帶雙參數(shù)的擬五次Said-Ball 曲線及其應(yīng)用*

王成偉 張卷美

1. 北京服裝學(xué)院，北京市 100029

2. 北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

三次Ball 曲線[1－2]于1974 年被A.A.Ball 定義以來，有許多學(xué)者深入地研究了Ball 曲線。Said[3]推廣了Ball 曲線，形成了Said-Ball 曲線。Ball 曲線的許多性質(zhì)跟Bézier 曲線是比較類似的[4－5]，但是Ball 曲線的計(jì)算效率要比Bézier 曲線高。 若控制多邊形固定不變，Ball 曲線和Bézier 曲線都有形狀不能改變的缺陷，因此許多學(xué)者就提出了在Ball 擴(kuò)展曲線中嵌入形狀參數(shù)的方法[6－11]。 文獻(xiàn)[6－9] 通過嵌入一個形狀參數(shù)對三次Ball 曲線進(jìn)行了擴(kuò)展， 文獻(xiàn)[8－10]分別擴(kuò)展了四次和五次Said-Ball 曲線，它們的擴(kuò)展曲線中只有一個形狀參數(shù)，因此用一個形狀參數(shù)來改變曲線的形狀是有局限性的。 文獻(xiàn)[11－12]分別討論了含有兩個形狀參數(shù)五次Said-Bal和擬六次Said-Ball 曲線的擴(kuò)展問題。

本文討論了擬五次Said-Ball 曲線，在基函數(shù)構(gòu)造時，增加了兩個形狀參數(shù)λ、μ，基函數(shù)具有對稱性。 本文討論的擬五次Said-Ball 曲線，與文獻(xiàn)[11]的構(gòu)造方法不同，文獻(xiàn)[11]中的基函數(shù)有5 個，其實(shí)就是四次Said-Ball 曲線的擴(kuò)展；而本文中的基函數(shù)有6 個，也就是五次Said-Ball 曲線的擴(kuò)展。 五次Said-Ball 曲線和文獻(xiàn)[10]中的第2 種擴(kuò)展曲線都是本文擬五次Said-Ball 曲線的特例，具有一定的廣泛性。 還給出兩條相鄰的擬五次Said-Ball 曲線段拼接的條件，實(shí)例顯示本文所構(gòu)造的曲線是有效的。

1 擬五次Said-Ball 曲線的構(gòu)造

1.1 構(gòu)造基函數(shù)以及其性質(zhì)

定義1 令

其中，t∈[0，1]、λ∈[－0.5，0.75]、μ∈[0，1]。 則(1)式稱為帶雙參數(shù)λ和μ的擬五次Said-Ball 的基函數(shù)。

λ＝0.75、μ＝1 時基函數(shù)所繪的圖形見圖1。

圖1 擬五次Said-Ball 基函數(shù)所繪制的圖形

擬五次Said-Ball 的基函數(shù)擁有性質(zhì)如下:

性質(zhì)1 非負(fù)性及權(quán)性

性質(zhì)2 對稱性

對于任意的t∈[0，1]， 總有bi(t)＝b5－i(1－ t)，i＝0，1，2，3，4，5。

性質(zhì)3 端點(diǎn)性質(zhì)

b′0(1)＝b″0(1)＝b′1(1)＝b″1(1)＝b′2(1)＝b″2(1)＝b′3(1)＝0。

性質(zhì)4 單峰性

在閉區(qū)間[0，1]上，固定λ∈[－0.5，0.75]和μ∈[0，1]，每一個的基函數(shù)都有唯一一個的最大值。

性質(zhì)5 退化性

擬五次Said-Ball 基函數(shù)，當(dāng)λ＝0、μ＝0 時，就退化變?yōu)槲宕蜸aid-Ball 曲線的擁有基函數(shù)；當(dāng)λ＝2β、μ＝1 時，就是參考文獻(xiàn)[10]中的第2種曲線所擁有的基函數(shù)。

性質(zhì)6 對參數(shù)λ、μ 的單調(diào)性

當(dāng)t∈[0，1]，b0(t) 與b5(t) 都是分別關(guān)于λ、μ 的單調(diào)遞減的，b2(t) 與b3(t) 都是關(guān)于λ的單調(diào)遞增的，b1(t) 與b4(t) 都是關(guān)于μ 的單調(diào)遞增的，b2(t) 與b3(t) 都是關(guān)于μ 的單調(diào)遞減的。

1.2 擬五次Said-Ball 曲線的構(gòu)造及性質(zhì)

