基于擴(kuò)展仿射模型的不確定性靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析

樂 健 廖小兵 李 奔 周子恒 彭學(xué)林

（1. 武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院 武漢 430072 2. 國(guó)網(wǎng)鄂州供電公司 鄂州 436000 3. 國(guó)網(wǎng)武漢供電公司 武漢 430000）

0 引言

風(fēng)電光伏發(fā)電等可再生能源集中式并網(wǎng)的規(guī)模日益增加，其出力的波動(dòng)性將對(duì)接入系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性造成影響[1-2]。傳統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性分析以確定性潮流方程或擴(kuò)展潮流方程為基礎(chǔ)[3]，忽略了可再生能源出力的波動(dòng)性和負(fù)荷功率的時(shí)變性。確定性靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的評(píng)估結(jié)果已無法全面準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)電壓的運(yùn)行態(tài)勢(shì)。

根據(jù)建模方式的不同，不確定性靜態(tài)電壓穩(wěn)定性分析方法主要包括概率評(píng)估方法和區(qū)間評(píng)估方法。靜態(tài)電壓穩(wěn)定性概率評(píng)估通常采用概率統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行不確定量的建模，主要包括蒙特卡洛模擬法及改進(jìn)方法[4-5]、點(diǎn)估計(jì)法[6]、半不變量法[7-8]、隨機(jī)響應(yīng)面法[9]和最大熵估計(jì)法[10-11]等。靜態(tài)電壓穩(wěn)定性概率評(píng)估需要建立不確定量精確的概率分布模型，而實(shí)際應(yīng)用中輸入樣本數(shù)據(jù)往往不足，導(dǎo)致所建立的概率分布模型精度不高，因而，多數(shù)研究中需假設(shè)輸入不確定量服從某種概率分布，在一定程度上限制了靜態(tài)電壓穩(wěn)定性概率評(píng)估方法的應(yīng)用。

相比概率評(píng)估方法，靜態(tài)電壓穩(wěn)定性區(qū)間評(píng)估方法僅需輸入不確定量的邊界信息，將不確定量波動(dòng)范圍的上、下邊界描述為區(qū)間變量[12]，所需的統(tǒng)計(jì)信息較少，建模相對(duì)容易。文獻(xiàn)[13]將可再生能源出力的波動(dòng)范圍上下界描述為區(qū)間輸入變量，采用仿射算術(shù)[14]將含區(qū)間變量的連續(xù)潮流模型轉(zhuǎn)換為仿射-線性優(yōu)化模型求解。但基于極坐標(biāo)系的連續(xù)潮流方程需要采用切比雪夫近似[15]對(duì)非線性三角函數(shù)估算，導(dǎo)致了區(qū)間擴(kuò)張。文獻(xiàn)[16]采用基于直角坐標(biāo)系的連續(xù)潮流方程，結(jié)合仿射-線性優(yōu)化方法求解靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度區(qū)間，但仿射乘法運(yùn)算將不可避免地引入新的噪聲元，造成區(qū)間結(jié)果擴(kuò)大。為此，文獻(xiàn)[17]通過優(yōu)化改進(jìn)仿射乘法運(yùn)算來避免仿射乘法的區(qū)間擴(kuò)張效應(yīng)。文獻(xiàn)[18]通過建立風(fēng)電場(chǎng)出力的概率區(qū)間分配模型，利用證據(jù)理論和雙層規(guī)劃方法求解靜態(tài)電壓失穩(wěn)的概率區(qū)間。但上述靜態(tài)電壓穩(wěn)定性區(qū)間評(píng)估方法仍存在如下兩個(gè)主要問題：

1）常用仿射算術(shù)以一階區(qū)間泰勒展開為基礎(chǔ)構(gòu)建[19]，導(dǎo)致其在求解靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的過程中抑制區(qū)間擴(kuò)張效應(yīng)的能力有限，需要研究新的評(píng)估方法以降低評(píng)估結(jié)果的保守性。

2）常用仿射算術(shù)借助噪聲元的類同位素追蹤功能[20]來定性分析各輸入?yún)^(qū)間變量對(duì)系統(tǒng)輸出區(qū)間變量的影響，目前尚未可量化評(píng)估各輸入不確定量對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性影響重要程度的方法。

