素數(shù)無窮性質(zhì)證明的分層教學(xué)設(shè)計*

張艷碩 李澤昊 戴君熹

北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

1 引言

素數(shù)，指在大于1 的自然數(shù)中，僅以1 和自身作為其因子的自然數(shù)[1]。 素數(shù)的無窮性質(zhì)指在自然數(shù)中，素數(shù)有無窮多個的性質(zhì)。 證明素數(shù)的無窮性質(zhì)有多種方法，其難度不同，有些證明方法還能證明一些其他有關(guān)素數(shù)的性質(zhì)。 素數(shù)在數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)、密碼學(xué)特別是信息安全等多個領(lǐng)域中均具有重要地位[2]，且其應(yīng)用十分廣泛。

現(xiàn)階段，大多數(shù)學(xué)生對素數(shù)的概念有較強的理解，但是對于素數(shù)的無窮性質(zhì)及其證明理解不足。 由于素數(shù)及其無窮性質(zhì)在數(shù)學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域運用廣泛，其教學(xué)的重要性較高，但對不同階段學(xué)生使用的素數(shù)無窮性質(zhì)證明的教學(xué)方法大多過于單調(diào)，缺乏創(chuàng)新和挑戰(zhàn)性，對于數(shù)學(xué)知識和能力較強的學(xué)生，無法起到較好的教學(xué)效果。

本文旨在提出一種素數(shù)無窮性質(zhì)的分層次教學(xué)設(shè)計，由淺入深，針對不同階段和水平的學(xué)生進行分層次的概念、應(yīng)用和實踐教學(xué)，讓不同層次的學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)素數(shù)無窮性質(zhì)及其應(yīng)用。 通過素數(shù)無窮性質(zhì)證明教學(xué)，可以使學(xué)生對素數(shù)有更強的理解。 同時讓學(xué)生聯(lián)系生活實際，對素數(shù)無窮性質(zhì)及其應(yīng)用產(chǎn)生興趣，進而對相關(guān)領(lǐng)域進行深入的研究，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)及其后期學(xué)習(xí)起到重要作用。

2 素數(shù)無窮性質(zhì)證明的一般性教學(xué)

現(xiàn)階段，密碼的應(yīng)用越來越廣泛，素數(shù)的性質(zhì)研究有了進一步的提高，很多理工科專業(yè)都會在許多相關(guān)課程教學(xué)實踐中進行素數(shù)無窮性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計和應(yīng)用實踐。 但當(dāng)前的素數(shù)無窮性質(zhì)的教學(xué)較為單調(diào)，缺乏相應(yīng)的應(yīng)用環(huán)節(jié)和實踐環(huán)節(jié)，不能很好地滿足不同階段和不同層次學(xué)生的教學(xué)需求和知識需求。

2.1 素數(shù)無窮性質(zhì)及其證明

素數(shù)是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，其具備很多性質(zhì)。 素數(shù)有無窮個，素數(shù)無窮性質(zhì)現(xiàn)行證明教學(xué)一般使用Euclid[3]證明法，這是最經(jīng)典的證明方法，證明的難度一般，基本適合數(shù)論等相關(guān)課程的教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)。

2.2 證明方法的一般教學(xué)方法

素數(shù)無窮性質(zhì)的Euclid 證明法較為簡單易懂，適合對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較低的學(xué)生進行教學(xué)，一般教學(xué)方法也較為簡單，即講述大致證明過程，學(xué)生理解即可達到教學(xué)目的。 以下為其證明過程:

使用反證法，設(shè)素數(shù)為有限集{p1，…，pr}，考察數(shù)n＝p1p2···pr＋1。n不屬于集合{p1，…，pr}，因此是合數(shù)，所以n有一個素因子p，但p一定不是某個pi，否則p將是n的因子和乘積p1p2···pr的因子，從而也是n－p1p2···pr＝1 的因子，這不可能。 所以素數(shù)有無窮多個。 以上即為基于Euclid 證明法的素數(shù)無窮性質(zhì)的一般教學(xué)方法。