定義2 設(shè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd，d＝2，3，i＝0，? 1，2，3，4，5，對任意λ∈[－0.5，0.75]、μ∈[0，1]，令

則(2)式稱為帶有雙參數(shù)λ、μ 的擬五次Said-Ball 曲線。

顯然，擬五次Said-Ball 曲線，當(dāng)λ＝0、μ＝0時，就是五次Said-Ball 曲線；當(dāng)λ＝2β、μ＝1 時，就是參考文獻(xiàn)[10]中的第2 種擴(kuò)展曲線。

圖2 表示的是雙參數(shù)λ、μ 取值不同，形成的擬五次Said-Ball 曲線，從下至上(λ，μ) 分別取(－0.5，0)， (0.1，0.5)， (0.75，1)。

圖2 3 條擬五次Said-Ball 曲線

根據(jù)性質(zhì)1－6，我們可以得到擬五次Said-Ball 曲線的如下性質(zhì):

性質(zhì)7 凸包性

凸包性是指當(dāng)控制多邊形為凸時，擬五次Said-Ball 曲線為凸的且整條曲線段落在其控制多邊形的內(nèi)部。

根據(jù)性質(zhì)1，這條性質(zhì)就可以得到。

性質(zhì)8 對稱性

由 控 制 多 邊 形P0P1P2P3P4P5和P5P4P3P2P1P0所生成的擬五次Said-Ball 曲線，它們的形狀是一樣的，但方向是相反。

根據(jù)性質(zhì)2，有:

性質(zhì)9 端點(diǎn)性質(zhì)

1.3 參數(shù)對曲線形狀的影響

(1) 固定參數(shù)λ＝0.5，當(dāng)μ 變動時，形成的曲線如圖3(a)所示，其中曲線從下到上分別為μ＝0，0.5， 1 的情況。 從圖3(a)中可知當(dāng)λ 固定不變，μ 值越大，曲線與控制多邊形就越接近。

(2) 固定參數(shù)μ＝0.5，當(dāng)λ 變動時，所產(chǎn)生的曲線如圖3(b)所示，其中曲線從下至上分別為λ＝－0.5，0.1，0.75 的情況。 從圖3(b)可知，當(dāng)μ 值不變，λ 越大曲線與控制多邊形就越接近。

2 λ 與μ 在幾何上的意義

將(1)式的擬五次Said-Ball 基函數(shù)改寫如下:

圖3 形狀參數(shù)對曲線的影響

用矩陣b＝MB表示(3)式，其中

若記P＝(P0P1P2P3P4P5)， 則可用矩陣B(t)＝PMB表示擬五次Said-Ball 曲線。 記五次Bézier 曲線的控制頂點(diǎn)為V＝(V0V1V2V3V4V5)，令B(t)＝VB，擬五次Said-Ball 曲線就能被五次Bézier 曲線表示。 則由以上分析可得出，用V＝PM表示它們控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系，即

由(4)式可知

3 兩條曲線的拼接

即

則有:

即有

4 應(yīng)用舉例

4.1 花瓣圖形

圖4(a)所示，由擬五次Said-Ball 曲線繪制的開曲線形成花瓣圖形，參數(shù)(λ，μ)從里到外依次為(－0.5，0)，(0，0.4)，(0.4，0.7)， (0.75，1)。 若首末兩控制頂點(diǎn)相同時，這樣就形成了一條封閉曲線。 圖4(b)所示是花瓣由閉曲線形成，參數(shù)(λ，μ)從里到外分別為(－0.5，0)，(0，0.4)，(0.4，0.7)， (0.75，1)。

圖4 擬五次Said-Ball 曲線繪制的花瓣圖形

4.2 衣身基本紙樣設(shè)計(jì)

采用帶雙參數(shù)擬五次Said-Ball 曲線來設(shè)計(jì)衣身基本紙樣，如圖5 所示。 可調(diào)整形狀參數(shù)λ、μ，衣身基本紙樣設(shè)計(jì)曲線的形狀就會發(fā)生相應(yīng)改變，可以滿足不同的個體的要求。

圖5 衣身基本紙樣設(shè)計(jì)

5 結(jié)束語

本文構(gòu)造的含有兩個形狀參數(shù)的擬五次Said-Ball 曲線，固定控制頂點(diǎn)時，可以調(diào)整曲線的位置和形狀，能形成包括五次Said-Ball 曲線，以及文獻(xiàn)[10]中的第2 種曲線在內(nèi)的許多條曲線。 從上面實(shí)例可看出，本文所構(gòu)造的帶有雙參數(shù)擬五次Said-Ball 曲線，更能滿足曲線的設(shè)計(jì)要求。