本文基于二階區(qū)間泰勒展開的擴(kuò)展仿射算術(shù)[21]提出了不確定性靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的全局靈敏分析方法。首先根據(jù)擴(kuò)展仿射算術(shù)構(gòu)建基于L指標(biāo)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型。然后利用基于解析化方差分解的全局靈敏度分析方法定量評(píng)估各輸入?yún)^(qū)間變量對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性影響的重要性。通過IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)中的多個(gè)仿真算例結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的正確性和有效性。

1 基于擴(kuò)展仿射算術(shù)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型

1.1 擴(kuò)展仿射算術(shù)

式中，x0為標(biāo)稱運(yùn)行點(diǎn)或期望運(yùn)行值；為由輸入擾動(dòng)源變動(dòng)所引入的噪聲元或仿射變量，各元素的取值范圍均為[-1 ,1]；系數(shù)x1為一階靈敏度系數(shù)向量，反映了仿射算子對(duì)噪聲元的線性變化大小。 常用仿射算術(shù)也稱為一階仿射算術(shù)，由于忽略了非線性項(xiàng)（二階項(xiàng)）對(duì)仿射算子的影響，很容易在區(qū)間計(jì)算過程中造成區(qū)間結(jié)果擴(kuò)張[22]。因此，本文引入二階靈敏度系數(shù)，對(duì)常用的一階仿射形式（1）進(jìn)行擴(kuò)展，得到二階仿射形式，即

式中，系數(shù)x2為二階靈敏度系數(shù)矩陣，反映了仿射算子對(duì)噪聲元的非線性變化大小。

1.2 基于潮流解的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)

評(píng)估靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的指標(biāo)很多，主要包括靈敏度指標(biāo)、奇異值指標(biāo)、負(fù)荷裕度指標(biāo)、L指標(biāo)等。其中L指標(biāo)物理概念清晰，計(jì)算速度快，被廣泛應(yīng)用于在線靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估[23]。本文選取基于潮流解的L指標(biāo)來評(píng)估不確定性靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。

基于潮流解的L指標(biāo)是表征實(shí)際狀態(tài)和穩(wěn)定極限之間距離的量化指標(biāo)，其值在0～1之間，用于描述電壓解的存在性。該方法的基本思路為：首先將所有節(jié)點(diǎn)劃分為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)集合G（包括PV節(jié)點(diǎn)和平衡節(jié)點(diǎn)）、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)集合D和網(wǎng)絡(luò)聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集合K，按三類節(jié)點(diǎn)建立網(wǎng)絡(luò)方程為

式中，UG和IG分別為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的電壓和電流向量；UD和ID為分別負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓和電流向量；UK為網(wǎng)絡(luò)聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的電壓向量；YG′G、YG′D、YG′K、YD′G、YD′D、YD′K、YK′G、YK′D、YK′K分別為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納或互導(dǎo)納子矩陣。

消去網(wǎng)絡(luò)聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)K后，式（3）可簡(jiǎn)化為

其中

令ZDD=，式（4）可轉(zhuǎn)換為

最后，求解負(fù)荷節(jié)點(diǎn)m(m∈D)，的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性指標(biāo)為

式中，F(xiàn)mk為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)參與因子，是矩陣F=-ZDDYDG的m行k列。

系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性指標(biāo)L定義為

通過L值與1之間的臨近程度來表征全系統(tǒng)電壓發(fā)散程度[3]，當(dāng)L＜1 .0表示系統(tǒng)電壓穩(wěn)定，L=1.0表示系統(tǒng)電壓穩(wěn)定臨界點(diǎn)，而L＞1 .0則表示系統(tǒng)電壓失穩(wěn)。

1.3 基于L指標(biāo)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性區(qū)間評(píng)估模型

在1.2節(jié)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的基礎(chǔ)上，本節(jié)利用擴(kuò)展仿射算術(shù)建立基于L指標(biāo)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性區(qū)間評(píng)估模型。

