jù)傳遞性可得，當(dāng)xi>xj，如果xj>xk時(shí)，xi>xk，又根據(jù)模糊矩陣定義 3可得，xj>xk、xi>xk方案j優(yōu)于方案k，方案i優(yōu)于方案k可表示為bik和bjk，因?yàn)槿我釨λ( 0.5 ≤λ≤ 1) 中的元素都滿足傳遞性，這就意味著當(dāng)xj>xk存在于Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 中時(shí)，即bjk≥λ，xi>xk必須存在截集矩陣Bλ1( 0.5 ≤λ<λ1≤ 1)中，即bik≥λ1，又因?yàn)棣?>bjk≥λ，所以bik>bjk，證畢.

定理 2給出調(diào)整殘缺互補(bǔ)判斷矩陣滿足完全次序一致性的方法，該方法就是通過調(diào)整殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的任意截集都使其滿足傳遞性，因此，如果通過定義1的檢驗(yàn)方法判定殘缺互補(bǔ)判斷矩陣不滿足次序一致性，那么就可以通過定理2進(jìn)行調(diào)整即可.

定理3設(shè)S=(sij)m×n為偏序集的偏序關(guān)系矩陣，對(duì)于 ?ci,cj∈C，若Τ(ci)≥Τ(cj)，則hav(ci)≥hav(cj)， 其 中

證明

式（2）可以簡(jiǎn)化為

O(ci)又因?yàn)棣?ci) =， 所 以Τ(ci) ≥Τ(cj) ?hav(ci) ≥hav(cj)，證畢.所以，根據(jù)定理 3可以根據(jù)偏序關(guān)系矩陣中每個(gè)方案的下集O(cj)（行和）和上集F(cj)（列和）的比值大小進(jìn)行排序.

因此，殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性及排序的偏序集表示方法步驟如下：

步驟1根據(jù)定義2給出殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的偏序關(guān)系矩陣S（殘缺元素暫時(shí)認(rèn)為不可比，數(shù)值為0），根據(jù)定理1對(duì)S進(jìn)行判定，若滿足次序一致性則轉(zhuǎn)到步驟3，否則轉(zhuǎn)到步驟2；

步驟2根據(jù)定理2逐個(gè)調(diào)節(jié)S的截集矩陣滿足傳遞性，得到調(diào)整后的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B′，返回到步驟1；

步驟3根據(jù)調(diào)整后的殘缺模糊互補(bǔ)判斷矩陣，給出偏序關(guān)系矩陣，根據(jù)定理3求出方案的排序.

2 算例

某投資公司欲就建立一個(gè)購(gòu)物中心進(jìn)行可行性研究，設(shè)有6個(gè)地點(diǎn)X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}可供選擇，設(shè)某專家給出殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B= (bij)n×n如下，試確定最佳地點(diǎn).

步驟1根據(jù)定義2給出殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的偏序關(guān)系矩陣S并求出G.

根據(jù)定理1，在G中

而在S中對(duì)應(yīng)位置

則矩陣B不具有次序一致性，轉(zhuǎn)到第二步.

步驟2把矩陣B中的大于等于0.5的元素從大到小排列為0.9 > 0.8 > 0.7 > 0.6 > 0.5.

B0.9關(guān)系圖見圖1，滿足傳遞性.

圖1 截集矩陣B0.9關(guān)系Fig.1 cut set matrix B0.9 relation

B0.8關(guān)系圖調(diào)整過程見圖2，首先增加的是1→6，根據(jù)傳遞性，增加1→5，根據(jù)定理 2，B中b15修改為0.94，然后增加的是3→2和4→5，根據(jù)定理2，不需要調(diào)整.

圖2 截集矩陣B0.8關(guān)系調(diào)整過程Fig.2 cut set matrix B0.8 relation adjustment process

B0.7關(guān)系調(diào)整過程見圖3.首先，新增加的關(guān)系是1→5，這個(gè)關(guān)系在B0.8關(guān)系圖中已經(jīng)出現(xiàn)；其次是2→1，依據(jù)傳遞性，需要增加的線為2 → 6 ,2 → 5 ,3 → 1 ,3 → 6 ,3 → 5，根據(jù)定理 2，B中b25,b35分別調(diào)整為0.95，0.96；b26,b36分別調(diào)整為 0.85，0.9；b31調(diào)整為 0.85.再次，是2→6已經(jīng)出現(xiàn)，最后是3→4，無需調(diào)整.