在講完素數(shù)無窮性質(zhì)的證明之后，還可以給出素數(shù)的其他性質(zhì)，如孿生素數(shù)、素數(shù)個數(shù)的計算和級數(shù)中的素數(shù)等。 這些都能幫助學(xué)生對素數(shù)性質(zhì)的理解更加透徹和深刻。

2.3 存在問題

雖然上述Euclid 的一般證明方法簡單易懂，教學(xué)時相對輕松，但也有其不足之處，主要體現(xiàn)在以下三個方面:

(1)內(nèi)容單調(diào)。 證明過程較為直接，但缺乏內(nèi)容。 對于水平較高的學(xué)生，可以運用難度較高，內(nèi)容豐富，運用知識面更廣的證明方法，擴充不同的證明方法可以增強其數(shù)學(xué)證明能力，提高其對素數(shù)及其無窮性質(zhì)的認(rèn)識，可以更好地掌握素數(shù)無窮性質(zhì)的證明。

(2)理論深度不夠。 證明的理論深度不夠，證明用到的數(shù)學(xué)理論知識較少，深度不夠，對于數(shù)學(xué)知識掌握較好、能力水平較高的學(xué)生，沒有用到他們熟知的較為高級的知識，不能起到較好的教學(xué)效果。

(3)缺乏應(yīng)用。 正如《數(shù)據(jù)安全教學(xué)方法的研究與探討》[4]一文中指出:在對信息安全等專業(yè)學(xué)生進行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)時，證明過程缺乏應(yīng)用環(huán)節(jié)，沒有將素數(shù)及其無窮性質(zhì)的應(yīng)用進行擴展講解，應(yīng)用拓展較弱。 缺乏應(yīng)用使得學(xué)習(xí)停留在理解層面，無法聯(lián)系實際，不能起到最好的教學(xué)效果。 素數(shù)的無窮性質(zhì)在信息安全以及密碼學(xué)領(lǐng)域運用非常廣泛，目前對于該專業(yè)和領(lǐng)域的學(xué)生進行教學(xué)較多，但教學(xué)實踐性不強，且實踐手段不夠豐富。

素數(shù)無窮性證明是課程教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對于此性質(zhì)的證明，可以設(shè)計更多的案例和方法，提高教學(xué)效果。 在教學(xué)過程中給學(xué)生展示更為生動形象的素數(shù)性質(zhì)，也可以促進專業(yè)發(fā)展和素質(zhì)提高，對專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起到促進和幫助的作用。

3 素數(shù)無窮性質(zhì)證明的分層次教學(xué)設(shè)計

素數(shù)無窮性質(zhì)的證明有多種方式，其難度不同。 建議結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)課程進行分類教學(xué)，更加具有可操作性。 對于不同層次和專業(yè)的學(xué)生，可以使用不同的證明方式進行分層次教學(xué)，以達到素數(shù)無窮性質(zhì)證明的深入教學(xué)的目的。 下面將分不同階段和專業(yè)層次，介紹不同的素數(shù)無窮性質(zhì)證明的教學(xué)方案，讓不同階段和知識水平的學(xué)生了解素數(shù)無窮性質(zhì)證明的不同方法。

3.1 針對大學(xué)工科新生的教學(xué)設(shè)計

此階段學(xué)生數(shù)學(xué)有一定基礎(chǔ)，對一些常用的數(shù)學(xué)概念以及證明方法有一定了解，可以使用Fermat 數(shù)相關(guān)性質(zhì)證明素數(shù)有無限多個。 通過講解兩個定理的證明，讓學(xué)生在證明了素數(shù)的無窮性質(zhì)的同時也可以了解一些Fermat 數(shù)的性質(zhì)等更多數(shù)學(xué)知識，同時通過學(xué)習(xí)本證明方法，學(xué)生可以更好地掌握引用已有結(jié)論進行證明的方法。

首先引入概念Fermat 數(shù):Fermat 數(shù)是指形如22n＋1 的數(shù)，其中n可以取任意自然數(shù)[5]。顯然所有Fermat 數(shù)都是奇數(shù)。

引入以下兩個定理:

引理 1: 設(shè)F(n)＝ 22n＋ 1， 則有F(0 )F(1 )F(2 )···F(n－1)＝F(n)－2，n≥1.