定義

則式（7）可等效改寫為

設(shè)直角坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)i電壓為Ui=ei+ jfi，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)參與因子為Fjk=Gjk+jBjk，則的實(shí)部和虛部Im(Lm′)分別為

式（11）中的待求變量為ej、fj、ek、fk。

隨著節(jié)點(diǎn)注入有功功率和無功功率的隨機(jī)波動(dòng)，各節(jié)點(diǎn)電壓也隨之變化，進(jìn)而靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)也將跟隨變化。利用1.1節(jié)中的擴(kuò)展仿射算術(shù)式（2）對(duì)節(jié)點(diǎn)注入功率擾動(dòng)源進(jìn)行二階區(qū)間泰勒展開，可得L指標(biāo)的擴(kuò)展仿射形式為

式中，Lm0為標(biāo)稱運(yùn)行點(diǎn)處的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)值；分別為節(jié)點(diǎn)電壓待求變量x對(duì)輸入功率擾動(dòng)源的一階、二階靈敏度系數(shù)矩陣，其詳細(xì)求解方法可參考文獻(xiàn)[23]；下標(biāo)0表示在期望運(yùn)行點(diǎn)處取值；Δε為注入功率擾動(dòng)源的區(qū)間半徑；分別為L(zhǎng)指標(biāo)對(duì)節(jié)點(diǎn)電壓待求變量x的一階、二階靈敏度系數(shù)矩陣，其求解公式見附錄式（A1）和式（A2）。

因此，可構(gòu)造以式（12）為目標(biāo)函數(shù)（最大值即為上邊界，最小值即為下邊界）、噪聲元為約束條件的二次規(guī)劃模型，即靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的擴(kuò)展仿射優(yōu)化模型?；跀U(kuò)展仿射優(yōu)化模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估方法通過二次規(guī)劃方法壓縮噪聲元范圍，得到L指標(biāo)的區(qū)間結(jié)果，進(jìn)一步可以判斷節(jié)點(diǎn)注入功率波動(dòng)過程中系統(tǒng)是否失去靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。

從上述過程也可以看出：本文所提的擴(kuò)展仿射方法是在確定性潮流基點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行區(qū)間泰勒展開逼近，即標(biāo)稱運(yùn)行點(diǎn)處的解為基點(diǎn)，在輸入波動(dòng)區(qū)間范圍內(nèi)，先計(jì)算期望值處的L指標(biāo)和相應(yīng)的擴(kuò)展仿射系數(shù)，利用區(qū)間泰勒展開就可以逼近L指標(biāo)的區(qū)間范圍。因此，即使在輸入波動(dòng)范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)病態(tài)潮流無解的現(xiàn)象，只要期望點(diǎn)處的確定性潮流有解，擴(kuò)展仿射方法都能獲取L指標(biāo)區(qū)間結(jié)果。

2 基于方差分解的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析

通過靜態(tài)電壓穩(wěn)定性擴(kuò)展仿射評(píng)估模型可以真實(shí)地反映注入功率波動(dòng)過程中L指標(biāo)的區(qū)間范圍，但無法辨識(shí)出輸入擾動(dòng)源對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性影響的重要性，只有對(duì)輸入擾動(dòng)源進(jìn)行重要性排序，才更有利于全面評(píng)估系統(tǒng)電壓的運(yùn)行態(tài)勢(shì)。通常采用靈敏度分析來量化輸出響應(yīng)中各輸入量的影響程度，但常用靈敏度分析方法是在某個(gè)固定點(diǎn)附近，每次僅對(duì)一個(gè)變量進(jìn)行微小變化，而保持其他變量不變，即建立于局部線性化模型的基礎(chǔ)上，因此這類方法也被稱為局部靈敏度分析方法[24]。

