一類不定權彈性梁方程的正解

楊 麗 娟

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

梁方程是一類重要的四階微分方程, 在彈性力學和工程物理等領域應用廣泛, 關于其可解性的研究目前已有許多成果[1-10]. 例如, Li[1]用錐上不動點定理, 研究了問題

(1)

正解的存在性, 其中f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)為連續(xù)函數(shù),ρ,τ∈滿足

記

定理1[1]若下列條件之一成立：

則問題(1)至少存在一個正解.

文獻[1]中問題(1)正解的存在性是在非線性項f為正情形下得到的.Hai[11]用Leray-Schauder不動點定理, 研究了橢圓問題

正解的存在性, 其中Ω為N上邊界光滑的有界區(qū)域, 非線性項f和權函數(shù)a均可正可負； Ma[12]用相同方法研究了一端固定、 一端自由的梁方程

正解的存在性.受文獻[11-12]的啟發(fā), 本文在f,a滿足文獻[11]的條件下, 討論方程線性部分更一般的梁方程

(2)

正解的存在性, 其中邊界條件表示梁的兩端簡單支撐.

本文總假設：

(H1)α,β∈且

(H2)f:+→連續(xù)函數(shù)且f(0)>0.

1 預備知識

根據(jù)條件(H1)易知μ1≥μ2>-π2.令gi(t,s)(i=1,2)是線性邊值問題

的Green函數(shù).

引理1對任意的t,s∈(0,1),gi(t,s)>0,i=1,2.

若μi=0, 則gi(t,s)可表示為

若-π2<μi<0, 則gi(t,s)可表示為

由gi(t,s)的表達式易得gi(t,s)>0于t,s∈(0,1).

令h∈X, 則線性邊值問題

(3)

存在唯一解

事實上, 由于

因此問題(3)的解可表示為

交換積分次序后令

即可.

引理2(Leray-Schauder不動點定理)[13]設E是Banach空間, 算子T:E→E全連續(xù), 若集合

{‖x‖|x∈E,x=θTx, 0<θ<1}

有界, 則T在閉球A?E中必存在不動點, 其中

A={x|x∈E, ‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=θTx, 0<θ<1}.

(4)

這里a+(t)=max{0,a(t)}為a的正部,a-(t)=max{0,-a(t)}為a的負部.

設S為X中的有界集, 即存在正數(shù)B, 使得對任意的u∈S, ‖u‖≤B.由f的連續(xù)性知, 必存在M>0, 使得

|f(u)|≤M,u∈S.

于是對任意的t∈[0,1], 有

(5)

(6)

即

2 主要結(jié)果

假設:

(H3)a: [0,1]→連續(xù)且在(0,1)的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為0, 并存在常數(shù)k>1, 使得

定理2假設條件(H1)～(H3)成立, 則存在λ0>0, 使得當0<λ<λ0時, 問題(2)存在一個正解.

|f(u)|q(t)≤γf(0)p(t).

(7)

固定δ∈(γ,1), 并設λ0>0, 使得對任意的λ<λ0, 有

(8)

(9)

(10)

對每個w∈X, 令v=Hw, 其中

顯然H:X→X全連續(xù).令v∈X, 使得v=θHv,θ∈(0,1), 則

且‖v‖≠λδf(0)‖p‖.若不然, 設‖v‖=λδf(0)‖p‖, 由式(8), 有

由于

根據(jù)式(9), 可得

再結(jié)合式(7)和式(9)知, 對任意的t∈[0,1], 有

因此

與假設矛盾, 故‖v‖≠λδf(0)‖p‖.再由式(8), 有‖v‖≯λδf(0)‖p‖, 因此‖vλ‖<λδf(0)‖p‖.根據(jù)引理2,H有一個不動點vλ.

由于對任意的t∈[0,1], 有

故uλ是問題(2)的一個正解.

3 應用實例

例1考慮四階問題

(12)

正解的存在性, 其中λ是一個正參數(shù).

取k=2, 通過簡單計算可得

因此

成立, 滿足條件(H3).根據(jù)定理2可知, 存在λ0>0, 使得當0<λ<λ0時, 問題(2)存在一個正解.