證明:使用數(shù)學(xué)歸納法。

F(0 )＝3，F(xiàn)(1 )＝5，那么n＝1 時顯然成立。假設(shè)n＝k時成立，則當(dāng)n＝k＋1 時:

到此，即可證明引理1。

引理2:對任意兩個不相等的自然數(shù)n和m，有F(n) 和F(m) 互素[6]。

證明:假設(shè)t同時整除F(n) 和F(m)，m

F(n)＝F(0 )F(1 )F(2 ) …F(m) …F(n－1)＋2

這說明t 可以整除

F(n)-F(0 )F(1 )F(2 ) …F(m) …F(n－1)＝2

注意到2 只有兩個因數(shù)1 和2。 而Fermat數(shù)都是奇數(shù)，因此不可能被2 整除。 這樣，t 只能為1，這就證明了任意兩個Fermat 數(shù)互素。 即在自然數(shù)中有無窮多對互素的數(shù)，從而素數(shù)有無窮多個。

通過此證明方法的教學(xué)，能夠較好地證明素數(shù)的無窮性質(zhì)，同時，還可以使學(xué)生學(xué)習(xí)到一些關(guān)于Fermat 數(shù)和素數(shù)的性質(zhì)。 教學(xué)時可以讓學(xué)生對兩個引理的證明過程進行驗證和推廣。 與Euclid 法證明相比，此方法需要有較高的邏輯推理能力，較為復(fù)雜，但在證明的教學(xué)過程中可以讓學(xué)生對引用定理和所需證明內(nèi)容進行聯(lián)系和學(xué)習(xí)，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維和命題證明能力。

3.2 針對大學(xué)理科新生的教學(xué)設(shè)計

此階段學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠較好地理解證明過程，邏輯思維較強，可以使用高等數(shù)學(xué)的知識，結(jié)合函數(shù)和級數(shù)的證明方法進行教學(xué)，證明過程如下[7]:

圖1 函數(shù)f(t)＝及其上階梯函數(shù)

比較函數(shù)f(t)＝及其上階梯函數(shù)下方的面積，如圖1 所示，則對n≤x

其中和式對其素因子都不大于x的所有m∈N進行求和。 因每個這樣的m可唯一地表示成形如的乘積，故有

由于lnx無上界，所以π(x) 也無上界，從而有無限多個素數(shù)。

此證明方法結(jié)合了高等數(shù)學(xué)中的一些知識，有一定難度，但也容易理解。 與Euclid 證明法相比，使用到高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容較多，包括積分和級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。 講解時可以注意結(jié)合新生高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)講過的知識，也可以作為高等數(shù)學(xué)課程的拓展學(xué)習(xí)，在實現(xiàn)素數(shù)無窮性證明教學(xué)的同時鞏固和復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。

3.3 針對大學(xué)本科高年級學(xué)生的教學(xué)設(shè)計

此階段學(xué)生已完成大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和能力，可以使用較為深入的證明法進行教學(xué)。 本例使用一種利用集合的相關(guān)性質(zhì)的證明方法。

首先定義一種特殊的集合:定義一種集合是一個正整數(shù)集合{a1，a2，…an}， 使得對所有不相等的i和j都有滿足ai－aj整除ai，我們記這種集合為X集合。