局部靈敏度分析由于不能反映輸入變量波動(dòng)對(duì)輸出響應(yīng)的影響，已不適用于對(duì)不確定性系統(tǒng)的分析。全局靈敏度分析（Global Sensitivity Analysis, GSA）[25-26]從輸入變量的整個(gè)分布范圍來定量衡量輸入變量的不確定性對(duì)輸出量（例如模型輸出的方差或分布）的貢獻(xiàn)程度。方差是用來度量不確定量和期望運(yùn)行點(diǎn)之間的偏離程度，可以反映不確定量的波動(dòng)程度。通過將輸出響應(yīng)的總方差分解得到各輸入量的方差貢獻(xiàn)，便能從輸入變量的整個(gè)波動(dòng)區(qū)間范圍來量化輸入變量的波動(dòng)對(duì)模型輸出響應(yīng)的總方差貢獻(xiàn)程度。因此，基于方差分解的全局靈敏度分析方法（Variance Based Global Sensitivity Analysis）受到了越來越多的關(guān)注，其中Sobol'法[27]應(yīng)用最為廣泛的。文獻(xiàn)[28]基于Sobol'法全局靈敏度分析理論，構(gòu)建了考慮源荷不確定性的孤島微電網(wǎng)概率潮流全局靈敏度分析框架，并利用蒙特卡洛法求解了輸入不確定性量的一階全局靈敏度指標(biāo)和總靈敏度指標(biāo)。為了克服蒙特卡洛方法多次采樣耗時(shí)的缺陷，文獻(xiàn)[29]將概率潮流解用含隨機(jī)變量的稀疏混沌多項(xiàng)式表示，建立了基于稀疏多項(xiàng)式混沌展開（sparse Polynomial Chaos Expansion, sPCE）的孤島微電網(wǎng)潮流代理模型，只需少量的輸入和輸出樣本就可以確定稀疏多項(xiàng)式系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了全局靈敏度指標(biāo)的快速高效求取。但文獻(xiàn)[28-29]中均是基于獨(dú)立變量的方差分解方法，并未考慮輸入變量的相關(guān)性，文獻(xiàn)[30]進(jìn)一步利用sPCE提出了計(jì)及相關(guān)性的區(qū)域電-氣聯(lián)合系統(tǒng)全局靈敏度分析方法。

但sPCE是基于隨機(jī)正交空間逼近理論，其逼近的精度決定了sPCE代理模型的準(zhǔn)確性，它受輸入樣本空間大小和隨機(jī)采樣方法影響，因此，如何獲取最優(yōu)輸入樣本成為提高其準(zhǔn)確度的關(guān)鍵點(diǎn)。與上述思路不同，本文在靜態(tài)電壓穩(wěn)定性擴(kuò)展仿射模型的基礎(chǔ)上，提出考慮相關(guān)性的解析化方差分解方法，由于擴(kuò)展仿射模型具有二階顯式表達(dá)，能快速、高效地將相關(guān)性方差和交叉貢獻(xiàn)進(jìn)行分解。

2.1 靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的總方差計(jì)算

基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型式（12）可以統(tǒng)一改寫為

式中，n為輸入擾動(dòng)源的維數(shù)；ai、bij分別為相應(yīng)的一階、二階靈敏度系數(shù)。

2.2 L指標(biāo)的總方差的新分解形式

通過對(duì)輸出總方差式（14）的分解得到各輸入擾動(dòng)源的方差貢獻(xiàn)量，就能清晰地辨識(shí)出各個(gè)擾動(dòng)源對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性影響的重要程度。單個(gè)輸入擾動(dòng)源的總方差貢獻(xiàn)分解框圖如圖1所示[32]。由于擾動(dòng)源之間的相關(guān)性，單個(gè)輸入擾動(dòng)源的總方差貢獻(xiàn)包括了總獨(dú)立性貢獻(xiàn)和總相關(guān)性貢獻(xiàn)，進(jìn)一步總獨(dú)立性貢獻(xiàn)又可細(xì)分為獨(dú)立性主貢獻(xiàn)和各階獨(dú)立性交叉貢獻(xiàn)…，總相關(guān)性方差貢獻(xiàn)又可細(xì)分為各階相關(guān)性貢獻(xiàn)…。

圖1 總方差貢獻(xiàn)新分解框圖Fig. 1 Novel decomposition framework of total variance contributions