圖3 截集矩陣B0.7關(guān)系調(diào)整過程Fig.3 cut set matrix B0.7 relation diagram adjustment process

B0.6關(guān)系圖調(diào)整過程見圖4：新增加的關(guān)系是2→4，不需要調(diào)整，其次增加的是3 → 1 ,3 → 6，在B0.7關(guān)系圖調(diào)整過程已經(jīng)出現(xiàn)，此時(shí)，任意截集都滿足傳遞性.

圖4 截集矩陣B0.6關(guān)系調(diào)整過程Fig.4 cut set matrix B0.6 relation diagram adjustment process

所以，調(diào)整后的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣為

返回到步驟1，根據(jù)定義2給出殘缺互補(bǔ)判斷矩陣B′的偏序關(guān)系矩陣S，根據(jù)定理1判斷滿足次序一致性（過程略），因此轉(zhuǎn)到步驟3.

步驟3根據(jù)定理3，hav(xi) 大小跟xi行和與列和的比值成正比，所以從上面的偏序關(guān)系矩陣S′計(jì)算得

從表1可見，本文排序結(jié)果和文獻(xiàn)[25]排序結(jié)果完全一致，和文獻(xiàn)[1]的排序略有不同，原因在于調(diào)整方法的角度不一樣所致，但兩種方法都能選出最優(yōu)方案x3.

表1 不同文獻(xiàn)排序結(jié)果對(duì)照Tab.1 comparison of ranking results of different literatures

本文提出的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)、調(diào)整及排序方法與其他文獻(xiàn)的同類方法相比有兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：① 殘缺互補(bǔ)判斷矩陣具有較高的一致性.本文在對(duì)方案排序前，對(duì)殘缺互補(bǔ)判斷矩陣進(jìn)行了次序一致性改進(jìn)，并且賦值有依據(jù)，不僅解決了文獻(xiàn)[25]中由于沒有進(jìn)行一致性檢驗(yàn)所帶來的結(jié)果可靠性問題，同時(shí)也規(guī)避了文獻(xiàn)[1]檢驗(yàn)殘缺互補(bǔ)判斷矩陣一致性存在的悖論問題[26].② 排序方法簡(jiǎn)捷.文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[25]通過計(jì)算殘缺元素的估計(jì)值進(jìn)行排序，根據(jù)不同的估計(jì)值的計(jì)算較繁瑣，而本文的排序方法無需估計(jì)殘缺元素的具體值亦能進(jìn)行有效排序，簡(jiǎn)單易操作.③ 本文排序方法具有良好的魯棒性.對(duì)于排序方法魯棒性的分析是驗(yàn)證該方法可靠性的不可缺少的環(huán)節(jié).

本文排序方法的魯棒性體現(xiàn)在以下方面：① 對(duì)于殘缺互補(bǔ)判斷矩陣中殘缺元素應(yīng)用不同的估值方法，導(dǎo)致方案的排序結(jié)果不同，如文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[25]，容易造成決策者困惑，對(duì)于本文提出的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣排序方法，使得殘缺互補(bǔ)判斷矩陣中已知元素滿足次序一致性基礎(chǔ)上，無需計(jì)算殘缺互補(bǔ)判斷矩陣中的估計(jì)值亦能對(duì)方案進(jìn)行排序，且結(jié)果唯一；② 本文的排序結(jié)果中方案3和方案2是最優(yōu)和次優(yōu)，方案5最差，和文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[25]中同類方案排序結(jié)果完全一致，能夠選出最優(yōu)和最劣方案.

3 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有殘缺互補(bǔ)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)、調(diào)整和排序方法中存在殘缺矩陣一致性程度不高、賦值缺乏依據(jù)、估計(jì)殘缺元素及排序運(yùn)算過程繁雜問題，給出了殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性及排序的偏序集表示方法，并得出了以下結(jié)論.

（1）利用偏序集中偏序關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系給出了殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性的檢驗(yàn)定理.

（2）針對(duì)不滿足次序一致性的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣給出了調(diào)整定理.

（3）對(duì)于滿足次序一致性的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣，在不估計(jì)殘缺值的情況下給出排序方法，該方法也是本文研究的一個(gè)特色體現(xiàn).

（4）通過和傳統(tǒng)的殘缺互補(bǔ)判斷矩陣次序一致性的檢驗(yàn)、調(diào)整、排序方法比較發(fā)現(xiàn)，本文的檢驗(yàn)和調(diào)整方法賦值有依據(jù)、易操作，其他文獻(xiàn)都是在估算估計(jì)值后提出的排序方法，其結(jié)果不穩(wěn)定，而本文提出的排序方法魯棒性強(qiáng).