可以證明對所有n≥2，都存在一個大小為n的滿足上述條件的X集合。

證明:可以采用數(shù)學(xué)歸納法。 可以很容易地驗證， {1，2} 顯然是一個大小為2 的X集合。假設(shè){a1，a2，…an} 是一個X集合。 設(shè)b0為a1*a2，*…*an(即所有ai的乘積)。 可以驗證，對所有不超過n的正整數(shù)k，令bk＝b0＋ak，那么{b0，b1，b2，…bn} 就是一個大小為n＋1 的X集合。

下面證明假設(shè){a1，a2， …an} 是一個X集合。 則對所有不超過n的正整數(shù)i，定義fi＝2ai＋1，那么f1，f2，…，fn兩兩互素。

證明:顯然fi都是奇數(shù)。 假設(shè)fk和fm(fk>fm)可以被同一個素數(shù)p整除，那么p也只能是奇數(shù)。p可以整除fk－fm即2am*(2ak－am－1)。 由于p是奇數(shù)，那么它只可能是整除2ak－am－1。 如果有s整除t，那么2s－1 整除2t－1。于是，根據(jù)X集合的定義，2ak－am－1 整除2ak－1。 那么p就可以整除2ak－1。 但p也能整除2ak＋1，于是我們得出p整除2，這與p為奇數(shù)矛盾。

因此可以證明，對任意大的n， 都存在大小為n的集合，里面的數(shù)兩兩互素，即至少存在n個不同的素因子。 到此，素數(shù)的無窮性質(zhì)得證。

使用本證明方法進行教學(xué)時，可以深入講解利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的過程。 同2.2，在證明的教學(xué)過程中讓學(xué)生聯(lián)系和學(xué)習(xí)引用定理進行證明的方法，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和命題證明能力。

還可以使用一種較新發(fā)現(xiàn)，但是也相對簡單，非常精妙的證明方法:Filip Saidak 證明法。

易知，兩個相鄰的自然數(shù)n和n＋1 一定是互質(zhì)的(否則假設(shè)此二數(shù)有大于1 的公因數(shù)k，則他們的差也應(yīng)該能被k整除，但顯然這不成立)。 設(shè)n> 1，由于n和n＋1 是相鄰自然數(shù)，因此n和n＋1 是互質(zhì)的。 也就是說，n的質(zhì)因數(shù)和n＋1 的質(zhì)因數(shù)完全沒有重合，因而n(n＋1) 至少有兩個不同的質(zhì)因數(shù)。 類似地，由于n(n＋1)和n(n＋1)＋1 是相鄰自然數(shù)，因此他們是互質(zhì)的，這說明n(n＋1) 和n(n＋1)＋1 沒有相同的質(zhì)因數(shù)，也就是說(n(n＋1))(n(n＋1)＋1) 至少有三個不同的質(zhì)因數(shù)。 無限地遞推下去，從而得出，素數(shù)必然是無窮多的。

第一種方法能夠簡潔地證明素數(shù)的無窮性質(zhì)，但理解有一定難度，可以側(cè)重理解進行教學(xué)，確保學(xué)生理解證明過程。 第二種方法很簡單，但其思想非常新穎且精妙，值得學(xué)習(xí)，可以側(cè)重對其證明思想進行教學(xué)。 與Euclid 證明法相比，這兩種方法都可以作為很好的拓展教學(xué)。 可以引導(dǎo)學(xué)生將第二種證明方法和Euclid 證明法進行對比，學(xué)習(xí)其中的思想。 若學(xué)生對證明過程中引用的定理還不熟悉，可以先對所使用的引理進行簡單講解和證明，確保學(xué)生掌握證明的所有流程。

3.4 針對大學(xué)研究生的教學(xué)設(shè)計

針對本階段研究生，可以使用Mersenne 數(shù)及其相關(guān)知識進行證明的教學(xué)，使用Mersenne數(shù)和其相關(guān)性質(zhì)的內(nèi)容進行證明，加深證明印象，并且將其已學(xué)內(nèi)容和素數(shù)的無窮性質(zhì)證明進行聯(lián)系，加強學(xué)生聯(lián)系知識、靈活運用和融會貫通的能力。