2.3 基于新方差分解的全局靈敏度分析方法

基于方差分解的全局靈敏度分析是通過單個(gè)輸入變量的方差貢獻(xiàn)來反映各個(gè)輸入不確定量的影響程度，將單個(gè)輸入變量或者多個(gè)輸入變量的方差貢獻(xiàn)除以輸出響應(yīng)的總方差，即為全局靈敏度指標(biāo)。通過比較輸入擾動(dòng)源的全局靈敏度指標(biāo)大小便能清晰地辨識(shí)出對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性影響的主要因素和次要因素。本節(jié)在2.2節(jié)的基礎(chǔ)上定義兩類全局靈敏度指標(biāo)：總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)。

式中，VU、EU分別為不考慮之間相關(guān)性的方差、期望運(yùn)算；為除之外的所有噪聲元?？傡`敏度指標(biāo)又可分解為總獨(dú)立性靈敏度指標(biāo)和總相關(guān)性靈敏度指標(biāo)，即

2）主靈敏度指標(biāo)Si（或稱為一階獨(dú)立性靈敏度指標(biāo)）

為便于理解，以一個(gè)簡(jiǎn)單的含兩個(gè)相關(guān)性輸入變量的輸出響應(yīng)函數(shù)為例，說明上述全局靈敏度指標(biāo)求解方法。設(shè)輸入變量均服從正態(tài)分布，～N(0,Σ)，其中協(xié)方差矩陣Σ為

根據(jù)圖1得到輸出響應(yīng)總方差貢獻(xiàn)分解結(jié)果見表1。

表1 輸出總方差貢獻(xiàn)分解結(jié)果Tab.1 Decomposition of total output variance contributions

由表1可知：通過輸入變量的總方差分解框架和計(jì)算公式，可以得出各個(gè)輸入變量的獨(dú)立性主貢獻(xiàn)、獨(dú)立性交互貢獻(xiàn)、相關(guān)性交互貢獻(xiàn)，也可以得到各個(gè)輸入變量的總相關(guān)性方差貢獻(xiàn)和總獨(dú)立性方差貢獻(xiàn)，這種分解形式有助于理清輸入變量總方差的組成成分，追蹤到關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一旦獲取了這種解析化的方差分解形式，可以很容易獲得相應(yīng)的全局靈敏度指標(biāo)。當(dāng)相關(guān)性系數(shù)ρ12= 0時(shí)，由相關(guān)性引起的相關(guān)性方差貢獻(xiàn)為零，即單個(gè)變量的總方差貢獻(xiàn)等于單個(gè)變量的總獨(dú)立性方差貢獻(xiàn)。因此，相關(guān)性系數(shù)為零時(shí)，本文所提出的全局靈敏度方差分解方法即退化為僅適用于獨(dú)立型變量的Sobol'法。因此，本文所提出的基于方差分解的全局靈敏度分析方法具有更廣泛的適用性。

3 算例測(cè)試與分析

3.1 有效性驗(yàn)證

首先采用含風(fēng)電場(chǎng)的IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作為算例對(duì)象，以驗(yàn)證本文所提出的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性擴(kuò)展評(píng)估模型的有效性。

含風(fēng)電場(chǎng)的IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖2所示，三個(gè)風(fēng)電場(chǎng)依次接入節(jié)點(diǎn)5、8、13。設(shè)風(fēng)電場(chǎng)采用恒電壓控制方式，故可處理為PV節(jié)點(diǎn)。發(fā)電廠G1設(shè)置為平衡節(jié)點(diǎn)，設(shè)所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)和風(fēng)電場(chǎng)節(jié)點(diǎn)注入功率為不確定性輸入變量，同時(shí)考慮風(fēng)電場(chǎng)節(jié)點(diǎn)之間輸出有功功率之間的相關(guān)性。設(shè)不確定性輸入變量的均值為期望值或標(biāo)稱運(yùn)行點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)差為相應(yīng)均值的10%，三個(gè)風(fēng)電場(chǎng)節(jié)點(diǎn)注入有功功率之間的相關(guān)性系數(shù)均為0.2。

圖2 含風(fēng)電場(chǎng)的IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.2 Diagram of IEEE 30-bus system with wind farms

為驗(yàn)證擴(kuò)展仿射方法計(jì)算靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的準(zhǔn)確性，以蒙特卡洛方法多次抽樣仿真得到的區(qū)間結(jié)果作為靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)。蒙特卡洛模擬作為一種隨機(jī)模擬技術(shù)，其模擬次數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但消耗計(jì)算時(shí)間也越多。測(cè)試中蒙特卡洛方法的抽樣隨機(jī)數(shù)在功率波動(dòng)范圍內(nèi)服從均勻分布，在抽樣次數(shù)超過1 800多次后，區(qū)間上、下邊界的誤差已經(jīng)趨近于設(shè)置誤差精度10-3，故本文采樣2 000次作為其區(qū)間結(jié)果。分別采用擴(kuò)展仿射方法（EAA）、仿射方法（AA）和蒙特卡洛方法（MC）三種方法求解各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L指標(biāo)區(qū)間，并與確定性求解方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。

圖3 IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L指標(biāo)區(qū)間結(jié)果Fig.3 Interval results of L index of each load node in IEEE 30 bus system

對(duì)比分析圖3中各方法所得L指標(biāo)的區(qū)間結(jié)果，可得出如下結(jié)論：

1）三類區(qū)間評(píng)估方法所得L指標(biāo)區(qū)間均包含了確定性方法所得的L指標(biāo)。

2）采用擴(kuò)展仿射方法和仿射方法獲得的L指標(biāo)區(qū)間都嚴(yán)格包含了蒙特卡洛方法所得的區(qū)間，表明本文擴(kuò)展仿射方法可嚴(yán)格獲取L指標(biāo)區(qū)間解集的上、下邊界包絡(luò)線，驗(yàn)證了本文所提出的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性擴(kuò)展仿射評(píng)估模型的有效性。

3）以蒙特卡洛方法得到的結(jié)果作為“精確”的結(jié)果，可計(jì)算出擴(kuò)展仿射方法和仿射方法計(jì)算得到的L指標(biāo)平均估計(jì)誤差精度分別為1.58%和4.17%。

可見，盡管兩種方法均可得到準(zhǔn)確的L指標(biāo)區(qū)間結(jié)果，但基于擴(kuò)展仿射方法的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型比基于仿射方法的評(píng)估模型獲取的L指標(biāo)區(qū)間結(jié)果更為精確。這是因?yàn)榛跀U(kuò)展仿射方法的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型實(shí)質(zhì)上是對(duì)L指標(biāo)進(jìn)行二階區(qū)間泰勒展開逼近，而仿射方法僅為一階區(qū)間泰勒展開逼近，二階項(xiàng)的計(jì)入使得擴(kuò)展仿射方法獲得較常用仿射方法更高的計(jì)算準(zhǔn)確度。

進(jìn)一步，可從圖3中得出負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處的L指標(biāo)最大，因此本節(jié)以負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處的L指標(biāo)為例，對(duì)比分析輸入變量不確定時(shí)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)。表2和表3分別 給出了不考慮相關(guān)性和考慮相關(guān)性且相關(guān)性系數(shù)為0.2時(shí)，部分輸入不確定量對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處的L指標(biāo)的總靈敏度和主靈敏度。

表2 部分輸入變量的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo) (不考慮相關(guān)性)Tab.2 Total sensitivity index and main sensitivity index of some input variables (without considering the correlation)

表3 部分輸入變量的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo) (考慮相關(guān)性且相關(guān)系數(shù)為0.2)Tab.3 Total sensitivity index and main sensitivity index of some input variables(considering the correlation and The correlation coefficient is 0.2)

在不考慮相關(guān)性時(shí)，與蒙特卡洛方法（即為經(jīng)典的Sobol’法）所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，基于擴(kuò)展仿射方法獲得的總靈敏度指標(biāo)與蒙特卡洛方法的最大相對(duì)誤差小于14.29%，主靈敏度指標(biāo)的最大相對(duì)誤差小于6.8%。在考慮相關(guān)性時(shí)，與蒙特卡洛方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，基于擴(kuò)展仿射方法獲得的總靈敏度指標(biāo)與蒙特卡洛方法的最大相對(duì)誤差小于11.1%，主靈敏度指標(biāo)的最大相對(duì)誤差小于9.1%，從而驗(yàn)證了基于擴(kuò)展仿射模型的全局靈敏度分析方法的有效性。