設(shè)素數(shù)集合P有限，記其中的最大素數(shù)為p，Mersenne 數(shù)指形如2p－1 的數(shù)。 我們通過證明Mersenne 數(shù)的每個素因子q都大于p，從而證得結(jié)論。 設(shè)素數(shù)q整除2p－1，則2p≡1 (modq)。因為p是素數(shù)，可知域Zq的乘法群Zq＼{0} 中元素2 的階是p。 該群有q－1 個元素。 根據(jù)Lagrange 定理，我們知道每個元素的階整除該群的元素個數(shù)，即我們有p ｜(q－1)。 從而有p

教學(xué)過程中可以更加注重講解Mersenne 數(shù)和素數(shù)的聯(lián)系及其相關(guān)性質(zhì)，讓學(xué)生更加深入運用Mersenne 數(shù)有關(guān)性質(zhì)，同時也能運用更多相關(guān)知識解決問題，可以作為Euclid 證明法的擴展教學(xué)，讓有較強能力的同學(xué)理解較難的證明法，達到拓展能力的目的。

4 素數(shù)無窮性質(zhì)證明的分層次實踐教學(xué)設(shè)計

素數(shù)及其無窮性質(zhì)的一些性質(zhì)可以使用電腦編寫程序，進行模擬實驗，可以對應(yīng)不同層次的學(xué)生設(shè)計不同的素數(shù)無窮性質(zhì)證明相關(guān)的實踐教學(xué)，幫助學(xué)生深入理解和掌握素數(shù)及其無窮性質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)。

4.1 針對大學(xué)工科學(xué)生的素數(shù)無窮性質(zhì)的實踐教學(xué)設(shè)計

大學(xué)工科學(xué)生編程和實踐能力相對較強，可以指導(dǎo)其設(shè)計和驗證程序，對數(shù)進行是否為素數(shù)的判斷，進而進行實踐，設(shè)計算法生成素數(shù)。

可以進行以下實驗:

實驗名稱:素數(shù)的判斷與生成和遍歷素數(shù)嘗試。

實驗內(nèi)容:使用編程語言實現(xiàn)素數(shù)的判斷，并且生成素數(shù)表，最后嘗試遍歷素數(shù)。

實驗步驟:

(1) 掌握素數(shù)及其無窮性質(zhì)和相關(guān)性質(zhì)；

(2) 編寫函數(shù)實現(xiàn)素數(shù)的判斷；

(3) 編寫程序?qū)崿F(xiàn)素數(shù)表的生成；

(4) 優(yōu)化程序，使程序在有限時間內(nèi)盡可能生成更多素數(shù)，體會素數(shù)無窮性；

(5) 繼續(xù)優(yōu)化和完善程序并思考。

實驗思考:如何編寫函數(shù)判斷一個數(shù)是不是素數(shù)，如何通過程序生成素數(shù)，如何生成更多，更大的素數(shù)。

注意:教學(xué)時將重點放在素數(shù)無窮的性質(zhì)上，可以引導(dǎo)學(xué)生生成較大素數(shù)，感受素數(shù)無窮的性質(zhì)。 可以先假設(shè)素數(shù)有限，讓學(xué)生通過Euclid 法嘗試生成素數(shù)，然后通過實驗推翻此假設(shè)，從而達到素數(shù)無窮性的教學(xué)目的。 對工科學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該將重點放在實踐方面，讓學(xué)生實實在在感受素數(shù)及其性質(zhì)，深入理解素數(shù)的無窮性質(zhì)及運用。

4.2 針對大學(xué)理科學(xué)生的素數(shù)無窮性質(zhì)的實踐教學(xué)設(shè)計

大學(xué)理科學(xué)生理論知識較好，可以指導(dǎo)其設(shè)計算法，驗證素數(shù)無窮性質(zhì)的Euclid 證明法。

可以進行以下實驗:

實驗名稱:素數(shù)無窮性質(zhì)證明的程序驗證和素數(shù)相關(guān)規(guī)律討論。

實驗內(nèi)容:使用編程語言實現(xiàn)素數(shù)無窮性質(zhì)證明的程序驗證。

實驗步驟:

(1) 掌握素數(shù)及其無窮性質(zhì)和相關(guān)性質(zhì)，掌握Euclid 證明法；

(2) 編寫程序，實現(xiàn)數(shù)的分解；

(3) 編寫程序，由小到大輸出等式，對素數(shù)無窮性質(zhì)進行驗證；

(4) 從實驗中尋找素數(shù)及Euclid 法素數(shù)無窮性質(zhì)證明相關(guān)規(guī)律；

(5) 驗證程序的正確性，優(yōu)化完善程序。

實驗思考:如何通過編程實現(xiàn)Euclid 證明法的驗證。

圖2 是本實驗的一個可行輸出結(jié)果:

圖2 Euclid 證明法可行結(jié)果

注意:教學(xué)時將重點放在素數(shù)及其無窮性質(zhì)的性質(zhì)上，重點通過實驗，直觀地讓學(xué)生感受Euclid 證明法及其證明的原理。 在對理科學(xué)生的教學(xué)中，以理論知識教學(xué)為重，將教學(xué)重點放在理解證明以及規(guī)律和方法上。

5 素數(shù)無窮性質(zhì)應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

素數(shù)以及其無窮性質(zhì)有非常廣泛的應(yīng)用，很多應(yīng)用貼近生活，易于理解。 進行素數(shù)及其無窮性質(zhì)的應(yīng)用以及其教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生對素數(shù)及其無窮性質(zhì)的興趣，有助于其對素數(shù)及其無窮性質(zhì)有更加深入的理解。

5.1 針對大學(xué)新生的素數(shù)無窮性質(zhì)應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

針對大學(xué)工科新生，可以使用較為貼近生活的應(yīng)用場景進行教學(xué)。 可以舉出素數(shù)以及其無窮性質(zhì)在自然科學(xué)中的運用，以圖片，案例為主，進行泛式講述。 可以針對以下段落列出的相關(guān)材料展開進行講述和教學(xué)。

素數(shù)在自然科學(xué)領(lǐng)域的運用極其廣泛。 在汽車變速箱齒輪的設(shè)計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數(shù)設(shè)計成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強耐用度減少故障。 在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。 實驗表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的:都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性。 以質(zhì)數(shù)形式無規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚雷可以使敵人不易攔截。 多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)(單位為年)，這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會。

諸如此類，素數(shù)在自然科學(xué)中的運用極其廣泛，其無窮性質(zhì)也在物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的運用。 通過素數(shù)無窮性質(zhì)的教學(xué)，可以讓同學(xué)對素數(shù)有更深的認(rèn)識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 需要注意的是，進行教學(xué)時，不必深入講解其內(nèi)在原理，可以對其大致原因進行闡述即可。 主要目的是激發(fā)學(xué)生對素數(shù)以及素數(shù)無窮性質(zhì)的興趣，使其在后續(xù)學(xué)習(xí)生活中關(guān)注素數(shù)及其無窮性質(zhì)的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用。

5.2 針對大學(xué)本科高年級學(xué)生的素數(shù)無窮性質(zhì)應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

大學(xué)高年級學(xué)生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，可以用稍復(fù)雜的，但應(yīng)用十分廣泛的案例進行應(yīng)用教學(xué)。 可以使用RSA 公鑰加密算法[8]作為案例進行應(yīng)用教學(xué)。