在不考慮相關(guān)性時(shí)，將表2全局靈敏度指標(biāo)值由大到小排序，即為PL30＞PL8＞PL4＞PW2＞PW3＞PW1；而在在考慮相關(guān)性時(shí)，將表3全局靈敏度指標(biāo)值由大到小排序，即為PL30＞PL4＞PL8＞PW2＞PW3＞PW1，可以看出考慮風(fēng)電場(chǎng)輸出功率的相關(guān)性對(duì)全局靈敏度度指標(biāo)的影響。因此，在全局靈敏度分析各輸入不確定量對(duì)L指標(biāo)影響的重要性時(shí)需要計(jì)及相關(guān)性的影響。

表3表明1、2、3號(hào)風(fēng)電場(chǎng)總靈敏度指標(biāo)分別為0.028 8、0.085 5、0.030 9，即輸出有功功率的不確定性對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處的L指標(biāo)影響最大是2號(hào)風(fēng)電場(chǎng)，3號(hào)風(fēng)電場(chǎng)居中，而1號(hào)風(fēng)電場(chǎng)最小。此外，30號(hào)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的有功功率需求的不確定性對(duì)該節(jié)點(diǎn)的L指標(biāo)貢獻(xiàn)最大，達(dá)到0.706 0。

圖4和圖5進(jìn)一步給出了所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)。對(duì)比兩圖可知：主靈敏度指標(biāo)和總靈敏度指標(biāo)之間存在一定差異，這是因?yàn)橹黛`敏度指標(biāo)僅考慮輸入變量的一階方差貢獻(xiàn)，而總靈敏度指標(biāo)反映了相應(yīng)輸入變量的總方差貢獻(xiàn)，即包括了輸入變量之間相互作用產(chǎn)生的一階及高階靈敏度。因此，主靈敏度指標(biāo)和總靈敏度指標(biāo)之間的差異性表明了輸入變量之間相互作用的方差貢獻(xiàn)。

圖4 所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)Fig. 4 Total sensitivity index of L index of all load nodes

圖5 所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L指標(biāo)的主靈敏度指標(biāo)Fig. 5 Main sensitivity index of L index of all load nodes

為驗(yàn)證擴(kuò)展仿射方法應(yīng)用于靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析的魯棒性優(yōu)于常用的仿射方法，本文將輸入變量的標(biāo)準(zhǔn)差分別設(shè)為相應(yīng)均值的10%、20%、40%、80%，計(jì)算得出輸入變量PW1、PW2、PW3對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30處的L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)見表4。

表4 負(fù)荷節(jié)點(diǎn)30 L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)Tab.4 Total sensitivity index and main sensitivity index of L index of 30 load node

從表4中可以看出，由于傳統(tǒng)仿射方法忽略了二階項(xiàng)的影響，使得基于仿射模型的全局靈敏度分析方法得到的三個(gè)風(fēng)電場(chǎng)輸出功率變量的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)隨標(biāo)準(zhǔn)差的增大而保持不變，即總方差貢獻(xiàn)與輸入變量的標(biāo)準(zhǔn)差無關(guān)；而擴(kuò)展仿射方法能清楚地揭示三個(gè)風(fēng)電場(chǎng)輸出功率變量PW1、PW2、PW3的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)隨輸入變量標(biāo)準(zhǔn)差的增大而增大的變化趨勢(shì)，這與式（14）給出的結(jié)果一致。因此，采用擴(kuò)展仿射方法得到的總靈敏度指標(biāo)和主靈敏度指標(biāo)能更準(zhǔn)確地揭示輸入變量波動(dòng)對(duì)L指標(biāo)影響的變化規(guī)律。

3.2 相關(guān)性分析

以IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，設(shè)風(fēng)電場(chǎng)的輸出有功功率PW1、PW2、PW3之間存在相關(guān)性，圖6給出了相關(guān)系數(shù)從-1到1變化時(shí)系統(tǒng)L指標(biāo)的總靈敏度 指標(biāo)的變化趨勢(shì)。