在密碼學(xué)中，公鑰加密需要將想要傳遞的信息在編碼時加入素數(shù)，編碼之后傳送給收信人，著名的非對稱加密算法RSA 公鑰加密算法就運用了大素數(shù)。 素數(shù)的選擇一定程度上決定了加密的安全性。 素數(shù)的無窮性質(zhì)證明為逼近無窮大的素數(shù)的存在性提供了證明。 通過運用素數(shù)的無窮性質(zhì)，可以不斷尋找大素數(shù)，使用不同的大素數(shù)進行加密，可以一定程度保證加密不易被破解，進一步提升其可靠性。

講解RSA 公鑰加密的過程[9]:

(1) 設(shè)φ(n) 為n的歐拉函數(shù)的值[10]，選擇兩個大素數(shù)p和q，并計算其乘積n＝pq，則有以下等式:φ(n)＝(p－1)(q－1) ；

(2 ) 選擇一個大整數(shù)e， 滿足gcd(e，φ(n))＝1，整數(shù)e用作加密密鑰。

(3 ) 確定的解密密鑰d， 滿足(de) modφ(n)＝1，即de＝kφ(n)＋1，k≥1 是一個任意的整數(shù)。 易知，若知道e和φ(n)，很容易計算出d。

(4) 公開整數(shù)n和e，秘密保存d。

(5) 將明文m(m

c＝E(m)＝memodn

(6) 將密文c解密為明文m的算法為:

m＝D(c)＝cdmodn

可以知道，只根據(jù)n和e要計算出d是非常困難的。 只有知道d才能進行解密。

通過學(xué)習(xí)RSA 加密的過程，可以理解到，RSA 加密的安全性大大依賴于大整數(shù)的分解[11]。 然而可以知道，由于素數(shù)的無窮性質(zhì)，我們可以找到足夠大的素數(shù)，這樣也就保證了RSA 加密算法的安全性。 進行講解時，講解到學(xué)生理解加密過程即可，著重講解素數(shù)及其無窮性質(zhì)在RSA 加密中的作用。 講解的目的著重在講解素數(shù)應(yīng)用的方面。 同時，若學(xué)生理解能力較強，還可以讓學(xué)生進一步對RSA 加密進行實際操作，可以讓有能力的學(xué)生編寫程序?qū)崿F(xiàn)RSA加密的主要過程，以達到應(yīng)用教學(xué)的目的。

5.3 針對大學(xué)研究生的素數(shù)無窮性質(zhì)應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

再分別用Nb和Ns來記不超過N的自然數(shù)中至少有一個大素數(shù)因子和只有小素數(shù)因子的自然數(shù)個數(shù)。 將可以證明，對適當(dāng)?shù)腘有

Nb＋Ns

但按定義應(yīng)有Nb＋Ns＝N，從而導(dǎo)致矛盾。

6 總結(jié)

本文針對不同階段和專業(yè)類型大學(xué)生，提供了素數(shù)無窮性質(zhì)證明的分層次教學(xué)設(shè)計，旨在讓更多學(xué)生更加深入理解素數(shù)及其無窮性質(zhì)的相關(guān)知識和性質(zhì)。 了解和學(xué)習(xí)素數(shù)的無窮性質(zhì)證明，可以讓學(xué)生深入理解素數(shù)，加強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。 素數(shù)及其無窮性質(zhì)在各大領(lǐng)域都有廣泛運用，在未來的應(yīng)用或?qū)⒏訌V泛，對更多人進行相關(guān)教學(xué)具有相當(dāng)?shù)闹匾浴?/p>

進行案例化教學(xué)時，著重講述證明過程和證明思想，以生動的講解，清晰地證明素數(shù)的無窮性質(zhì)。 應(yīng)該對于不同的教學(xué)對象采用不同的教學(xué)方法，做到因材施教。 教學(xué)中要避免使用過于困難的材料，引用已有定理時確保學(xué)生都能夠理解，盡量讓教學(xué)生動易懂，同時激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓更多人了解素數(shù)及其無窮性質(zhì)的證明和相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用。