圖6 系統(tǒng)L指標(biāo)的總靈敏度指標(biāo)隨相關(guān)系數(shù)的變化曲線Fig.6 Change curve of total sensitivity index of system L index with correlation coefficient

圖6表明，風(fēng)電場(chǎng)輸出有功功率PW1和PW2的總靈敏度指標(biāo)隨著相關(guān)性系數(shù)的增加而下降，而風(fēng)電場(chǎng)輸出有功功率PW3的總靈敏度指標(biāo)隨著相關(guān)性系數(shù)的增加而緩慢增加。通過比較風(fēng)電場(chǎng)輸出有功功率PW1、PW2和PW3的總靈敏度指標(biāo)變化曲線的斜率不難看出：相關(guān)性系數(shù)對(duì)風(fēng)電場(chǎng)輸出有功功率PW1和PW2的總靈敏度指標(biāo)的影響明顯大于風(fēng)電場(chǎng)輸出有功功率PW3。

3.3 計(jì)算效率比較

本文所提出的基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析是一種解析式的方差分解方法，計(jì)算量小且計(jì)算效率高。在IEEE 30、IEEE 300和Case-2383算例系統(tǒng)中分別應(yīng)用本文擴(kuò)展仿射方法與蒙特卡洛方法，不同波動(dòng)場(chǎng)景下兩種方法的計(jì)算時(shí)間和平均誤差統(tǒng)計(jì)于表5。其中的“平均誤差”表示所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的全局靈敏度指標(biāo)相對(duì)誤差的平均值；在IEEE 300和Case-2383中蒙特卡洛法分別模擬5 000次和10 000次。

表5 不同波動(dòng)場(chǎng)景下計(jì)算時(shí)間和計(jì)算精度比較Tab.5 Comparison of calculation time and accuracy in different fluctuation scenarios

表5中結(jié)果表明，由于基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析方法具有解析化計(jì)算模式，相對(duì)于多次模擬采樣的蒙特卡洛方法，其計(jì)算時(shí)間明顯縮短，加速比可達(dá)到6～9。此外，與蒙特卡洛方法相比，基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析方法具有很高的準(zhǔn)確度，平均誤差最大不超過6.25%；系統(tǒng)規(guī)模擴(kuò)大時(shí)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性靈敏度指標(biāo)的平均誤差將有所增加。

4 結(jié)論

本文考慮新能源場(chǎng)站自身輸出功率的波動(dòng)性和場(chǎng)站間輸出功率的相關(guān)性，利用擴(kuò)展仿射方法構(gòu)建系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估的擴(kuò)展仿射模型，可得到系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性L指標(biāo)的區(qū)間邊界，同時(shí)能辨識(shí)出系統(tǒng)中的薄弱節(jié)點(diǎn)。進(jìn)一步將基于解析化方差分解的全局靈敏度分析方法和靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估的擴(kuò)展仿射模型相結(jié)合，提出了基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析方法。經(jīng)在IEEE系統(tǒng)中的算例分析可得如下結(jié)論：

1）基于仿射方法和擴(kuò)展仿射方法建立的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型均可獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但基于擴(kuò)展仿射方法的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估模型比基于仿射方法的所得到的L指標(biāo)區(qū)間更為精確。

2）與基于蒙特卡洛仿真的全局靈敏度分析方法相比，基于擴(kuò)展仿射模型的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析方法獲得總靈敏度指標(biāo)的最大相對(duì)誤差小于11.1%，主靈敏度指標(biāo)最大相對(duì)誤差指標(biāo)小于9.1%，且由于解析化計(jì)算方式而具有更高計(jì)算效率。

本文建立的基于L指標(biāo)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性全局靈敏度分析方法，計(jì)算簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，適用于大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)后系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性評(píng)估和靜態(tài)電壓穩(wěn)定性在線快速掃描。下一步工作將考慮負(fù)荷的ZIP模型、發(fā)電機(jī)的無功限制等。

附 錄